2024年3月17日发(作者：数学试卷整齐)

授课内容

教学时数

教学目标

教学重点

教学难点

教学方法与

手段

第五章 二次型 第一讲 二次型的矩阵表示

2

授课类型

讲授

要求学生掌握二次型及二次型矩阵表示、熟练掌握替换前后二次型和矩阵的

关系

二次型及二次型矩阵表示、替换前后二次型和矩阵的关系

二次型及二次型矩阵表示

讲授法 启发式

一、二次型及其矩阵表示

设

P

是一个数域,一个系数在数域

P

中的

x

1

,

,x

n

的二次齐次多项式

教

学

过

程

f(x

1

,x

2

,

ax

2

222

,x

n

)a

11

x

1

2

2a

12

x

1

x

2

2a

2n

x

2

x

n

ax

2

nnn

2a

1n

x

1

x

n

（1）

称为数域

P

上的一个

n

元二次型，简称二次型.

定义1 设

x

1

,

,x

n

;y

1

,

,y

n

是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

x

1

c

11

y

1

c

12

y

2

c

1n

y

n

,

xcycy

cy,

22112222nn

(2)



x

n

c

n1

y

1

c

n2

y

2

c

nn

y

n

称为由

x

1

,

,x

n

到

y

1

,

,y

n

的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列

式

c

ij

0

,那么线性替换(2)就称为非退化的.

线性替换把二次型变成二次型.

令

a

ij

a

ji

,ij.

由于

x

i

x

j

x

j

x

i

,

所以二次型(1)可写成

f(x

1

,x

2

,

,x

n

)a

11

x

1

2

a

12

x

1

x

2

a

1n

x

1

x

n

2

a

21

x

2

x

1

a

22

x

2

a

2n

x

2

x

n



2

a

n1

x

n

x

1

a

n2

x

n

x

2

a

nn

x

n

nn



a

ij

x

i

x

j

i1j1

(3)

把(3)的系数排成一个

nn

矩阵

a

11

a

21

A

a

n1

a

12

a

22

a

n2

a

1n

a

2n

,

(4)



a

nn

它称为二次型(3)的矩阵.因为

a

ij

a

ji

,i,j

1,2,

,n,

所以

A

A

把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令

a

11

a

12

a

1n



x

1



a

22

a

2n



x

2



a

X

AX

x

1

,x

2

,

,x

n

21







a



n1

a

n2

a

nn



x

n

a

11

x

1

a

12

x

2

a

1n

x

n



axa

22

x

2

a

2n

x

n

x

1

,x

2

,

,x

n

211





axax

ax

n22nnn



n11



a

ij

x

i

x

j

i1j1

nn

或

f(x

1

,x

2

,

,x

n

)X

AX

应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当

ij

时

a

ij

2

a

ji

正是它的

x

i

x

j

项

的系数的一半,而

a

ii

是

x

i

项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.

由此可得,若二次型

f(x

1

,x

2

,

,x

n

)X

AXX

BX


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