高考数学导数题型归纳

2024年4月12日发(作者：德州市中考数学试卷)

导数题型归纳

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）

与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以与“充分应用数形结合思想”，

创建不等关系求出取值X围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令

f(x)0

得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的X围就把谁作为主元）；

例1：设函数

yf(x)

在区间D上的导数为

f



(x)

，

f



(x)

在区间D上的导数为

g(x)

，若在区间D上，

\'

x

4

mx

3

3x

2



g(x)0

恒成立，则称函数

yf(x)

在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

f(x)

1262

（1）若

yf(x)

在区间



0,3



上为“凸函数”，求m的取值X围；

（2）若对满足

m2

的任何一个实数

m

，函数

f(x)

在区间



a,b



上都为“凸函数”，求

ba

的最大值.

x

4

mx

3

3x

2

x

3

mx

2

3x

解:由函数

f(x)

得

f



(x)

126232

2

g(x)xmx3

（1）

yf(x)

在区间



0,3



上为“凸函数”，

则

g(x)xmx30

在区间[0,3]上恒成立

2

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

g

max

(x)0



g(0)0



30





m2



g(3)093m30



解法二：分离变量法：

∵当

x0

时,

g(x)xmx330

恒成立,

当

0x3

时,

g(x)xmx30

恒成立

2

2

x

2

33

x

的最大值（

0x3

）恒成立， 等价于

m

xx

3

而

h(x)x

（

0x3

）是增函数，则

h

max

(x)h(3)2

x

m2

(2)∵当

m2

时

f(x)

在区间



a,b



上都为“凸函数”

则等价于当

m2

时

g(x)xmx30

恒成立

解法三：变更主元法

再等价于

F(m)mxx30

在

m2

恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

2

2



2xx

2

30



F(2)0











1x1

2





F(2)0



2xx30

ba2

-2

2

例2：设函数

f(x)

1

3

x2ax

2

3a

2

xb(0a1,bR)

3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的

x[a1,a2],

不等式

f



(x)a

恒成立，求a的取值X围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）

f



(x)x4ax3a



x3a



xa



22

0a1

f



(x)

a

3a a

3a

令

f



(x)0,

得

f(x)

的单调递增区间为（a,3a）

令

f



(x)0,

得

f(x)

的单调递减区间为（－



，a）和（3a，+



）

∴当x=a时，

f(x)

极小值

=



3

3

ab;

当x=3a时，

f(x)

极大值

=b.

4

22

（Ⅱ）由|

f



(x)

|≤a，得：对任意的

x[a1,a2],

ax4ax3aa

恒成立①



g

max

(x)a

则等价于

g(x)

这个二次函数





g

min

(x)a

g(x)x

2

4ax3a

2

的对称轴

x2a

0a1,

a1aa2a

（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，

g(x)

这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x)x

2

4ax3a

2

在[a1,a2]

上是增函数.

∴

g(x)

max

g(a2)2a1.

g(x)

min

g(a1)4a4.



a1,

x2a

a2



于是，对任意

x[a1,a2]

，不等式①恒成立，等价于



g(a2)4a4a,

4

解得a1.



g(a1)2a1a

5



又

0a1,

∴

4

a1.

5