2021年湖南省益阳市中考数学试卷附答案解析x

2024年4月5日发(作者：2022浙江丽水数学试卷答案)

2021

年湖南省益阳市中考数学试卷

一、选择题（本题共

10

个小题，每小题

4

分，共

40

分。

项中，只有一项是符合题目要求的）

1. -2021的相反数等于（

A. 2021 B. - 2021

C.

D

每小题给出的四个选

-20^

2.

已知。乂0,下列运算正确的是（

B. 3a

9

2a=6a

3.

将寸宇化为最简二次根式，其结果是（

A.晅

C.

C.

D. (2a)

3=6

Q

3

2

4.

解方程组\'

\"I

-

2x+y=3«

时，若将①一②可得(

2x-

3y=4®

C.

4y=l

D. 4y= - 1

A. - 2y= - 1 B. - 2y=l

5.

正比例函数y=2x与反比例函数y=2的图象或性质的共有特征之一是（

x

A.

函数值y随工的增大而增大

B.

图象在第一、三象限都有分布

C. 图象与坐标轴有交点

6.

以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（

D. 图象经过点（2, 1）

7.

AB//CD, /XACE为等边三角形，ZDCE= 40° ,则ZEAB等于（

如图，

）

A. 40°

8.

B. 30° C. 20° D. 15°

如图，在左ABC中，

AOBC,分别以点A, B为

圆心，以大于的长为半径

画弧， 2

两孤交于Q, E,经过E作直线分别交AB, AC于点M, N,连接BN,下列结论正确

的是（ ）

A. AN=NC B. AN=BN C. MN=

、

BC D. BN平分ZABC

2

9. 小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不

能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%, 则当

月小刘的日平均工资为（

A. 140 元 B. 160 元

）

C. 176 元 D. 182 元

10. 如图，已知

口

ABCD的面积为4,点F在边上从左向右运动（不含端点），设△APD

的面积为x, ABPC的面积为y,则y关于x的函数图象大致是（ ）

B

二、

填空题（本题共

8

个小题，每小题

4

分，共

32

分.请将答案填在答题卡中

对应题号的横线上）

11. 若实数a的立方等于27,则（?=.

12. 一元二次方程% - 3x=0的解是 .

13. 已知x满足不等式组j

X>-1

,写出一个符合条件的x的值 ____________ .

2

lx-2<0

14. 小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具, 则他

选到锄头的概率是.

15. 已知y是x的二次函数，如表给出了〉与x的几对对应值：

X

y

•••

,・・

-2

11

-1

a

0

3

1

2

2

3

3

6

4

11

•

••

,・

・

由此判断，表中a=.

16. 如图，AB与CQ相交于点。，0E

是

ZAOC的平分线，且OC恰好平分ZEOB,贝以

17. 如图，已知四边形ABCQ是平行四边形，从①®AC=BD, ®ZABC=ZADC

中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是

（限填序号）.

,tanZABC=2,将△ABC绕A点顺时针方向旋转

2

角 a (0°

积之比等于

三、解答题（本题共

8

个小题，共

78

分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤）

19先化简，再求值：（1足）.

至

,其中。=2.

a a

-

9

20如图，在矩形ABCD中，已知AB=6, ZDBC=30° ,求AC的长.

21如图，已知点A是一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后

所得点3在某反比例函数图象上.

（1）

（2）

求点A的坐标；

确定该反比例函数的表达式.

22为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园.为了解群众的运动需求， 对周

边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统 计图

表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）.

（2）

（3）

补全条形统计图；

若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%,请由此估计周边爱好运

动的居民中偏好器械锻炼的人数.

23. “2021湖南红色文化旅游节--重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29 日在安

化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余 对该宝塔的

高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底3的仰角ZBAC^ 13° , 塔顶Q的仰角

ZDAC=38° ,斜坡仙=50米，求宝塔的高（精确到1米）.

（参考数据：sinl3° Q0.22,

COS

13°

@0.97, tanl3° @0.23, sin38° @0.62, cos38° R

0.79, tan38° 熊0.78)

24为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中 长益段

将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了 40 千米，运行

时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开 通后的高铁的」

旦.

30

（1）

（2）

求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？

甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工

的 长度比为7： 9,计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确

保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

25如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB=AC,过点B作BDLA C于。，延长交△ABC 的外接圆

于点E,过点A作AFLCE于F, AE, BC的延长线交于点G.

（1）判断EA是否平分ZDEF,并说明理由；

(2)求证：

①

B

〉=

CF

；

②

BD

2

=DE

2

+AE\'EG.

-x （xVO）

26已知函数y=< / 的图象如图所示，点A （xi, >1）在第一象限内的函数图象上. x

2

（x>0）

（1）

若点

B （尤2, y2

）

也在上述函数图象上，满足X2

① 当J2=J1=4时，求XI, X2的值；

② 若|X2| = |X1|,设w—yi - y2,求w的最小值；

(2)过A点作y轴的垂线AF,垂足为P,点P关于x轴的对称点为P\',过A点作x 轴的垂线A0垂足

为

Q,。关于直线AP\'的对称点为Q\',直线AQ\'是否与y轴交于 某定点？若是，求出这个定点的坐

标；若不是，请说明理由.

参考答案与试题解析

一. 选择题（共10小题）

1. -2021的相反数等于（

A. 2021

B.

-2021 C.

]

2021

【分析】根据相反数的定义即可得出答案.

【解答】解：- 2021的相反数是2021,

故选：A.

2.

已知a^Q,下列运算正确的是（

）

C.

【分析】A.直接合并同类项判断结果是否正确；

B. 直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确;

C. 直接利用同底数幕的除法运算法则判断结果是否正确;

D. 直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确.

【解答】解：A. 3a - 2a—a,故此选项不合题意；

B. 3a

,

2a—6a

1

,故此选项不合题意；

C. a

i

^a

1

=a,故此选项符合题意；

D. （2a） 3=8（?,故此选项不合题意；

故选：C.

3. 将拷化为最简二次根式，其结果是（ ）

A VM B 晅 C

\'F \' ~1~

\' 2

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.

［解答】解：、匡=、陛区1=近，

V 2 V 2X2 2

故选：D.

4. 解方程组

J2x+y=3«

时，若将①-②可得（ ）

l2x-3y=4（2）

A. - 2y= - 1 B. - 2y=l C. 4y=l

【分析】①-②得出（2x+y） - （2x-3y） =3-4,再去括号,

2021

D. （2。）3=6次

D. 4y= - 1

合并同类项即可.

【解答】

解:

①-②，得4y= - 1,

故选：D.

(2x+y=3①

l2x-3y=4©

5.

数y=2x与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（

正比例函

）

x

A. 函数值y随x的增大而增大

B. 图象在第一、三象限都有分布

C. 图象与坐标轴有交点

D. 图象经过点（2, 1）

【分析】利用正比例函数y=2x与反比例函数y=2■的性质，对每个选项进行判断后得出

x

结论.

【解答】解：..•对于正比例函数y=2x, 2>0,函数值y随x的增大而增大，

对于反比例函数y=E, 2>0,双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小, X

..・A选项不符合题意；

•.,对于正比例函数y=2x, 2>0,直线y=2x在第一、三象限，

对于反比例函数y=2, 2>0,双曲线的两个分支在第一、三象限， x

...B选项符合题意；

•••对于正比例函数y=2x,它的图象经过原点，

对于反比例函数y=—y它的图象与坐标轴没有交点，

x

.・・C选项不符合题意；

•..当 x=2

f

y=2X2=4乂 1

.•・正比例函数y=2x的图象不经过点（2, 1）.

•..当尤=2 时，y=Z = i，

2

・•・反比例函数y=E的图象经过（2, 1）,

x

选项不符合题意.

综上，正确选项为：B.

故选：B.

6.

的图形中，不是中心对称图形的是（

以下有关勾股定理证明

）

A. B.

【分析】根据中心对称图形的概念求解.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的

图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【解答】解：A.不是中心对称图形，符合题意；

B. 是中心对称图形，不符合题意；

C. 是中心对称图形，不符合题意；

D. 是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

7.

AB//CD, △ACE为等边三角形，ZDCE=40° ,则ZEAB等于(

如图，

)

A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°

【分析】根据平行线的性质可得ZDCA+ZCAB =180° ,即ZDCE+ ZECA+ ZEAC+Z

EAB=180° ,由ZXACE■为等边三角形得ZECA= ZEAC=6Q

Q

，即可得出ZEAB的度数.

【解答】解•.

•:思

I CD,

:.ZDCA+ZCAB=1^0° ,即 ZDCE+ ZECA+ ZEAC+ZEAB =180° ,

ZkACE为等边三角形，

:.ZECA=ZEAC=60° ,

180° - 40° - 60° - 60° =20° .

故选：C.

8. 如图，在△ABC中，AC>BC,分别以点A, B为圆心，以大于上43的长为半径画弧，

2

两孤交于E,经过Z）, E作直线分别交AB, AC于点M, N,连接BN,下列结论正确

的是（ ）

A. AN=NC B. AN=BN C. MN=

、

BC D. BN

平分

ZABC

2

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质求解.

【解答】解：由作法得DE垂直平分AB,

:.NA=NB.

故选：B.

9. 小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不

能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%, 则当月

小刘的日平均工资为（

A. 140 元 B. 160 元

）

C. 176 元 D. 182 元

【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可.

【解答】解：[200X30X80%+80X30X （1 - 80%） ]4-30

=（4800+480） 4-30

= 176 （元），

故选：C.

10. 如图，已知UABCD的面积为4,点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设

的面积为x, △BPC的面积为y,则y关于x的函数图象大致是（ ）

B

【分析】根据平行四边形的性质可知，当点P在A处时（即x=0）, 的面积为2,

当点F运动到3时（即x=2）,

△

BPC的面积为0,因为△BFC的底边AF边上的高不变, 所

以〉是x的一次函数，据此判断即可.

【解答】解:.•.□ABCD的面积为4,

.•.当 x=0 时，y—2

；

x=2 时，y=0；

... ABPC的底边AP边上的高不变，

•.•y是x的一次函数，

故只有选项B符合题意.

故选：B.

二. 填空题（共8小题）

11. 若实数a的立方等于27,则a= 3 .

【分析】根据立方根的定义即可得出答案.

【解答】解：..•/ = 27,

•\'•a= »27 = 3,

故答案为：3.

12. •—元二次方程 x

2

- 3x=0 的解是 xi=0, X2=3 .

【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解.

【解答】解：%

2

- 3x=0,

x （x - 3） =0,

故答案为：xi=O, X2=3.

13. 已知x满足不等式组J x>T ,写出一个符合条件的x的值 0 ■

lx-2<0

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间

找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案.

【解答】解：解不等式X-2W0,得：虹2,

又 - 1,

...不等式组的解集为-1OW2,

...符合不等式组的x的值为0或1或2等，

故答案为：。（答案不唯一）.

14. 小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具,

则他选到锄头的概率是 1 .

一

3

一

【分析】由小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种 劳

动工具，利用概率公式可求他选到锄头的概率.

【解答】解：..•小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用 一

种劳动工具，

.•.他选到锄头的概率是：1.

3

故答案为：1.

3

15. 已知〉是X的二次函数，如表给出了 y与X的几对对应值：

X

y

…

.・・

-2

11

-1

a

0

3

1

2

2

3

3

6

4

11

,・・

…

由此判断，表中a= 6 .

【分析】确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解.

【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0, 3）和点（2, 3）,

.L对称轴为》=丝=1, 2

.•.x= - 1时的函数值等于x=3时的函数值，

•..当尤=3 时，y=6,

当尤=-1时，a=6.

故答案为：6.

16. 如图，AB与CD相交于点。，0E■是ZAOC的平分线，且。。恰好平分ZEOB,贝以

【分析】根据角平分线的定义得出ZAOE=ZCOE, ZCOE=ZBOC,求出ZAOE= Z

COC=/BOC,根据ZAOE+ ZCOE+ZBOC^ 180°求出ZBOC,再根据对顶角相等求出 答案即可.

【解答】解:TOE是/AOC的平分线，OC恰好平分ZEOB,

:.ZAOE= ZCOE, ZCOE= ZBOC,

:.ZAOE=ZCOE= ZBOC,

V ZAOE+ZCOE+ZBOC^1SQ° ,

:.ZBOC=6Q° ,

ZAOD=ZBOC=6Q° ,

故答案为：60.

17. 如图，已知四边形ABCZ）是平行四边形，从®AB=AD,

②

AC=BD, @ZABC^ A ADC

中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 ①（限填序号）.

【分析】由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可.

【解答】解：①..•四边形ABCD是平行四边形，AB=AD,

平行四边形ABC。是菱形；

② •.•四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,

平行四边形ABCD是矩形；

③ •..四边形是平行四边形，

ZABC^ ZADC,

因此ZABC= ZADC时，四边形ABCD还是平行四边形；

故答案为：①.

18. 如图，中，ZBAC= 90° , tanZABC=A,将左ABC绕A点顺时针方向旋转

2

角 a (0°

一厂

B

【分析】证明△ACC\' s-ABB\',可得SEC，

=（AB）

2,解决问题.

’△ABB\' 凯

【解答】解：由旋转的性质可知，ZBAC=ZB\' AC ,

:.ZBAB\' =ZCAC\',

\'

：

AB^AB\' , AC^AC\',

• AB

=

AB

y

AC AC

?

.♦.△ACC\' sMBB\',

.AACC

（ AB）2,

S

Z

’△ABB\' AC

,: ZCAB=90° ,

：

.tanZABC=^=3-,

BC 2

...电如心=

（

AB）2

=

_9

^

AABB

AC 4

Z

故答案为：2.

4

三. 解答题

19先化简，再求值：（1应）其中a = 2.

a a

_

9

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

【答案】-2.

a~3

【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入 求

出答案即可.

a~3

当x=2 时，原式 = _£_=-2.

2-3

20如图，在矩形ABCQ中，已知AB=6, ZDBC=30° ,求AC的长.

30°

【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】AC=12.

【分析】根据矩形的性质得出CD=6, 90° , AC=BD,再根据直角三角形中

30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得出结论.

【解答】解：..•四边形ABCD是矩形，

:.CD=AB=6, AC=BD, ZBCD=90° ,

又 \'

：

ZDBC=3O° ,

.•.BZ)=2CD=2X6=12,

:.AC= 12.

21如图，己知点A是一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后

所得点B在某反比例函数图象上.

(1) 求点A的坐标；

(2) 确定该反比例函数的表达式.

【考点】一次函数的性质；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质；反比例函数 图

象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式.

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】（1） （2, 0）；

（2） y=--

x

【分析】（1）把y=0代入一次函数y=2x-4,求出x,即可得到点A的坐标；

（2）根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为将B点坐标

x

代入，即可求出该反比例函数的表达式.

【解答】解：（1） ..•点A是一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点，

.•.当 >=0 时，2x - 4=0,解得 x=2,

.•.点A的坐标为（2, 0）；

（2）将点A （2, 0）向上平移2个单位后得点B （2, 2）.

设过点B的反比例函数解析式为y=—,

x

则2=岌，解得左=4,

2

该反比例函数的表达式为尸直

x

22为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园.为了解群众的运动需求， 对周

边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统 计图

表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）.

(2) 补全条形统计图;

(3)

若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%,请由此估计周边爱好运

动的居民中偏好器械锻炼的人数.

【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图.

【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识.

【答案】（1）本次被调查的居民人数是400人;

（2）见解析;

（3）估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人.

【分析】（1）由步行类的人数及百分比即可求出本次被调查的居民人数;

（2）用样本容量乘以球类的百分比求出其人数，从而补全图形;

（3）用总人数乘以爱好运动者的百分比求出爱好运动的人数，爱好运动的人数乘以偏好

器械的百分比即可.

【解答】解：（1） 1404-35%=400 （人）,

答：本次被调查的居民人数是400人;

（2）偏好球类的人数：400X25% = 100 （人）,

补全条形统计图如下:

(3) 10000X80%X (1 - 35% - 30% - 25%) =800 (人)，

答：估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人.

23. “2021湖南红色文化旅游节--重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29 日在安

化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余 对该宝塔的

高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角ZBAC=13° , 塔顶。的仰角

ZZ)AC=38° ,斜坡AB=5Q米，求宝塔BZ)的高(精确到1米).

(参考数据:sinl3° F22, cosl3° 5.97, tanl3° ^0.23, sin38° 5.62, cos38° 牛 0.79, tan38° @0.78)

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】27米.

【分析】要求BD的长，由题意知可先求出BC

、

CD的长.再利用BD=CD-BC求出

BD的长.

【解答】解：在 RtAABC 中，sin/BAC=匹，cosZBAC=&,

AB

AB

:.BC^AB\'sinZBAC^AB\'sinir ^50X0.22=11 (米)；

AC=AB-cosZBAC=AB-cosr ^50X0.97=48.5 （米）；

在 RtAADC 中，tanZDAC^^-,

AC

.•.CD=AC・tanZZMC=AC・tan38° ^48.5X0.78 - 37.83

（米）； :.BD=CD - 3337.83 - 11=26.83^27 （米），

答：宝塔BZ）的高约为27米.

24为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中 长益段

将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了 40 千米，运行

时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开 通后的高铁的旦.

30

（1）

（2）

求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？

甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工

的 长度比为7： 9,计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确

保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识.

【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米.

（2）甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成.

【分析】（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，由题意得到二 元

一次方程组，求解即可.

（2）设甲队后期每天施工a千米，甲原来每天的施工长度为64：40X_L=0.7 （千米）,

16

乙每天的施工长度为64：40乂旦=0.9 （千米），根据题意列出一元一次不等式即可.

16

【解答】解：（1）设长益段高铁全长为X千米，长益城际铁路全长为y千米， 根据题

意，

y=x+40

得：

］y = x * 13，

布M的

解得：质

64 ,

ly=104

答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米.

（2）设甲队后期每天施工a千米，

甲原来每天的施工长度为

64：40

X

JL=0.7

（千米），

16

乙每天的施工长度为64：40X旦=0.9 （千米），

16

根据题意，得：0.7X5+0.9X （40 - 3） + （40 - 3 - 5） aN64,

解得：aN0.85,

答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成.

25如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB=AC,过点B作BD1AC于。，延长3。交△ABC 的外

接圆于点E,过点A作AF±CE于F, AE, 3。的延长线交于点G.

（1）

（2）

判断殂是否平分ZDEF,并说明理由；

求证：①BD=CF

；

②

BD

1

=DE

1

+AE-EG.

【考点】圆的综合题.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】（1）殂平分ZDEF,理由见解答过程；（2）证明见解答过程.

【分析】（1）由 ^ZABC^ZACB, ZABC+ZAEC^ 180° , ZAEF+ZAEC

= 180° , ^ZABC=ZAEF,可推得ZAEB=ZAEF 即可；

（2）①通过HL证RtAABD^RtAACF即可得出BD=CF

；

②由全等知DE=EF, BD2 - DE2=BE

・

CE,通过相似可证BE

・

CE=AE

・

EG,即可解决问

题.

【解答】解：(1) EA平分ZDEF,理由如下：

\'

：

AB=AC,

:.ZABC= ZACB,

又ZACB=ZAEB,

:.ZABC^ ZAEB

V ZABC+ZA£C= 180° , ZA£F+ZAEC= 180° ,

:.ZABC= ZAEF,

:.ZAEB= ZAEF,

.♦.EA 平分 ZDEF,

(2)①由(1)知：EA平分ZDEF,

\'

：

BD±AC, AF±CE,

:.AD=AF,

在 RtAABD 和 RtAACF 中,

J

AD

=

AF

,

lAB=AC

，

.•.RtAABD^RtAACF (HL),

:.BD=CF,

②由△ ADE^/AFE 可知：DE=FE,

:.

BD

\'

-院=

(BD+DE) (BD -

DE

)

=BE (CF -

EF

)

=

BE

・

CE

,

\'

：

ZBAE+ZBCE^1SO° , ZBC£+ZECG= 180° ,

:.ZBAE= ZECG,

:.AAEB^ACEG,

. AE BE • •

CE EG

= ,

：

.BE

・

CE=AE

・

EG,

:.BD

1

- DEr=AE\'EG,

即

BD

2

=

DE

2

+

AE

-

EG

.

_ x (0)

26已知函数y=J

o

的图象如图所示，点A (xi,刃)在第一象限内的函数图象上.

x(x>0)

(1)

若点

B (尤2, y2

)

也在上述函数图象上，满足X2

①当y2=yi=4时，求工1,工2的值；

2

②若|x2| = |xi|,设w=yi - yi,求w的最小值；

(2)过A点作y轴的垂线AP,垂足为P,点P关于x轴的对称点为P\',过A点作x 轴的垂线AQ,垂足

为0。关于直线AP\'的对称点为Q\',直线AQ\'是否与y轴交于 某定点？若是，求出这个定点的坐

标；若不是，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】函数的综合应用；推理能力.

【答案】(1)①xi=2, *2=-4；②-【；(2)直线40与> 轴交于一定点坐标为(0,

4

1).

4

【分析】(1)①将y2=yi=4时代入相应解析式计算即可；②由|x2| = |xi|_&x20 得xi= - X2,将

vv化为自变量为xi的二次函数，求出最小值；

(2)设直线A0交y轴于点M (0, b),连接QQ,由角平分线与平行，可推导出AM= MP,表示出AM,

PM, AF的长度，通过勾股定理得出等式，化简即可解决问题.

\'—x (xVO)

【解答】解：(1)①,由xi

x

2

(x>0)

由 yi=xi

2

=4,

Axi=2 (负值舍),

由 y2=-眨=4,

.•.%2= - 4, (2)V |x2| = |xi|且工2〈工1・ XI >0,

.. X2 V 0 且 XI = 一 X2,

• •J

7

!

=

Xl^f、2= - X2

=

X1 f

2 I 2 1

.w=yi - y2=xi ~ xi = (xi -—) -—,

2

..•当x=—时，w有最小值为-【，

4

2 4

(2)如图，设直线A0交y轴于点M (0, b),连接。0,

图

2

・.・AQJ_x轴，

・・・AQ〃y轴，

・

.

・

ZAP\'M=ZP\'AQ,

.••点Q与Q\'关于AP对称,

:.AQ=AQ APLQQ, :.ZP\'AQ=ZP\'AQ,

:.ZAP\'M=ZPAQ

:.AM=PM,

•・•点A (xi, yi)在第一象限内的函数图象上.

.*.xi>0, yi=xi2>0,

.侦=临,

\'

：

AP±y 轴,

.♦.P 点的坐标为(0,刃)，AP=xi=r^~, .••点P与P\'关于X轴对称，

.•.点P\'的坐标为(0, -yi),

.\'.PM—yi - b, AM—P\'M—yi+b,

・.•在RtAAPM中，由勾股定理得：

（而?

2+|

刃

3|2

=院+驴,

化简得：yi - 4Z?yi=0,

..顶 >0,

4

直线A0与y轴交于一定点M,坐标为（0, -1）.

益阳市

2020

年普通初中学业水平考试

数学能力测试

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.四个实数1, 0,右，一3中，最大的是（）

A. 1

B. 0

D. -3

x+2 > 0

2.将不等式组｛ 的解集在数轴上表示，正确的是（）

X<1

4. 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3,4,且这组数据的平均数为4,则这 组数据的

中位数为（）

A. 7 B. 4 C. 3.5 D. 3

5.

同时满足二元一次方程x—y = 9和4x + 3y = 1的x, V的值为()

x = 4

A.

<

丁 = -5

x = -4

B. <

.y = 5

〃尤=-2

c. <

.y=3

D.

X =3

=-6

6. 下列因式分解正确的是()

A. a(a-b) -b(a-b) = (a -b)(a + b)

B. a

2

-9b

2

(a-3b)

2

C. a

。

+ 4-cib + 4b = (a + 2b)~

D. a

2

- ab + a- a(a - b)

7. 一次函数y = kx + b的图象如图所示，则下列结论正确的是()

C. y随X的增大而减小

8.

D.当X>2时，kx+b<0

如图，

口

ABCD 对角线AC, BD

交于点、。,

若AC = 6, BD = 8,则AB的长可能 是()

______________ D

/ /

/ /

~^7

X/

/ /

R

A. 10

9.

C

B. 8 C. 7 D. 6

如图，在AABC中，AC 垂直平分线交AB于点Z), QC平分ZACB ,若匕4 = 50°，

则庞的度数为（）

C. 35

D. 40

10. 如图，在矩形ABC。中，E是C£＞上的一点, AABE是等边三角形，AC

交

BE

于点

F ,

则下列结论不成立的是（）

A. ZDAE = 3Q°

AD

AB ~ 2

B. ZBAC = 45°

EF 1

C. — = -

FB 2

D.

第II卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

11. 我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功定位于距离地球

36000千米的地球同步轨道，将\"36000\"用科学计数法表示为.

12. 如图，AB!/CD, AB±AE, /C4E = 42°，则/ACD的度数为

13. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察圆心角ZAO3 = 90°，测得ACB的长为36cm,

则ADB的长为 cm .

w

k-

14. ------------------------------ 若反比例函数尸= 的图象经过点（-2, 3）,贝!J k=.

x

15. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了 “弹珠”。小朋友甲的口袋中有6粒弹珠, 其中2粒红

色，4粒绿色，他随机拿出1颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率 是.

16. 若一个多边形的内角和是540° ,则该多边形的边数是.

17. 若计算V12xm的结果为正整数，则无理数初的值可以是.（写出一个符合条

件的即可）

18. 某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,

图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是.

元.