2023年高考数学试题分类解析【第十二章 计数原理与概率统计】附答案解

2023年高考数学试题分类解析【第十二章计数原理与概率统计】第一节两个基本计数原理、排列组合1.（2023全国甲卷理科9）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（A.120B.60C.40D.30）【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【解析】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A2412种方法，同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260种.故选B.2.（2023全国乙卷理科7）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（A.30种）C.120种D.240种B.60种【解析】甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤：先从6种课外读物中选择一本作为甲、乙两11人共同的选择，再从剩下的5本中选择互不相同的两本，所以符合题意的选法共有C1.6C5C4120（种）故选C.3.（2023新高考I卷13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有1112种（用数字作答）.21【解析】如果选修2门，共有C4C416种；如果选修3门，共有C4C4C4C448种.所以不同的选课方案共有164864种.4.（2023新高考II卷3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（15A.C45400C200种40B.C20400C200）种30C.C30400C200种D.20C40400C200种【解析】按初中部和高中部学生人数比例分层抽样可知，从高中部抽40人，初中部抽20人，分步完成.20由乘法原理得不同的抽样有C40400C200.故选D.1

第二节二项式定理11.（2023北京卷5）2x的展开式中，x的系数是（xA.40B.4055）C.80D.801【分析】写出2x的展开式的通项即可.x115rr5rr52rr【解析】2x的展开式的通项为Tr1C512C5x2xxx令52r1得r2.5r122所以2x的展开式中x的系数为1252C580.x故选D.【评注】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.512.（2023天津卷11）在2x3的展开式中，x2项的系数为_________．x【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式的值，然后计算x2项的系数即可.【解析】展开式的通项公式Tk1C2xk6kTk1126kC6x184kk6，令184k2确定k36kk16kk184k，12C6xx4k令184k2可得，k4，则x2项的系数为1264C4641560.故答案为60.第三节随机事件的概率及其计算3.（2023北京卷18）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”；即当天价格比前一天价格高，用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.时段第1天到第20天价格变化000002

第21天到第40天用频率估计概率.（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明）【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算；（2）分别计算出表格中上涨、不变、下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【解析】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：00000160.4.40（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨、下跌、不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是21C240.4C20.350.250.168.（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.4.（2023全国甲卷理科6）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1）【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率，利用条件概率的知识求解.【解析】报名两个俱乐部的人数为50607040，记“某人报足球俱乐部”事件A，记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，3

则PA505404，PAB，7077074PAB7所以PBA0.8.5PA7故选A.5.（2023全国甲卷文科4）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（A.）16B.13C.12D.23【分析】利用古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解.【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C246件，其中这2名1学生来自不同年级的基本事件有C12C24，所以这2名学生来自不同年级的概率为故选D.42.636.（2023全国乙卷理科5，文科7）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于A.x,y1