2024年3月27日发(作者：下册的数学试卷)
实用标准文案
初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个
定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
B
图形
B
A
A
P
l
B
三角形三边关系
A
P
l
轴
对
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短
称
A
，
B
为定点，
l
为定直
最
A
，
B
为定点，
l
为定直线，
线，
P
为直线
l
上的一
值
特征
MN
为直线
l
上的一条动线
个动点，求
AP
+
BP
的最
段，求
AM
+
BN
的最小值
小值
先平移
AM
或
BN
使
M
，
N
重
作其中一个定点关于定
转化 合，然后作其中一个定点
直线
l
的对称点
关于定直线
l
的对称点
M
N
l
A
，
B
为定点，
l
为定直线，
P
为直线
l
上的一个动
点，求|
AP
-
BP
|的最大值
作其中一个定点关于定
直线
l
的对称点
A
图形
B\'
M
折
叠
BC
N
最
值
原理 两点之间线段最短
在△
ABC
中，
M
，
N
两点分别是边
AB
，
BC
上的动点，将△
BMN
沿
MN
翻折，
B
点
特征
的对应点为
B\'
，连接
AB\'
，求
AB\'
的最小值．
转化 转化成求
AB\'
+
B\'N
+
NC
的最小值
二、典型题型
1．如图：点
P
是∠
AOB
内一定点，点
M
、
N
分别在边
OA
、
OB
上运动，若∠
AOB
=45°，
OP
=
32
，则△
PMN
的周长的最小值为 ．
【分析】作
P
关于
OA
，
OB
的对称点
C
，
D
．连接
OC
，
OD
．则当
M
，
N
是
CD
与
OA
，
OB
的交点时，△
PMN
的周
长最短，最短的值是
CD
的长．根据对称的性质可以证得：△
COD
是等腰直角三角形，据此即可求解．
【解答】解：作
P
关于
OA
，
OB
的对称点
C
，
D
．连接
OC
，
OD
．则当
M
，
N
是
CD
与
OA
，
OB
的交点时，△
PMN
的周长最短，最短的值是
CD
的长．
∵
PC
关于
OA
对称，
∴∠
COP
=2∠
AOP
，
OC
=
OP
同理，∠
DOP
=2∠
BOP
，
OP
=
OD
∴∠
COD
=∠
COP
+∠
DOP
=2（∠
AOP
+∠
BOP
）=2∠
AOB
=90°，
OC
=
OD
．
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实用标准文案
∴△
COD
是等腰直角三角形．
则
CD
=
2
OC
=
2
×3
2
=6．
【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△
PMN
周长最小的条件是解题的关键．
2．如图，当四边形
PABN
的周长最小时，
a
= ．
【分析】因为
AB
，
PN
的长度都是固定的，所以求出
PA
+
NB
的长度就行了．问题就是
PA
+
NB
什么时候最短．
把
B
点向左平移2个单位到
B
′点；作
B
′关于
x
轴的对称点
B
″，连接
AB
″，交
x
轴于
P
，从而确定
N
点
位置，此时
PA
+
NB
最短．
设直线
AB
″的解析式为
y
=
kx
+
b
，待定系数法求直线解析式．即可求得
a
的值．
【解答】解：将
N
点向左平移2单位与
P
重合，点
B
向左平移2单位到
B
′（2，﹣1），
作
B
′关于
x
轴的对称点
B
″，根据作法知点
B
″（2，1），
设直线
AB
″的解析式为
y
=
kx
+
b
，
12kb
，解得
k
=4，
b
=﹣7．
3kb
777
∴
y
=4
x
﹣7．当
y
=0时，
x
=，即
P
（，0），
a
=．
444
7
故答案填：．
4
则
【题后思考】考查关于
X
轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
3．如图，
A
、
B
两点在直线的两侧，点
A
到直线的距离
AM
=4，点
B
到直线的距离
BN
=1，且
MN
=4，
P
为直线
上的动点，|
PA
﹣
PB
|的最大值为 ．
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