具有垂直传染和年龄结构的SEI传染病模型研究

2024年3月12日发(作者：复旦硕士数学试卷)

山西师范大学学报（自然科学版）　

第２７卷第２期　

Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｘｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

ＶｏＩ．２７　Ｎｏ．２　

２０１３年６月　

Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　

Ｊｕｎｅ　２０１３　

文章编号：１００９－４４９０（２０１３）０２－０００５－０８　

具有垂直传染和年龄结构的ＳＥＩ传染病模型研究　

杨霞霞　，白江红　，闫萍　

（１．新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐８３００４６；２．安徽农业大学理学院，安徽合肥２３００３６）　

摘要：讨论了一类具有垂直传染和年龄结构的ＳＥＩ传染病模型，求得模型的无病平衡解，并得到当　

ｎｏｏ＞１时，至少存在一个地方病平衡解，并且证得当凡＜１时，无病平衡解是局部渐近稳定的，当　

＞ｌ时无病平衡解是不稳定的；当Ｒｏｏ＞１且Ｒｏ＜１时，地方病平衡解是局部渐近稳定的．　

关键词：垂直传染；年龄结构；ＳＥＩ流行病　

中图分类号：Ｏ１７５．１２　文献标识码：Ａ　

近年来，甲型Ｈ１Ｎ１流感和ＳＡＲＳ等新的流行病的出现和蔓延，给人们的生活带来严重威胁．因此，　

研究某种流行病在某一地区是否会蔓延下去而成为该地区的地方病或这种流行病是否最终消除，对流行　

病的预防、治疗、控制非常重要．早在１９２６年，Ｍｃｋｅｎｄｒｉｃｋ首先利用动力学的方法建立了经典的常微分方　

程形式的流行病数学模型…．由于不同年龄的人对同一种疾病的感染程度不一样，疾病的有些传播现象　

（如垂直传染等），不能很好地用常微分方程模型来表达，因此研究具有垂直传染年龄结构的流行病模型　

有着重要的理论意义和现实意义．　

疾病的垂直传染是指染病的父母通过遗传将疾病传给他们的子女，这种疾病的传播方式在维持疾病　

的延续中起着重要的作用．我们知道，许多流行病具有垂直传染的特征，因此，考虑具有垂直传染的流行　

病模型具有重要的理论和现实意义．目前对具有垂直传染和年龄结构的传染病模型平衡解的性态所见的　

研究工作还很少　］，而且也很不完整．郭淑利等　利用有界线性算子半群理论证明了具有垂直传染和　

年龄结构的ＳＩＲ模型解的存在唯一性；朱礼营等　研究了垂直传染和年龄结构的接种ＳＩＳ模型，得到了　

正平衡解存在性的充分条件；Ｅｌｄｏｍａ　Ｍ＿４　分别讨论了具有垂直传染和年龄结构的ｓＩ和ＳＩＳ模型；Ｉｎ—　

ａｂａ＿６　研究了具有垂直传染和年龄结构的ＳＩＲ模型解的全局稳定性；Ｌａｎｇｌａｉｓ　研究了具有垂直传染年龄　

结构的ＳＩＳ模型解的全局稳定性．　

本文主要讨论了具有垂直传染和年龄结构的ＳＥＩ传染病模型，利用经典的特征线法，积分方程理论　

以及函数的单调性理论讨论了ＳＥＩ传染病模型平衡解的存在性和稳定性．　

１模型与假设　

我们将人群分为易感者、潜伏者和患者三类，潜伏期无垂直传染和水平传染．首先引入一些记号：ｉｔ　

表示年龄，ｔ表示时间，ｓ（ｉｔ，ｔ），ｅ（Ⅱ，ｔ），ｉ（ｉｔ，ｔ）分别表示ｔ时刻这三类人口关于年龄ｉｔ的密度函数，密度函　

数Ｐ（ｉｔ，ｔ）＝ｓ（口，ｔ）＋ｅ（０，ｔ）＋ｉ（口，ｔ），设水平传染力函数具有可分形式Ａ（ｉｔ，ｔ）＝ｋ　（口）Ａ（ｔ），其中　

收稿日期：２０１２．１２－２０　

基金项目：高校科研计划青年教师科研启动基金（ＸＪＥＤＵ２０１　１　Ｓ０２）．　

作者简介：杨霞霞（１９８８～），女，甘肃定西人，新疆大学数学与系统科学学院硕士研究生，主要从事偏微分方程理论及应　

用方面的研究．　

通讯作者：白江红（１９７８一），女，新疆乌鲁木齐人，新疆大学数学与系统科学学院副教授，博士，主要从事偏微分方程理论　

及应用和生物数学方面的研究．　

・

６・　山西师范大学学报（自然科学版）　２０１３矩　

ｋ　（口）表示接触率，表示ｔ时刻的患者总数，用　（０）和卢（口）分别表示自然死亡率和出生率，０（０）表示由　

潜伏者类变为患者的比例，ｑ（ｑ∈（０，１））表示垂直传染率．我们假定无疾病引起的额外死亡率，故总人　

口模型就是一般的具有年龄结构的种群模型．　

根据实际问题背景和数学研究的需要，我们给出以下假设　

（Ｈ，）当总人口达到平衡态时，ｐ（口，ｔ）＝Ｐ　（口）：Ｃ＇７／＂（０），其中７ｒ（口）＝ｅ一　曲，ｃ表示新生儿的数　

量．　

（Ｈ：）／．ｔ（０），卢（血），ｓ。（５），ｅ。（０），ｉ。（口），０（０），ｋ　（口），ｋ　（口）均非负连续可积．　

（Ｈ３）０＜ｇ【　【　卢（０＋　）仃（口＋ｏｒ）０（　）ｅ—　烈　ｄｃｒｄａ＜１．　

以下讨论均在上述假设下进行．可以得到下列具有年龄结构ＳＥＩ模型：　

；　三　＋曼　＝一．ｊ｝　（口）Ａ（ｆ）ｓ（。，ｔ）一　（ｎ）ｓ（口，　）　。＞０￡＞０　

三　＋　＝Ｊｉ｝

。

（。）Ａ（ｆ）ｓ（口，ｆ）一　（口）ｅ（口，　）一　（ｎ）ｅ（。，　）　。＞０

；　三＿）＋　上＝一　（口）　（口，ｆ）＋　（。）ｅ（。，￡）　＞０　ｆ＞ｏ　

ｓ（０，￡）＝』）卢（口）Ｉ　ｓ（。，　）＋ｅ（口，　）＋（１一ｇ）　（口，　）　０　

８（０，　）　口』）卢（口）　（口，ｔ）ｄａ＝　（　）　ｔ≥０　

ｉ（Ｏ，ｔ）＝０　ｔ≥０　

ｓ（口，０）＝ｓ０（口）　口≥０　

ｅ（口，０）＝ｅｏ（口）　口≥０　

ｉ（口，０）＝ｉｎ（０）　口≥０　

则模型（１）的平衡解（ｓ　（５），ｅ　（０），ｉ　（ｎ））满足下列方程　

＝一后，（口）Ａ　ｓ　（口）一　（。）ｓ　（口）　。＞０　

旦上＝　

。

（口）Ａ　ｓ　（口）一　（口）ｅ　（。）一　（。）ｅ　（口）　。＞０　

：　

ｄ口　

（。）ｅ・（口）一　（口）　・（。）　＞０　

ｓ　（０）　上卢（。）［ｓ’（口）＋ｅ　（口）＋（１一ｑ）ｉ　（。）］ｄ。＝ｃ—ｅ　（０）　

ｅ　（０）　９上卢（口）　（ａ）ｄａ＝　

ｉ　（０）＝０　

Ａ　ＪＤ　ｋ２（口）　（ａ）ｄａ　

当Ａ　＝０时，只存在元病平衡解ｓ’（口）＝ｅｒｒ（　，ｅ’（口）＝０，ｉ　（　＝０．　

２　地方病平衡解的存在性　

下面讨论模型（１）地方病平衡解存在的条件．　

由Ｐ　（口）＝ｓ　（口）＋ｅ　（口）＋ｉ‘（口），解方程组（２）得　

ｓ　（口）：（ｃ一　）仃（０）ｅ－ａ＊　ｔ（ｓ）　

ｅ　（口）：　，（。）ｅ—　ｅ（５）　＋（ｃ一　）Ａ　ｒ（口）［。ｋ。（丁）ｅ－ａ＊　－（ｓ）　ｅ—ｒ　（５）　ｄ　

￡＞ｏ　

（２）　

（３）　

（４）　

第２期　杨霞霞　白江红　闫萍：具有垂直传染和年龄结构的ＳＥＩ传染病模型研究　・７・　

‘（　）＝　７ｒ（口）ｒ　（　）ｅ—　口（ｓ）山ｄ．ｒ　

ｋｌ（　）ｅ－Ａ＊　ｌ（ｊ）ｄ＇ｅ－￣口（，）山ｄ　ｄ．ｒ　

＋（ｃ一　）Ａ　’仃（口）　ＪＣｒ　（丁）　

由（２）中ｔ，　的表达式，将（５）式带人并整理得　

（５）　

移’＝［ｃｑＡ‘上　上　卢（口＋　＋　）仃（口＋丁＋ｏ－）ｏ（　＋　）ｋｌ（　）ｅ－ａ＊　，（Ｊ）ｄｌｅ—　（１）山ｄ　ｄ下ｄａ］　

／［１一ｇ秽　上　。卢（口＋７）仃（口＋．ｒ）　（．ｒ）ｅ－　＿（ｊ）出ｄ．ｒｄ口　

＋ｑＡ’上　。　上　。　（ａ＋　＋　）仃（口＋　＋　）　（丁＋　）｜ｉ｝　（　）ｅ－ａ＊￣Ｖｋｔ（ｓ）ｄ５ｅ—　（ｊ）山ｄ　ｄ．ｒｄ口］　（６）　

由（２）中Ａ’的表达式，将（５）式代入并整理得　

Ａ’＝　’　。　后

：

（口＋　）７ｒ（口＋　）　（　）ｅ—　口（　）山ｄ．ｒｄ口　

＋（ｃ一　‘）Ａ　：（口＋．ｒ＋　）仃（。＋．ｒ＋　）　（　＋ｏ－）ｋ　（　）ｅ－＾．　山ｅ—　＋＇ｒａ（ｓ）ｄｓｄ　ｄ　ｄ。　

（７）　

将（６）代人（７）式可得　

Ａ　‘　（…＋　）仃（…＋　）口（．ｒ＋　）ｋｌ（　）ｅ－ａ＊　出ｅ一　出ｄ　ｄｆｄｎ　

＋［　．ｊ｝　（ｎ＋．ｒ）丌（ｎ＋．ｒ）　（．ｒ）ｅ—　（５）山ｄ　ｄ。一Ａ　ＪＩ　

×ｋｌ（　）ｅ＿＾．　（汕ｅ—　出ｄ　ｄｒｄｎ］　

（。＋　＋　）仃（。＋ｒ＋　）　（下＋　）　

×［ｃＡ　ｑ　厂ｒ卢（。＋．ｒ＋　）仃（ｎ＋ｒ＋　）口（．ｒ＋　）×Ｊ｝。（　）ｅ－Ａ＊　ｄｓｅ—　汕ｄ　ｄｒｄ。］　

／［１一ｇ上　。　（口＋．ｒ）仃（ｎ＋　）　（．ｒ）ｅ—　（５）出ｄ　ｄ。　

＋Ａ‘ｇｒ　ｒ　（ｎ＋ｒ＋　）仃（…＋　）　（丁＋　）×｜ｉ｝　（　）ｅ－Ａ＊　ｅ一　）　ｄ　ｄ下ｄ口］　

当Ａ’≠０时，有　

（８）　

ｌ＝ｃ　厂　（…＋　）仃（ｍ＋　）　（　Ｉｉ｝。（　）ｅ　出ｅ—　油ｄ　ｄ下　

＋［　。　

：

（口＋ｒ）仃（ｎ＋　）　（．ｒ）ｅ—　（ｓ）山ｄｒｄ８一Ａ　上　Ｊ｝：（。＋　＋　）仃（。＋ｒ＋　）ｐ（ｒ＋　）　

×Ｊｌ｝　（　）ｅ－Ａ＊　ｌ（５）山ｅ—　（ｊ）凼ｄ　ｄｒｄｎ］×［ｃｇ　上　上　／Ｊ（。＋　＋　）仃（。＋下＋　）　（ｒ＋　）　

×Ｉ｝ｉ。（　）ｅ－＾．　山ｅ一　ｄ　ｄ　］／Ｉ　１一ｑ　ｒ卢（…）仃（…）　（．ｒ）ｅ　）出ｄ丁　

＋Ａ　ｑ　

记　

卢（。＋．ｒ＋　）仃（ｎ＋．ｒ＋　）　（丁＋　）ｋｌ（　）ｅ－Ａ＊　・（　）ｄｓｅ＿＿　（５）山ｄ　ｄｒｄａ］　（９）　

Ｒ。。＝ｃ　上　卢（血＋ｒ＋　）仃（。＋丁＋　）　（　＋　）Ｊｊ｝　（　）ｅ—ｆ　（　）由ｄｏ＇ｄ　ｄ口　

＋［　Ｉｊ｝：（口＋．ｒ）仃（口＋丁）　（．ｒ）ｅ—　（　）　ｄ　ｄ口］　

×［ｃｇ　上　卢（口＋．ｒ＋　）仃（口＋丁＋　）　（　＋　）．ｊ｝　（ｏ９ｅ—　（ｓ）出ｄ　ｄ．ｒｄ口］　

／［１一ｇ　上　卢（ａ＋　）７ｒ（口＋　）　（．ｒ）ｅ—　（１）出ｄ　ｄ口］　（１０）　

・

８・　山西师范大学学报（自然科学版）　２０１３焦　

我们把（９）式记作　Ａ　），易见　０）＝Ｒ∞，当Ｒ００＞１时有　０）＞１，当Ａ’一＋∞时有　Ａ　）　

０，故至少存在一个Ａ　＞０使得（９）式成立．　

故有以下地方病平衡解存在定理．　

定理１　当Ｒ。。＞１时，模型（１）至少存在一个地方病平衡解（ｓ’（ａ），ｅ　（口），ｉ　（ａ））．其中ｓ’（ａ），　

ｅ’（口），ｉ’（０）分别由（３）～（５）式给出．　

３　平衡解的稳定性　

以下考虑上面得到平衡解的稳定性．　

将模型（１）中的第一个，第三个方程沿特征线ｔ—ａ＝常数积分可得　

ｓ０（０一ｔ）ｅ一　一ｔ［ｐ（Ｄ＋／ｑ（　）Ａ（卜。　）］士　

ｓ（ａ，￡）＝｛ｔ　

ｒ

．　

口＞ｔ　

（１１）　

ｓ（０。ｔ一口）ｅ一　［　（。）　１（　）　（ｔ－ａ＋ｓ）］出　

。

口＜ｔ　

（口一ｆ）ｅ－￣－ｔ　‘ｓ　＋　５　也＋ｃ　（。）Ｊｅ　（口一￡＋　）ｅ—ｆ＿ｔ＋　‘　’士ｄ　

（口一￡）　（。一￡＋　）ｅ—ｆ＿ｐ（ｓ）ｄｓｅ－　＾（１…汕ｅ—Ｏ（ｓ）ｄｓ　口＞ｔ　

ｃ７ｒ（口）上　（　）ｅ一　ｄｏ＂一［ｃ—ｅ（０，　一口）］仃（口）　

×ｏ（ｏ－）ｅ—ｋｌ（ｓ）Ａ（ｔ－ａ＋ｓ）ｄｓｅ－￣口（５）山ｄ　ａ＜￡　

）＝ｃｇ　

－ｃｑ　

（咖（　（　

（口）仃（口）　（　）ｅ一　

＋ｇ　

…汕ｅ　

（咖（啪（　（ｔ　ｅ—　ｋｌ（ｓ）ａ（ｔ－ａ＋ｓ）ｄｓｅ－ｒｆＯ㈤　

口）ｅ一　㈤州５）］出ｄ口　山　口＋ｇ　／３（口＋　

＋ｃｑ　

一

＋ｆ）　

（口　

＋　。胎㈤由ｄｏ－ｄ口　

（１３）　ｇ　。（　（口＋　一　（ｓ）ａ，ｅ－　㈤＾（｜　山　一胁）　ｄｏ－ｄ口　

将（１３）式代入Ａ（ｔ）表达式可得　

Ａ（ｔ）＝ｃ

．

ｅ　：（口）７ｒ（ｎ）ｐ（　）ｅ—ｆ　出ｄ－ｏｄ　

：（。）仃（ｎ）　（　）　（ｚ一口）ｅ一　）＾（１　＋｜　ｅ一　㈤ｍｄｏ－ｄ口　

ｃ　

＋　

一

ｆ　）　）咖　

口　川　

ｌ－ａ＋ｓ）ｄ￣ｅ－ｆｆ　）山ｄ－ｏｄ口＋＋ａｏ　口川　一ｆ“㈧州圳‰　

＋　一　）山ｄｏ－ｄ口　＋ｃ　

一　

一上上　（ｋ２　ｔ（口＋　（）Ｓｏ　８）　（口＋ｔ口＋　．－ｏ）　ｅ－Ｉ＝　山ｅ—一　小川…）＿【＝　“　。　。　山ｅ—一　）．［＋：　山　ｄ　口ｏ＇ｄ口　

令ｔ一＋∞，则有　

（ｔ）＝ｃｇ　（口）丌（口）　（　）ｅ一　

（１４）　

＋ｇ　（口）仃（口）　（咖（￡一。）ｅ－￣ｋｌ（ｓ）Ａ（ｔ－ａ＋ｓ）ｄｓｅ－ｆ　，出ｄｏ－ｄ口　

（口）丌（口）　（　）ｅ—　Ｉｑ（ｓ）Ａ（ｔ－ａ＋ｓ）ｄｓｅ－￣　）山　ｄｎ　（１５）　

ｒ’∞一　ｒ　

Ａ（ｔ）＝。上上ｋ２（口）仃（口）　（　）ｅ一　ｄ－ｏｄ口　

第２期　杨霞霞白江红闫萍：具有垂直传染和年龄结构的ＳＥＩ传染病模型研究　

＋　

一

（ｎ）仃（口）　（　）　（ｔ一口）ｅ一　＾（１…舳ｅ　）山ｄｏｒｄ口　

ｃ

ｆ　（口）丌（。）　（　）ｅ．　＿ｋｌ（ｓ）Ａ（ｔ－ａ＋ｓ）ｄｓｅ－￣＂Ｂ（ｓ）也ｄ　ｄ口　（１６）　

下面对（１５）和（１６）式进行线性化：　

令ｔｔ，（ｆ）＝　（￡）一　，　（　）＝Ａ（　）一Ａ　，　（ｔ）＝（　），（１５）和（１６）式的线性化方程可以写作　

，

＋∞　＋∞　

ｘ（ｔ）＝ｃ１　ｆ１　Ａ（口，ｒｏ）ｘ（ｔ一口一　）ｄｏ＇ｄａ　（１７）　

其中　

ｇ（ｃ一　’）上ｆｌ（ａ＋ｏｒ＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）　

（ａ＋　）．７ｒ（ａ＋　）０（　）　

×　（　＋ｓ）后　（ｓ）ｅ　＋Ｓｋｌ㈤出ｅ—　（ｃ）ａｄｓ　

×ｅ－＾．　Ｉ（ｃ）ｄｃｅ—　（ｃ）ｄｃ　

Ａ（ａ，ｒｏ）＝　

（１８）　

（ｃ一　）　ｋ２　ａ＋　＋ｓ）７ｒ（口＋　＋ｓ）　

ｋ２（ａ＋　）丌（ａ＋　）０（　）　

×　（　＋ｓ）　１（ｓ）ｅ－Ａ＊　ｌ（ｃ）ｄｃｅ一　（ｃ）ａｄｓ　

×ｅ　ｌ（ｃ）ｄｃｅ—ｆ　（ｃ）ｄｃ　

［１一（ｃ一　’）　ｅ一（ｄ＋　）　（口＋　＋ｓ）７ｒ（口＋　＋ｓ）　（　＋ｓ）　

ｋｌ（ｓ）ｅ一＾’．　＋Ｓｋｉ（ｃ）ｄｃｅ－；；＋ｓ￣＂＋ｓｏ（ｃ）　ｄｓｄ　ｄ口］　

ｌ＿ｑ　（。＋　）仃（口＋ｏｒ）Ｏ（ｏ－）ｅ－ａ＊；ｋｌ（ｓ）ｄＳｅ－；”吣）山ｄｏｒｄ。］　

一　

ｅ－（ａ＋ｏ＇）ｚＪｃ

：

（口＋　）仃（口＋　）９（　）ｅ－＾．　山ｅ一　）山　口］　

×［ｇ（ｃ－－Ｖ＊）　ｅ一（ｎ＋　（口＋　＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）　

（　＋ｓ）×ｋｉ（ｓ）ｅ一＾’　（ｃ）ｄｃｅ—　（ｃ）￣ｄｓｄ　ｄ口］：０　（１９）　

当Ａ　＝０时，有　＝０，则（１９）式可变为　

［１一ｃ　Ｊｊ｝　（口＋　＋ｓ）仃（ｎ＋　＋ｓ）ｏ（ｏｒ＋ｓ）ｋｌ（ｓ）ｅ一　（ｃ）如　ｄｏｒｄ口］　

×［１一ｇ　。　ｅ一（口＋　’　（口＋　）仃（。＋ｏｒ）ｏ（ｏｒ）ｅ—ｆ　（ｊ）山ｄｏｒｄ口］　

一

［上　上　。ｅ－（ａ＋ｏ＇）ｚ｜ｉ｝：（ｎ＋　）仃（ｎ＋ｏｒ）Ｏ（ｏ－）ｅ＿＿　ｐ（　）山ｄ　ｄ口］　

×　（口＋　＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）　（　＋ｓ）．ｊ｝　（ｓ）ｅ—　“　）出　ｄｏｒｄ口］＝０（２０）　

设　＝ｘ（ｘ∈Ｒ），由（２０）式我们定义函数ｆ（ｘ）为　

）＝［１一ｃＪｌ＋　＋ｏｎ　ｅ＿（ｄ　后　（口＋　＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）×ｏ（ｒｏ＋　（ｓ）ｅ—　）山捌　］　

一

［　ｅ一（口＋　）　后：（口＋　）仃（口＋　）　（　）ｅ—　ｐ（　）　ｄｏ＇ｄ口］　

×［ｃｇ上　上　Ｉ＋　ｅ一（Ｂ＋　（口＋　＋ｓ）丌（Ⅱ＋　＋ｓ）ｏ（ｒｏ＋ｓ）ｋｌ（ｓ）ｅ一５７”。（ｃ）如ｄｓｄ　ｄａ］　

／Ｅ　ｌ一口　ｅ一（。＋　（口＋　）仃（。＋ｏｒ）ｏ（ｏｒ）ｅ—　（ｓ）也ｄｏｒｄ口］　（２１）　

记　

凰＝ｃ　：（口＋　＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）　（　＋ｓ）．ｊ｝　（ｓ）ｅ一　㈤山　ｄｏ＇ｄ口　

・

１Ｏ・　山西师范大学学报（自然科学版）　２０１３年　

＋［［广　ｒ　（上　上　（ｋ２　口＋　）．７ｒ（０＋。＋　）　（　）ｅ—一　烈ｆ　）　ａｓｄｔｒｄ口］　

＋

　’×［ｃ口上上上／，　ｗ，　ｗ　ｒ　Ｔ　ｗ　３（口＋仃＋ｓ）霄（ｎ＋　＋ｓ）０（ｏ－＋ｓ）后ｔ（ｓ）ｅ一　＋十　由ｄ　＋Ｊ　ｓｄｔｒｄ口］　

／［５一ｇ上　（口＋　）仃（口＋ｏ－）ｏ（ｏ－）ｅ—　（ｓ）出ｄｔｒｄ口］　

易知　）为严格单调增函数，且　０）＝１一Ｒ。．当Ｒｏ＞１时有　０）＜０，且当　

（２２）　

＋∞时有　）　

１，故存在一个　’使得厂（　。）＝０，所以当Ｒ。＞１时无病平衡解是不稳定的．　

下面我们定义　

Ｆ（口，　，Ａ’）：　（口＋　）仃（口＋　）　（　）ｅ－Ａ＊　－（３）　ｅ—　（ｓ）ｄｌ　

＋（ｃ一　’）ｒｋ２（８＋　＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）　（　＋ｓ）后。（　）ｅ－＾．ｒ＋ｓｋｉ㈤　ｅ一　“　）ａｃ　

一ｇ（ｃ－－Ｖ＊）ｆ　上　ｆｌ（ｉ＋ｊ）ｃｒ（ｉ＋ｊ）Ｏ（ｊ）ｅ－Ａ＇ｆｏ￣Ｉ（Ｃ）ｄｃｅ－］￣　（ｃ）ｄｃ　

×ｋ２（口＋Ｇｒ—ｉ、－ｊ＋５）仃（口＋　～ｉ一－，＋　）　（　－ｊ＋ｓ）　

×后　（ｓ）ｅ－＾．　’　）山ｅ一　ｙ　如ｄｓｄ　（ｉ『　

＋ｇ（ｃ－－Ｖ＊）ｆ　后：（　＋ｊ）ｃｒ（ｉ＋　）　（　）ｅ－Ａ＊　－（ｃ）ｄｃ　

ｅ—　（ｃ）出口（口＋　一　一　＋ｓ）仃（口＋　一　一＿，＋ｓ）　

×　（　一Ｊ＋ｓ）后ｌ（ｓ）ｅ　，叮●●　‘　’出ｅ’　＋　－●。＋－一。／　‘　‘。’出ｄｓｄｉｄｊ　（２３）　

则（１９）式化为　

上上ｅ　。　ｈｊｒ（口，　，Ａ‘）ｄｔｒｄ口＝１　

定理２　设　≤０，　≤０．则　

（２４）　

１）当Ｒｏ＜１时，模型（１）的无病平衡解是局部渐近稳定的；　

２）当Ｒ。＞１时，模型（１）的无病平衡解是不稳定的．　

证明　令ｚ＝　＋ｉｙ，当Ａ　＝０时有　

上上ｅ　。”ｈｓｉｎ［ｙ（。＋　）ＩＦ（口，　，Ｏ）ｄｔｒｄ。＝０　

ｒ（ｏ，　，ｏ）＝　（　）仃（　）　（　）＋ｃ　Ｊｉ｝：（　＋ｓ）丌（　＋ｓ）　（　＋ｓ）ｋｌ（ｓ）ｄｓ＞０　

（２５）　

（２７）　

Ｆ（口，０，０）：　（ａ）仃（口）　（０）ｅ—ｆ　）山＋ｃ［”　：（ｎ＋ｓ）仃（口＋ｓ）　（ｓ）　。（　）。一ｆ＋ｓＯ（ｃ）山　＞０　（２６）　

对于ｔ（ａ，　，０），当口　＋∞或　＋∞时均有ｊｒ（ａ，　，０）－－＊０，由Ｆ（口，　，０）关于口和Ｇｒ单调递减，　

当　≥０时，ｅ　Ｆ（口，　，０）也关于口和　单调递减，且满足当口一＋∞或　一＋∞时均有ｅ＿（ａ　

Ｆ（ａ，　，０）　０．若戈≥０，则有：　

上　上　ｅ＿‘　ｓｉｎ［ｙ（　＋ｏ－）］Ｆ（口，　，Ｏ）ｄｔｒｄ口≠０　Ｙ≠０　

如果Ｙ＝０且　≥０，则特征方程的实部满足　

ｌ’ｃ　

一

（２８）　

口］　（口＋　＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）０（ｏ－＋ｓ）ｋｌ（ｓ）ｅ一　㈤如　

［上　上＋ｏｎ　ｅ一（４＋　）　：（Ⅱ＋　）仃（口＋　）　（　）ｅ—　（ｓ）山ｄｏ＇ｄ。］　

（口＋　＋ｓ）仃（口＋　＋ｓ）　（　＋ｓ）ｋ　ａ（ｓ）ｅ一　“　）　ｄｓｄ　ｄ口］　×［ｃｇ　

第２期　杨霞霞白江红闫萍：具有垂直传染和年龄结构的ＳＥＩ传染病模型研究　

／Ｃ　１一ｑ　ｅ　（口＋　）订（口＋　）　（　）ｅ一　曲ｄ口］：０　（２９）　

＋∞时有　）　记等式左边为　），则有　）单调递增且当Ｒ。＜１时有　０）＝１一Ｒ。＞０，当　

渐近稳定的．　

下面来证明地方病平衡解的局部渐近稳定性．　

－＋１，所以方程（２９）不存在　≥０的根，故方程（２９）只存在负根，因此可得模型（１）的无病平衡解是局部　

定理３　设丝　

ａ　

≤ｏ

，　

≤０，则当　０一　ｏ＞１＿Ｒ　Ｒｏ＜１时，模型（１）的地方病平衡’一…’…一……　

解是局部渐近稳定的．　

证明　令Ｚ＝　＋ｉｙ，由（２４）式有　

』】上ｅ－（ａ＋＇ｒ）ｘｓｉｎ［ｙ（ａ＋　）］Ｆ（０，ｏｒ，Ａ　）ｄｏ＇ｄａ＝０　（３ｏ）　

（３１）　

ｒ（ａ，０，Ａ’）＝（ｃ一　）［　ｋ２（。＋ｓ）仃（口＋ｓ）　（５）后　ｓ）ｅ一　』５　ｔ（ｃ）如ｅ—　”　（ｃ）出ｄｓ　

＋　（口）７ｒ（口）　（Ｏ）　—　）山＞０　

Ｆ（０，ｏｒ，Ａ　）＝　（　）７ｒ（　）　（　）ｅ－Ａ￣　－（ｃ）ｄｃ　

＋（ｃ－－Ｖ＊）Ｉ＋　Ｊｃ２（　＋ｓ）７ｒ（　＋ｓ）　（　＋ｓ）　。（ｓ）ｅ－￣－　（ｃ）出ｄ　＞ｏ　（３２）　

对于Ｆ（ａ，　，Ａ。），当口　十∞或　＋Ｏ０时均有Ｆ（ａ，　，Ａ　）－－＋０，由Ｆ（ａ，　，Ａ’）关于口和　单　

调递减，当　≥０时，ｅ　Ｆ（ａ，　，Ａ。）也关于０和　单调递减，且满足当ｎ一＋Ｏ０或　．＋＋∞时均有　

ｅ－（ａ＋ｏ－）ｘＦ（ａ，　，Ａ　）一０．若　≥０，则有　

上　Ｊ。　＿‘　ｓｉｎ［ｙ（ａ＋　）］Ｆ（口，ｏｒ，Ａ　）ｄｏ＇ｄａ≠０　Ｙ≠０　

如果Ｙ：０且　≥０，则由假设（Ｈ，）及　＜１可得特征方程（１９）的实部满足　

（３３）　

［１一ｇＪＩ＋　

一

（ｎ＋　）订（口＋　）ｅ（　）ｅ　ｆｆｋｔ（ｓ）ｄｓｅ－［ｒ＂　出ｄ　ｄ０］　

ｅ一（ｎ＋　）ｅ一（Ⅱ＋　）　：（ｎ＋　）仃（。＋　）口（　ｅ－Ａ＊ｋｌ（ｓ）ｄｓｅ－』：　（５）士ｄ　ｄ口］　

×Ｉ１一ｃ　ＪＩ　ｅ一（ｎ＋　）　．ｉ｝：（。＋。ｒ＋ｓ）仃（。＋。ｒ＋ｓ）　（ａｒ＋ｓ）　（ｓ）ｅ一　＋Ｓｋｌ（ｃ）ｄｃｅ－￣：；　（ｃ）如ｄ　ｄ。．ｄ。　

［　

×［ｃｇＪ［　。上　Ｊｃ　ｅ一（口＋　（。＋　＋ｓ）仃（。＋　＋ｓ）　（　＋　）．ｉ｝　（　）ｅ一　＋Ｓｋｌ（ｃ）ｄｃｅ－；：；＋Ｓｏ（ｃ）ｄｅ　ｂｄ　ｄ。］　

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这与特征方程（１９）的实部为零矛盾，故特征方程（１９）只存在负的特征值，因此地方病平衡解是局　

部渐近稳定的．　

我们从基本再生数Ｒ。的表达式可以看出：垂直传染率ｑ越小，Ｒ。越容易小于１，疾病越容易得到控　

制；ｇ越大，Ｒ。越不容易小于１，疾病越不容易得到控制．这与实际情况是相符合的，因此我们可以采取适　

当的方法如接种疫苗等使垂直传染率口减小．进而控制传染病的流行．　

・

１２・　山西师范大学学报（自然科学版）　２０１３年　

参考文献：　

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［７］Ｌａｎｇｌａｉｓ　Ｍ．Ｇｌｏｂａｌ　ｂｅｈａｖｉｏｕｒ　ｉｎ　ｇａｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ＳＩＳ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｅａｓｏｎａｌ　ｐｅｒｉｄｏｉｃｉｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎｌａｙ　Ａｐｐｌ，１９９７，　

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ＹＡＮＧ　Ｘｉａ－ｘｉａ　，ＢＡＩ　Ｊｉａｎｇ－ｈｏｎｇ　，ＹＡＮ　Ｐｉｎｇ　

（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅ￣Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉｎｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｕｒｕｍｑｉ　８３００４６，Ｘｉｎｊｉａｎｇ，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｆｏＳｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｈｕｉ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ　２３００３６，Ａｎｈｕｉ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ａｎ　ａｇｅ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ＳＥＩ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，ａｎｄ　

ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｅａｓｅ—ｆｒｅｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ．Ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｏｎｅ　ｅｎｄｅｍｉｃ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｕｉｍ　ｉｆ　Ｒ００＞１．Ｔｈｅ　

ｄｉｓｅａｓｅ—ｆｒｅｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｉｓ　ｌｏｃａｌｌｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｉｆ　Ｒ０＜１，ａｎｄ　ｉｓ　ｕｎｓｔａｂｌｅ　ｉｆ　Ｒ０＞１．Ｔｈｅ　ｅｎｄｅｍｉｃ　ｅｑｕｉｌｉ—　

ｂｒｕｉｍ　ｉｓ　ｌｏｃａｌｌｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｉｆ　Ｒ００＞１　ａｎｄ　Ｒ０＜１．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ；ａｇｅ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ＳＥＩ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅ　

中国科学院胡守云研究员应邀来山西师范大学讲学　

２０１３年４月１日，中国科学院胡守云研究员应我校邀　展示了在大气、土壤、河流、湖泊等不同环境系统中利用磁手　

请，在新实验楼四层报告厅作了题为“北京地区重金属污染　

段研究污染的成果和最新进展；对于一些难点、热点问题，如　

的磁学诊断”的学术报告．　

磁性机理的研究、多源污染的分离、强烈多变的人类活动对　

胡守云，中国科学院南京地理与湖泊研究所湖泊与环境　

获取有意义磁讯号的影响等，作了相应的分析和总结．　

国家重点实验室研究员，先后参加了９７３、攀登计划、科学院　

此次学术交流活动是我校生命学院召开２０１３年生态学　

重大项目等一系列研究，主持国家自然基金面上课题六项，　

国际会议的预备活动，为正式会议的召开奠定了基础，为我　

具有国际合作的良好经历与背景．　校师生们提供了磁学与生物学合作研究的思路，也为今后进　

在报告中，胡守云研究员以北京地区为例介绍了磁学方　

一

步开展对外合作创造了良好条件，有力地促进了我校的学　

法用于污染研究的主要用途、野外工作方法以及相关仪器；　

术交流．