2024年3月16日发(作者：线上考试数学试卷分析)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
A
x | 1 x 1
B
x | 0 x 2
，则
1.
已知集合
A
，
B
（ ）
D.
[0,1]
A.
1, 2
B.
(1, 2]
C.
[0,1)
【答案】
B
【解析】
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可
.
A B
1, 2
.
A B
x | 1 x 2
，即 【详解】由题意可得：
故选：
B.
z
满足
(1 i)z 2
，则
2.
在复平面内，复数
z
（
）
C.
1 i
D.
1 i
A.
2 i
【答案】
D
B.
2 i
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果
.
z
【详解】由题意可得：
2
2
1 i
2
1 i
1 i
.
1 i
1 i
1 i
2
故选：
D.
3.
已知
f (x)
是定义在上
[0,1]
的函数，那么“函数
f (x)
在
[0,1]
上单调递增”是“函数
f (x)
在
[0,1]
上的最
大值为
f (1)
”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系
.
x
在
0,1
上单调递增，则
f
x
在
0,1
上的最大值为
f
1
，【详解】若函数
f
x
在
0,1
上的最大值为
f
1
， 若
f
1
比如
f
x
x
，
3
2
1
1
1
但
f
x
x
在
0,
为减函数，在
,1
为增函数，
3
3
3
2
x
在
0,1
上的最大值为
f
1
推不出
f
x
在
0,1
上单调递增， 故
f
x
在
0,1
上单调递增”是“
f
x
在
0,1
上的最大值为
f
1
”的充分不必要条件，故“函数
f
故选：
A.
4.
某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A.
3 3
2
B.
4 C.
3
3
D. 2
【答案】
A
【解析】
【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积
.
【详解】根据三视图可得如图所示的几何体
-
正三棱锥
O ABC
，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为
1
，
故其表面积为
3 11
1
2
3
4
2
2
3 3
，
2
故选：
A.
5.
双曲线
C :
x
2
2
y
2
b
2
1
过点
2
a
2, 3
，且离心率为
2
，则该双曲线的标准方程为（
2
C.
x
2
3y
1
）
y
2
A.
x 1
3
【答案】
A
x
2
2
B.
y 1
3
3
D.
3x
2
y
2
1
3
【解析】
2, 3
代入双曲线的方程，求出
a
的值，即可得出双曲线的标准方
【分析】分析可得
b
3a
，再将点
程
.
c
x
2
y
2
e 2
，则
c 2a
，
b
c
2
a
2
3a
，则双曲线的方程为
【详解】
1
，
a
2
3a
2
a
将点
2, 3
的坐标代入双曲线的方程可得
2
3
1
1
，解得
a 1
，故
b
a
2
3a
2
a
2
2
因此，双曲线的方程为
x
3
，
y
2
3
1
.
故选：
A.
6.
a
k
a 288
，
a b a 96
，
b 192
，则
b
（
和
是两个等差数列，其中
1 k 5
为常值，
1 1
3
n n 5
b
k
B.
128
C.
256
D.
512
）
A.
64
【答案】
B
【解析】
【分析】由已知条件求出
b
5
的值，利用等差中项的性质可求得
b
3
的值
.
【详解】由已知条件可得
a
1
a
5
b
5
，则
b
5
a
5
b
1
a
1
96192
288
64
，因此，
b
b
1
b b
192 64
1 5
128
.
3
2 2
故选：
B.
7.
函数
f (x) cos x cos 2x
，试判断函数的奇偶性及最大值（
A.
奇函数，最大值为
2
C.
奇函数，最大值为
）
B.
偶函数，最大值为
2
D.
偶函数，最大值为
99
8
【答案】
D
8
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
2
x
，所以该函数为偶函数， 【详解】由题意，
f (x) cos
x
cos
2x
cos x cos 2x
f
1
9
又
f (x) cos x cos 2x 2 cos
2
x cos x 1
2
cos x
，
4
8
1
9
所以当
cos x
时，
f (x)
取最大值
.
4
8
故选：
D.
mm
）来判断降雨程度．其中小雨（
8.
定义：
24
小时内降水在平地上积水厚度（
10mm
），中雨
25mm 50mm
）
50mm100mm
）（
10mm 25mm
），大雨（ ，暴雨（ ，小明用一个圆锥形容器接了
24
小时的
雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A.
小雨
B.
中雨
C.
大雨
D.
暴雨
【答案】
B
【解析】
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【 详 解 】 由 题 意 ， 一 个 半 径 为
200
2
100
mm
的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为
200 150
50
mm
，高为
150
mm
的圆锥，
2 300
1
50
2
150
所以积水厚度
12.5
mm
，属于中雨
d
3
100
2
故选：
B.
2
，则
m
（ 9. 已知圆
C : x
2
y
2
4
，直线
l : y kx m
，当
k
变化时，
l
截得圆
C
弦长的最小值为
）
A.
2
B.
2
C.
3
D.
5
【答案】
C
【解析】
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
m
【详解】由题可得圆心为
0, 0
，半径为
2
，
m
，
则圆心到直线的距离
d
2
k 1
m
2
则弦长为
2
4
2
，
k
1
则当
k 0
时，弦长取得最小值为
2
4 m
2
2
，解得
m 3
.
故选：
C.
a
1
a
2
a
n
100
，则
n
的最大值为（ 是递增的整数数列，且
a
1
3
，
10.
数列
a
n
）
A. 9
B. 10 C. 11 D. 12
【答案】
C
【解析】
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使
n
尽可能的大，则
a
1
，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列
a
n
是首项为
3
，公差为
1
的等差数列，其前
n
项和为
S
n
，
a n 2
，
S
则
n
11
3 13 3 14
11 88 100
，
S 12 102 100
，
12
2 2
所以
n
的最大值为
11.
故选：
C.
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
1
43
(x )
展开式中常数项为 ．
11.
x
【答案】
4
【解析】
【详解】试题分析：
x
3
4r
1
1
4
r
r3
的展开式的通项
T C
x
r
1
C
r
x
124r
,
令
r 3
得常数
x
4
r 1 4
x
.
项为
T
4
1
C
3
4
4
考点：二项式定理
.
3
12. 已知抛物线
C : y
2
4x
，焦点为
F
，点
M
为抛物线
C
上的点，且
FM 6
，则
M
的横坐标是
作
MN x
轴于
N
，则
S
FMN
【答案】
；
．
①
. 5
②
.
4
5
【解析】
【分析】根据焦半径公式可求
M
的横坐标，求出纵坐标后可求
S
FMN
.
.
【详解】因为抛物线的方程为
y
2
4x
，故
p 2
且
F
1, 0
p
6 x 5
，故
x 6
，解得 ，
y 2
，
MF
因为
5
M
M
M
2
所以
S
FMN
1
5 1
2
4
，
5
5
2
故答案为：
5
，
4 5
.
13.
a (2,1)
，
b (2, 1)
，
c (0,1)
，则
(a b) c
；
a b
．
【答案】
①
. 0
②
. 3
【解析】
【分析】根据坐标求出
a b
，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
a (2,1), b (2, 1), c (0,1)
，
a b
4, 0
，
(a b ) c 4 0 0 1 0
，
a b 2 2 1
1
3
.
故答案为：
0
；
3.
y
轴对称，写出一个符合题意的
P(cos
, sin
)
与点
Q(cos(
), sin(
))
关于
14.
若点
【答案】
．
5
12
6 6
（满足
5
12
k
, k Z
即可）
【解析】
【分析】根据
P, Q
在单位圆上，可得
,
关于
y
轴对称，得出
6
P(cos
, sin
)
Q cos
, sin
与关于
y
轴对称，
【详解】
6
6
即
,
关于
y
轴对称，
6
2k
, k Z
求解
.
6
2k
, k Z
，
6
则
k
5
12
, k Z
，
5
.
12
5
5
, k Z
即可）
.
故答案为：
（满足
k
12 12
当
k 0
时，可取
的一个值为
15.
已知函数
f (x) lg x kx 2
，给出下列四个结论：
①若
k 0
，则
f (x)
有两个零点；
②
k 0
，使得
f (x)
有一个零点；
③
k 0
，使得
f (x)
有三个零点；
④
k 0
，使得
f (x)
有三个零
点．以上正确结论得序号是
【答案】①②④
．
【解析】
x
0
可得出
lg x kx 2
，考查直线
y kx 2
与曲线
g
x
lg x
的左、右支分别相切 【分析】由
f
的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误
.
1
x
lg x 2 0
，可得
x
或
x 100
，①正确；
【详解】对于①，当
k 0
时，由
f
100
对于②，考查直线
y kx 2
与曲线
y lg x
0 x 1
相切于点
P
t, lg t
，
e
t
kt 2 lg t
1
y lg x
对函数 求导得
y
100
，
，由题意可得 ，解得
1
k 100
x ln10
k
lg e
t ln10
e
100
所以，存在
k lg e 0
，使得
f
x
只有一个零点，②正确；
e
对于③，当直线
y kx 2
过点
1, 0
时，
k 2 0
，解得
k 2
，
所以，当
100
lg e k 2
时，直线
y kx 2
与曲线
y lg x
0 x 1
有两个交点，
e
x
有三个零点，则直线
y kx 2
与曲线
y lg x
0 x 1
有两个交点， 若函数
f
100
lg e k 2
y kx 2
与曲线
y lg x
x 1
直线 有一个交点，所以，
e
，此不等式无解，
k 2 0
x
有三个零点，③错误；
因此，不存在
k 0
，使得函数
f
x 1
相切于点
P
t, lg t
， 对于④，考查直线
y kx 2
与曲线
y lg x
y lg x
求导得
y
对函数
kt 2 lg t
t 100e
，由题意可得
1
，解得
lg e
，
k k
x ln10
t ln10
100e
1
所以，当
0 k
lg e
x
有三个零点，④正确
.
时，函数
f
100e
故答案为：①②④
.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）
转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）
列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）
得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.
已知在
ABC
中，
c 2b cos B
，
C
2
．
3
（1）
求
B
的大小；
（2）
在下列三个条件中选择一个作为已知，使
ABC
存在且唯一确定，并求出
BC
边上
①
c
2b
；②周长为
4 2
3
；③面积为 S
3 3
ABC
4
；
【答案】（
1
）
；（
2
）答案不唯一，具体见解析．
6
【解析】
【分析】（
1
）由正弦定理化边为角即可求解；
（
2
）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（
1
）
c 2b cos B
，则由正弦定理可得
sin C 2 sin B cos B
，
sin 2B sin
2
3
，
3 2
C
2
，
B
0,
，
2B
0,
2
，
3
3
3
2B
，解得
B
；
3 6
（
2
）若选择①：由正弦定理结合（1）可得
c
sin C
3
2
3
，
b
sin B
1
2
与
c
2b
矛盾，故这样的
ABC
不存在；
若选择②：由（1）可得
A
，
6
设
ABC
的外接圆半径为
R
，
则由正弦定理可得
a b 2R sin
R
，
c 2R sin
2
6
3
3R
，
中线的长度．
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