2023年北京市高考数学试卷和答案解析

2024年3月16日发(作者：2021数学试卷图片)

2023

年北京市高考数学试卷

1

.已知集合

A. B.

，则

( )

C.

，则

z

的共轭复数

C.

，

B. C. 0

上单调递增的是

( )

B.

的展开式中，

x

的系数是

( )

B. 40C. D. 80

的距离为

5

，则

( )

C. D.

，则

D. 1

D.

( )

( )

D.

2

.在复平面内，复数

z

对应的点的坐标是

A.

3

.已知向量

A.

4

.下列函数中在区间

A.

5

.

A.

6

.已知抛物线

C

：

A. 7

7

.在

A.

8

.若，则“

中，

B.

”是“

C.

，满足

B.

的焦点为

F

，点

M

在

C

上，若

M

到直线

B. 6C. 5

，则

D. 4

( )

D.

”的

( )

B.

必要而不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

A.

充分而不必要条件

C.

充分必要条件

9

.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素

.

安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美

.

如

图，某屋顶可视为五面体

ABCDEF

，四边形

ABFE

和

CDEF

是全等的等腰梯形，

的等腰三角形

.

若

的正切值均为

，

和是全等

，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角

为这个模型的轮廓安装灯带不计损耗，则所需灯带的长度为

( )

A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m

第1页，共18页

10

.数列

A.

若

B.

若

C.

若

D.

若

满足

，则

，则

，则

，则

是递减数列，

是递增数列，

是递减数列，

是递增数列，

，则

和

，下列说法正确的是

( )

，使得

，使得

，使得

，使得

______ .

，离心率为

，则

，则

C

的方程为

______ .

能说明命题

p

为假命题的一组，

时，

时，

时，

时，

11

.已知函数

12

.已知双曲线

C

的焦点为

13

.已知命题

p

：若，为第一象限角，且

的值可以是

______

，

______ .

14

.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”

.

已

知

9

枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为

9

的数列

成等比数列，且，，，则

，该数列的前

3

项成等差数列，后

7

项

的所有项的和为

______ .______

，数列

15

.设，函数给出下列四个结论，正确的序号为

______ .

①

②当

③设

④设

在区间

时，

上单调递减；

存在最大值；

，

，

中，

，则

，若

，

；

存在最小值，则

a

的取值范围时

，平面

16

.如图，四面体

求证：

求二面角

平面

PAB

；

的大小

.

17

.已知函数

若，求的值；

，，

第2页，共18页

若在

、

上单调递增，且

的值

.

；

；

在上单调递减

.

，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个

作为已知，求

条件①：

条件②：

条件③：

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

.

18

.为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续

40

天的价格变化数据，如表所示，在描

述价格变化时，用“

+

”表示“上涨”；即当天价格比前一天价格高，用“

-

”表示“下跌”，即当天价格

比前一天价格低：用“

0

”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同

.

时段

第

1

天到

第

20

天

第

21

天

到第

40

天

用频率估计概率

.

试估计该农产品“上涨”的概率；

假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取

4

天，试估计该农产品价格在这

4

天中

2

天“上涨”、

1

天“下跌”、

1

天“不变”的概率；

假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第

41

天该农产品价格“上涨”、“下跌”

和“不变”的概率估计值哪个最大

19

.已知椭圆

E

：

的左、右顶点，

求

E

的方程；

点

P

为第一象限内

E

上的一个动点，直线

PD

与直线

BC

交于点

M

，直线

PA

与直线

求证：

20

.设函数

求

a

，

b

的值；

设

求

，求的单调区间；

，曲线在点处的切线方程为

交于点

结论不要求证明

的离心率为，

A

、

C

分别为

E

的上、下顶点，

B

、

D

分别为

E

价格变化

-++0---++0+0--+-+00+

0++0---++0+0+---+0-+

的极值点的个数

.

第3页，共18页

21

.数列

，

，

，并规定

的项数均为

对于

，且，

，定义

，，的前

n

项和分别为

，

其中，

maxM

表示数集

M

中最大的数

.

若

若

，

，且

，，

，

，，

，

2

，

⋯

，

，满足

，求，，

；

，使得

，的值；

，求

，证明：存在

p

，

q

，

s

，

第4页，共18页

答案和解析

1.

【答案】

A

【解析】解：由题意，，，

故选：

求出集合

M

、

N

的范围，再根据交集的定义可得．

本题考查集合的交集求法，属简单题．

2.

【答案】

D

【解析】解：在复平面内，复数

z

对应的点的坐标是

，

则

z

的共轭复数

故选：

根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．

本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.

【答案】

B

【解析】解：

，，

，，

，

，

故选：

根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解．

本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题．

4.

【答案】

C

【解析】解：对

A

选项，

项错误；

对

B

选项，

对

C

选项，

对

D

选项，

故选：

根据初等函数的单调性，即可求解．

本题考查初等函数的单调性，属基础题．

在

在

在

上单调递增，所以

上单调递减，所以

在

在

上单调递减，

B

选项错误；

上单调递增，

C

选项正确；

在上单调递增，所以在上单调递减，

A

选

上不是单调的，

D

选项错误．

第5页，共18页

5.

【答案】

D

【解析】解：由二项式定理可知展开式的第

，

令，可得即含

x

的项为第

3

项，

项

…，

，故

x

的系数为

故选：

首先找出二项展开式的通项公式，然后令

x

的次数为

1

，找到

r

的对应值，带回通项公式即可求得．

本题考查利用二项展开式的通项公式的应用，属简单题．

6.

【答案】

D

【解析】解：如图所示，因为点

M

到直线

点

M

到直线

由方程可知，

的距离

是抛物线的准线，

的距离和到焦点

F

的距离相等，

的距离，

又抛物线上点

M

到准线

故

故选：

本题只需将点

M

到的距离，转化为到准线的距离，

再根据抛物线定义即可求得．

本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．

7.

【答案】

B

【解析】解：由正弦定理

，

所以

即，

，

又

故选：

首先由正弦定理推论，将条件中的正弦值化为边，再运用余弦定理，求得

C

的余弦值，即可得

C

的值．

本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属简单题．

8.

【答案】

C

，

，，

可化为，

为三角形外接圆半径可得：

第6页，共18页

【解析】解：由

，

，

反之，若

令

于是

化为

即，

，则“

故选：

由，

，令

，则

，

，

，，

，

，

，解得，

”是“”的充要条件．

，可得

，可得

，进而判断出是否成立；反之，若，

，通过换元代入解出

t

，即可判断出结论．

本题考查了充要条件的判定方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9.

【答案】

C

【解析】解：根据题意及对称性可知底面四边形

ABCD

为矩形，

设

E

，

F

在底面矩形的射影点分别为

M

，

N

，

设

AD

与

BC

的中点分别为

P

，

Q

，则

M

，

N

在线段

PQ

上，如图，

过

M

，

N

分别作

AB

的垂线，垂足点分别为

G

，

H

，连接

HF

，

FQ

，

则根据题意及三垂线定理易得

又，，，

，

又易知，底面矩形

ABCD

，

，又，，

，

，

，

根据三垂线定理可知

第7页，共18页

，

该多面体的所有棱长和为

故所需灯带的长度为

故选：

，

根据题意及对称性可知底面四边形

ABCD

为矩形，再根据三垂线定理作出等腰梯形所在的面、等腰三角形

所在的面与底面夹角，再题目中的数据，计算即可求解．

本题考查几何体的所有棱长和的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．

10.

【答案】

B

【解析】解：对原式进行变形，得

当

设

当

当

假设

，

所以当

对于

C

，当

故选：

利用数学归纳法进行分析排除即可．

本题主要考查使用数学归纳法对数列的增减性和敛散性进行判断，属中档题．

11.

【答案】

1

【解析】解：函数

，

故答案为：

利用指数与对数函数的运算性质即可得出结论．

本题考查了指数与对数函数的运算性质、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

12.

【答案】

，

，，

B

正确，

，

，则

，则，

，则

，

，所以是递减数列，

，

，

A

错误，同理可证明

D

错误，

，即

，则

，又因为

，即

，所以

，又因为

，

，所以

，代入进去很明显不是递减数列，

C

错误，

第8页，共18页

【解析】解：根据题意可设所求方程为，，

又，解得，，，

所求方程为

故答案为：

根据题意，建立方程，即可求解．

本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．

13.

【答案】

【解析】解：取

则，但

命题

p

为假命题，

能说明命题

p

为假命题的一组，的值可以是

故答案为：答案不唯一；答案不唯一

，

答案不唯一

，

，不满足

答案不唯一

，

，

根据题意，举反例，即可得解．

本题考查命题的真假判断，属基础题．

14.

【答案】

48 384

【解析】解：数列的后

7

项成等比数列，

，

，

公比

，

又该数列的前

3

项成等差数列，

数列的所有项的和为

，

故答案为：

48

；

根据数列的后

7

项成等比数列，，可得，，可得公比，进而得出

，利用求和公式即可得出结论．

第9页，共18页