2024年3月20日发(作者：2020普宁中考数学试卷)

习题2—1

1、若自然数

n

不是完全平方数，证明

n

是无理数。

证明：若

n

不是无理数，设

n

p

p,qN,且p,q互质

，于是

q

nq

2

p

pnqpp

2

pnq

22

而

p,q互质

，故

p

不整除

q

p

整除

n

，记

nps

sN

p

n

，故

s

n

2

2

2

nqnqs

，即

n

为完全平方数，矛盾。假设不成立。



2

s

2、设

a,b

是两个不同的实数，证明

a,b

之间一定存在有理数。

证明：不妨设

ab

，则存在

mN

，使得

m

1

m

ba

1mbma1

ba

又因为存在整数

n

，使得

n1man

由

manma1

n

n

manmbab,mN

,nZ

，是有理数。

m

m

ma1mb

p

p1

p,qZ,q0

，使得

x

2

，

q

qq

3、设

x

为无理数，证明存在无穷多个有理数

证明：假设只有

n

个有理数满足

x

p1

2

，设为

a

1

,a

2

a

n

,

其中

a

i

i1,2n

为有理

qq

a

i1

a

i

aa

a

i

，而

i1i

为有理数，

22

数，且

a

1

a

2

a

n

,

对于区间

a

i1

,a

i

显然

a

i1

且

x

a

i1

a

i

11

aaaax

12in

22

q2q

a

i1

a

i

满足要求，故假设不成立。

2

习题2—2

1、求下列数集的上，下确界

1

1

1

，下确界为0（达到）

上确界为1（不达到）

n

n



1

，下确界为2（达到）

21nN



上确界为

e

（不达到）



n

3

1

n

1

n1

，下确界为-1（不达到）

1

上确界为1（不达到）

n

4

yx

2

,x

1,

1

上确界为1（不达到）下确界为0（达到）

2

2、 设

Ex,x

2

2,xQ,

验证

infE2

2

证明：

1

xE,x2x2

，即

2

是

E

的一个下界



2

若

2

2

2

，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在

x

2,

2

，

且

x

为有理数，于是

2x

2

2x

2

2

，即存在

x

E,x

2

,故

2

不是

E

的

下界。

3、用定义证明上（下）确界的唯一性

证明一：假设

1

,

2

均为下确界，且

1

2

，不妨设

1

2

。由于

1

是下确界，则对



2

1

0

，必存在

xE

,使得

x

1

2

，这与

2

是下确界矛盾。

4、试证收敛数列必有上确界和下确界，且上、下确界至少有一个属于该数列，趋于



的

数列必有下确界，趋于



的数列必有上确界。

证明：

1

由于收敛数列必定有界。根据确界存在原理，该收敛数列必有上确界和下确界。

2

若

limx

n

A

，则对于各项均为常数

A

的数列，其上下确界显然均属于该数列。

n

对于各项不恒为常数的数列，记

limx

n

A

，则或

1

存在

x

i

A,

或

2

存在

x

j

A,

或

3

n

这种

x

i

,x

j

都存在。作

A

的充分小的邻域使它不包含

x

i

,

或不包含

x

j

，或

x

i

,x

j

均不在此邻

域内。 在这三种情况下，这个邻域的外部都只有

x

n

中的有限个元素，则

1

将达到上确

界，

2

将达到下确界，

3

上下确界均可达到。由

1

，

2

可得，上下确界将至少有一个

属于该数列。

3

设

x

n



n

，则

N

，当

nN

时，

x

n

x

1

，取

min

x

1

,x

2

,x

n

，

则

min

x

n

inf

x

n

。

n1


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下确界,证明,存在,邻域