2021年IMO中国数学奥林匹克国家集训队测试试题(PDF版,无答案)

2024年3月14日发(作者：惠州教师考编数学试卷及答案)

2021中国IMO集训队测试试题

第一次测试试题

1.

m,n





,a

i,j



1



i



m,1



j



n



是非负实数, 且满足

i,j

都有

a

i,1

a

i,2

a

i,n

;a

1,j

a

2,j

a

m,j

.

记

X

i,j



a

1,j



Y

i,j



a

m,j



求证:



a

i



1,j



a

i,j



a

i,j



1





a

i



1,j



a

i,j



a

i,j



1





a

i,1

,



a

i,n

.



X

i



1j



1

mn

i,j





Y

i,j

.

i



1j



1

mn

2.

m,k





,n



k

2



4,

在

nn

方格表中, 称

k

个不同行不同列的小方

格为一个“

k

组”. 求最大的

N,

使得可在

nn

方格中选

N

个小方格并

任意染色, 满足这

N

个格中任意一个“

k

组”中既有两格同色又有两格不

同色.

3. 给定

n









证明:

集合

a

1

a

n

,

,



1,2,





n



n

1







,



中至少有

2







n



n

6







个数不能表示为

a

1

a

n

中两数之差.



19



4.

f



x



,g



x



是整系数多项式, 已知对无穷多个不同的素数

p,

存在整

数

mp

满足

f(a)g(amp)(modp),a

成立. 求证:

r

使得

f



x



g



xr



.

5. 如图,

AB、AC

与圆



交于

B、C、D

是

AC

中点,

O

是△

ABC

外心,

圆



过

A、C

并与圆



的劣弧

BC

交于

P,

与

AB

交于

Q,

劣弧

PQ

的中

点

R

满足

CRAB,L

是射线

PQ

与

AC

的交点,

M

为

AL

中点,

N

为

DR

中点,

MXON

于点

X.

求证: △

DNX

外接圆经过



的圆心.

L

M

X

A

Q

N



D

R

P

B

O

C



6. 给定

n



i

1

数:

p

1



及两两不同的素数

p

1

,,p

r

.

初始时黑板上有



n1



个

r

i

r

p

r



0i

1

,,i

r

n



.

甲先乙后轮流操作, 直到只剩下一个数.

甲: 擦去

a,b

(

a,b

可以相等), 写上

gcd



a,b



;

乙: 擦去

a,b

(

a,b

可以相等), 写上

lcm



a,b



.

求最小的

M



,

使得甲可以保证最后剩下的数不超过

M.