2024年3月20日发(作者：杭州二模数学试卷推荐答案)

全国考研数学一公式手册

高等数学公式

导数公式：

(tgx)

sec

2

x

(ctgx)

csc

2

x

(secx)

secxtgx

(cscx)

cscxctgx

(a

x

)

a

x

lna

(log

a

x)

基本积分表：

(arcsinx)

1

1

xlna

1x

2

1

(arccosx)



1x

2

1

(arctgx)

1x

2

1

(arcctgx)



1x

2

tgxdxlncosxC

ctgxdxlnsinxC

secxdxlnsecxtgxC

cscxdxlncscxctgxC

dx1x

arctgC

a

2

x

2

aa

dx1xa

ln

x

2

a

2

2axa

C

dx1ax

a

2

x

2

2a

ln

ax

C

dxx

arcsinC

a

2

x

2

a

2

n

dx

2

cos

2

x

secxdxtgxC

dx

2

sin

2

x

cscxdxctgxC

secxtgxdxsecxC

cscxctgxdxcscxC

a

x

adx

lna

C

x

shxdxchxC

chxdxshxC

dx

x

2

a

2

ln(xx

2

a

2

)C

2

I

n

sinxdx

cos

n

xdx

00

n1

I

n2

n

x

2

a

2

2

xadxxaln(xx

2

a

2

)C

22

x

2

a

2

222

xadxxalnxx

2

a

2

C

22

x

2

a

2

x

222

axdxaxarcsinC

22a

22

三角函数的有理式积分：

2u1u

2

x2du

sinx，　cosx，　utg，　dx

2

1u

2

1u

2

1u

2

第 1 页

全国考研数学一公式手册

一些初等函数： 两个重要极限：

e

x

e

x

双曲正弦:shx

2

e

x

e

x

双曲余弦:chx

2

shxe

x

e

x

双曲正切:thx

chx

e

x

e

x

arshxln(xx

2

1）

archxln(xx

2

1)

11x

arthxln

21x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

-α

90°-α

90°+α

sin

sinx

lim1

x0

x

1

lim(1)

x

e

x

x

cos tg

-tgα

ctgα

ctg

-ctgα

tgα

-ctgα

ctgα

tgα

-ctgα

ctgα

-sinα cosα

cosα

cosα

sinα

-sinα -ctgα -tgα

-cosα -tgα 180°-α sinα

180°+α -sinα -cosα tgα

270°-α -cosα -sinα ctgα

270°+α -cosα sinα

360°-α -sinα cosα

360°+α sinα cosα

-tgα

tgα

-ctgα -tgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(

)sin

cos

cos

sin

cos(

)cos

cos

sin

sin

tg(

)

tg

tg

1

tg

tg

ctg

ctg

1

ctg(

)

ctg

ctg

sin

sin

2sin

22



sin

sin

2cossin

22



cos

cos

2coscos

22



cos

cos

2sinsin

22

cos

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全国考研数学一公式手册

·倍角公式：

sin2

2sin

cos

cos2

2cos

2

112sin

2

cos

2

sin

2

ctg

2

1

ctg2

2ctg

2tg

tg2

1tg

2

·半角公式：

sin3

3sin

4sin

3

cos3

4cos

3

3cos

3tg

tg

3

tg3

13tg

2

sin

tg

2

2





1cos



1cos

　　　　　　　　　　　　cos

222

1cos

1cos

sin



1cos

1cos

sin

　　ctg

1cos

sin

1cos

21cos

sin

1cos

abc

2R

·余弦定理：

c

2

a

2

b

2

2abcosC

sinAsinBsinC

·正弦定理：

·反三角函数性质：

arcsinx

2

arccosx　　　arctgx

2

arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)k(nk)(k)

C

n

uv

k0

n

u

(n)

vnu

(n1)

v

n(n1)

(n2)

n(n1)

(nk1)

(nk)(k)

uv



uv

uv

(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f

(

)(ba)

f(b)f(a)f

(

)

柯西中值定理：

F(b)F(a)F

(

)

曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

弧微分公式：ds1y

2

dx,其中y

tg

平均曲率：K

.

:从M点到M

点，切线斜率的倾角变化量；s：MM

弧长。

s

y



d

M点的曲率：Klim.

23

s0

sds

(1y

)

直线：K0;

1

半径为a的圆：K.

a

第 3 页

全国考研数学一公式手册

定积分的近似计算：

b

矩形法：

f(x)

a

b

ba

(y

0

y

1

y

n1

)

n

ba1

[(y

0

y

n

)y

1

y

n1

]

n2

ba

[(y

0

y

n

)2(y

2

y

4

y

n2

)4(y

1

y

3

y

n1

)]

3n

梯形法：

f(x)

a

b

抛物线法：

f(x)

a

定积分应用相关公式：

功：WFs

水压力：FpA

m

1

m

2

,k为引力系数

2

r

b

1

函数的平均值：yf(x)dx

ba

a

引力：Fk

1

均方根：f

2

(t)dt

ba

a

空间解析几何和向量代数：

b

空间2点的距离：dM

1

M

2

(x

2

x

1

)

2

(y

2

y

1

)

2

(z

2

z

1

)

2

向量在轴上的投影：Prj

u

ABABcos

,

是AB与u轴的夹角。



Prj

u

(a

1

a

2

)Prja

1

Prja

2

ababcos

a

x

b

x

a

y

b

y

a

z

b

z

,是一个数量,

两向量之间的夹角：cos

i



caba

x

b

x

j

a

y

b

y

k

a

x

b

x

a

y

b

y

a

z

b

z

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

222222





a

z

,cabsin

.例：线速度：vwr.

b

z

a

y

b

y

c

y

a

z

c

z

b

z

abccos

,

为锐角时，

a

x





向量的混合积：[abc](ab)cb

x

c

x

代表平行六面体的体积。

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全国考研数学一公式手册

1、点法式：A(xx

0

)B(yy

0

)C(zz

0

)0，其中n{A,B,C},M

0

(x

0

,y

0

,z

0

)

2、一般方程：AxByCzD0

xyz

3、截距世方程：1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：d

Ax

0

By

0

Cz

0

D

A

2

B

2

C

2

平面的方程：

xx

0

mt

xxyy

0

zz

0

空间直线的方程：

0

t,其中s{m,n,p};参数方程：

yy

0

nt

mnp

zzpt

0

二次曲面：

x

2

y

2

z

2

1、椭球面：

2

2

2

1

abc

x

2

y

2

2、抛物面：z（,p,q同号）

2p2q

3、双曲面：

x

2

y

2

z

2

单叶双曲面：

2

2

2

1

abc

x

2

y

2

z

2

双叶双曲面：

2

2

2

（马鞍面）1

abc

多元函数微分法及应用

全微分：dz

zzuuu

dxdy　　　dudxdydz

xyxyz

全微分的近似计算：zdzf

x

(x,y)xf

y

(x,y)y

多元复合函数的求导法：

dzzuzv

zf[u(t),v(t)]　　　　

dtutvt

zzuzv

zf[u(x,y),v(x,y)]　　　　

xuxvx

当uu(x,y)，vv(x,y)时，

du

uuvv

dxdy　　　dvdxdy　

xyxy

隐函数的求导公式：

F

x

FF

dydyd

2

y

隐函数F(x,y)0，　　，　　

2

(

x

)＋(

x

)

dxF

y

xF

y

yF

y

dx

dx

F

y

F

x

zz

隐函数F(x,y,z)0，　，　　

xF

z

yF

z

第 5 页

全国考研数学一公式手册

F

F(x,y,u,v)0

(F,G)

u

隐函数方程组：　　　J

G

G(x,y,u,v)0

(u,v)

u

u1(F,G)v1(F,G)

　　　　

xJ(x,v)xJ(u,x)

u1(F,G)v1(F,G)

　　　　

yJ(y,v)yJ(u,y)

微分法在几何上的应用：

F

v

F

u

G

G

u

v

F

v

G

v

x

(t)

xxyy

0

zz

0

空间曲线

y

(t)在点M(x

0

,y

0

,z

0

)处的切线方程：

0





(t)

(t)

(t

0

)

00

z

(t)

在点M处的法平面方程：

(t

0

)(xx

0

)

(t

0

)(yy

0

)

(t

0

)(zz

0

)0

F

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F(x,y,z)0

若空间曲线方程为：,则切向量T{,,

GGG

x

GG

G(x,y,z)0

yz

zx

曲面F(x,y,z)0上一点M(x

0

,y

0

,z

0

)，则：

1、过此点的法向量：n{F

x

(x

0

,y

0

,z

0

),F

y

(x

0

,y

0

,z

0

),F

z

(x

0

,y

0

,z

0

)}

xx

0

yy

0

zz

0

3、过此点的法线方程：

F

x

(x

0

,y

0

,z

0

)F

y

(x

0

,y

0

,z

0

)F

z

(x

0

,y

0

,z

0

)

方向导数与梯度：

F

y

G

y

}

2、过此点的切平面方程：F

x

(x

0

,y

0

,z

0

)(xx

0

)F

y

(x

0

,y

0

,z

0

)(yy

0

)F

z

(x

0

,y

0

,z

0

)(zz

0

)0

fff

函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cos

sin

lxy

其中

为x轴到方向l的转角。

函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)

f

f

ij

xy



f



它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecos

isin

j，为l方向上的

l

单位向量。

f

是gradf(x,y)在l上的投影。

l

多元函数的极值及其求法：

第 6 页


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