高考数学创新型试题的背景

2023年11月14日发(作者：下载苏州中考数学试卷)

高考数学创新型试题的背景

从1999年起,我国高考数学命题就把“能力立意”作为命题的

核心理念和根本原则。“能力立意”的核心是考查思维能力、创新

意识和实践能力。创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之

一。高考数学创新型试题是指从测量考生的发展性学习和创造性

学习着手突出能力考查的新颖问题。高考数学创新型试题一般都

有深刻的背景。因此,对创新型试题的背景的研究已成为高考研

究的热点问题。本文拟从教材背景、高等数学背景、实际生活背

景、新课程改革背景、竞赛数学背景、数学文化背景等角度,对高

考数学创新型试题的背景作初步分析,供大家参考。

一、 教材背景

教材是学生学习之基础,高考命题之根本.从高考试题的题源

来看,教材是试题的主要来源,是高考命题的基本依据和出发点,历

年高考试卷中都有一些试题直接出自于教材或由教材上的例、习

题改编而成。如2007年高考数学四川卷超过一半的试题在教材

中都能找到原型或出处,理科的第1、2、3、4、5、10、13、14、

15、16、17、22(Ⅰ)等题直接出自于教材或由教材上的例、习题

改编而成。完全离开教材的新课教学和高三复习,会偏离高中数

学课程的重心,事倍功半,效率低下。当然,依赖于教材的复习,不是

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照本宣科或简单重复,需要对教材进行纵向和横向的整合,纵向整

合教材有助于知识的螺旋式深化,实现知识网络向认知网络的有

效转化。横向整合教材就是通过构建横向问题系统,也即构建知

识的网络,使数学知识系统以不同问题方式展现出来,使学生在不

同方式的问题认知过程中实现认知结构的整体优化。如证明不等

式,可以用配方法、换元法、判别式法、分析法、反证法、基本不

等式法、数学归纳法、放缩法等基本方法,也可以利用函数的性质、

向量、不等式的性质、三角函数、解析几何、导数等基础知识,还

可以用数学思想(如数形结合思想、分类与整合思想、函数思想、

参数思想等)。这就要求学生从多个角度、多种方法看待问题和解

决问题,这对培养学生的发散思维和思维的灵活性是有益的,并能

优化解题策略,提高解题效率。高考命题重视由教材的知识、例题、

习题生成试题,既可保证试题的公平性,又对抑制题海战术有一定

的积极作用,对中学数学教学有良好的导向作用。因此,应大力提

倡由教材编拟高考试题。

(Ⅲ)求出满足等式3n+4n…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。

点评:(Ⅰ)中的不等式就是著名的贝努利不等式,它是以前人

教社教材上的一个例题,2003年4月教育部颁布的《普通高中数

学课程标准(实验)》(以下简称《标准》),已将它安排在选修系列4

第5专题“不等式选讲”除以(n+3)n,再利用第(Ⅱ)问的结论,并排除

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n不小于6的情况,问题便可解决。本题第(Ⅰ)问可看成源于教材

(或课程标准),第(Ⅱ)问需要利用(Ⅰ)的结论,第(Ⅲ)问要利用(Ⅱ)的

结论,三个问题逐步深入,其解题的主要方法是“套公式”。从本质上

讲,这个让考生感到很难的压轴题可以归结为用教材的知识和方

法来解决。

二、 高等数学背景

高等数学的一些基本思想和基本问题为设计创新型试题提

供了广阔而又深刻的背景,这是因为高等数学为背景试题能有效

考查学生学习的潜能。许多高考创新型试题都有比较深刻的高等

数学背景,这类题目立意深远、形式新颖,在平常教学中很少碰到,

考生遇到这类题目,会感到难以入手,一般需要自主学习和分析新

的材料,并对新的数学信息进行迁移,才能解决问题。

例2 (2006年全国卷Ⅰ理科第21题)已知函数f(x)=对任意的

实数x∈(0,1)恒有f(x)1,求a的取值范围。

点评:本题(Ⅱ)小题含有拉格朗日中值定理的背景。

例3 (2008年福建卷理科第16题)设P是一个数集,且至少含

有两个数,若对任意a,b∈P都有a+b、a-b、ab、∈P(除数b≠0),

则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域;数集F=a+│a,b∈Q

也是数域,有下列命题:

①整数集是数域;

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②若有理数集Q?哿M,则数集M必为数域;

③数域必为无限集;

④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是_________.(把你认为正确的命题的

序号填上)

点评:本题以近世代数中“域”的概念为背景,可谓背景深刻,能

有效考查思维的抽象性、深刻性、发散性和创造性。

例4 (2006年广东卷理科第20题)A是定义在[2,4]上且满足

如下条件的函数?渍(x)组成的集合:①对任意的x∈(1,2),都有?渍

(2x)∈(1,2);②存在常数l(0 1),使得对任意的x1·x2∈[1,2],都

有│?渍点评:本题有泛函分析中压缩映像原理的背景,第(Ⅰ)问就

是依据定义验证?渍(x)是一压缩映像,第(Ⅱ)、(Ⅲ)问就是压缩映像

原理对特定函数?渍(x)的一个应用。这种试题背景深刻,形式新颖,

对考生能力有很高的要求。

例5(2005年全国卷I理科第22题)

(Ⅰ)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0 1),求f(x)的

最小值;

(Ⅱ)设正数P1,P2,P3,…,P2n满足P1+P2+P3+…+P2n,证明

P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n.

点评:本题是以函数g(x)=xlog2x的凹凸性为背景设计的。第

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(Ⅱ)问特别难,它含有琴生不等式的背景。两个问题若用琴生不等

式来解可在几步内完成。以函数的凹凸性为背景的试题比较多,

比如2004年全国卷理科第22题,2006年全国卷Ⅱ理科第20

题,2006年四川卷理科第22题等。

以高等数学为背景的试题很多,几乎在每年的各套试卷中都

可找到。需要指出的是,不宜将高等数学的一些定理和背景知识

作为教学的补充内容,因为这样做既会加重学生学习的负担,也与

高考考查创新型试题的初衷相悖。

三、 实际生活背景

数学来源于生活,又能解决实际生活中的一些问题。因此,高

考命题重视对实际应用问题的考查。应用题是对考生“综合实力”

的考查,是考查能力与素质的良好题型,近几年应用题的编拟更加

重视语言简洁、准确,背景清新、近人,模型具体、简明,方法熟悉、

简便,所涉及的都是数学基本内容、思想和方法,摒弃繁琐的数学

运算,突出了对数学思想、方法和实践能力的考查。

例6 (2009年江西卷理科第11题)一个平面封闭区域内任意

两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长

度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部

分)的周率从左到右依次记为r1,r2,r3,r4,则下列关系中正确的为( )。

(A)r1r4r3(B)r3r1r2 (C) r4r2r3 (D)r3r4r1

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点评:本题图案优美,情境生动,颇有生活气息。命题者以高等

数学中的“区域”、“区域的直径”等基本概念为背景,将中国古代极

富哲理思想的“太极图”和我国国旗的“五角星”为基本素材,巧妙将

日常生活中的太极图、五角星联系起来,颇富生活情趣。本题主要

考查观察、估算等直觉思维能力,并考查割补变换的意识和简单

的运算能力。此题体现了“生活中有数学”的理念,真是一道好题。

四、 新课程改革背景

最近几年,一些创新型试题命制的价值取向是重视新课程的

背景,体现《标准》的精神,出现了不少以新课程改革为背景的新

题好题。如2008年全国卷Ⅰ理科的第10题涉及选修4-5“不等

式选讲”中的柯西不等式的背景;全国卷Ⅱ理科的第16题涉及选

修1-2“推理与证明”中的类比推理;北京卷理科第14题涉及选修

3-2“信息安全与密码”的数论函数(高斯函数)、选修4-3“数列与差

分”的差分方程组;重庆卷理科的第22题和湖北卷理科的第15题

都有选修1-2“推理与证明”中的归纳推理(猜想)的背景;湖南卷理

科的第10题涉及“新定义”的自主学习与主动探究,江西卷理科的

第16题也涉及主动探究;陕西卷理科的第12题涉及到选修3-2

的信息安全与密码。又如2009年全国卷Ⅰ理科的第22题考查

了考生动手画图的技能(已多年未考);全国卷Ⅱ理科的第10题以

高中选修课的选课为背景考查排列组合,第12题要将正方体的平

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面展开图通过折叠还原为正方体,考查学生的实际操作能力;北京

卷理科第8、20题通过阅读理解、信息迁移考查学生分析问题和

解决问题的能力;湖北卷理科的第8、12、13等题通过“家电下乡”、

“直方图”、“‘中星九号’卫星覆盖区域”等情境考查了考生的数学应

用意识,第10题以古埃及的数学为背景考查了选修1-2“推理与证

明”中的归纳推理(猜想);四川卷理科第16题,上海卷理科第22题,

湖南卷理科第8、21题的涉及“新定义”的自主学习与主动探究;江

西卷理科第11题、四川卷文科第5题(黄金矩形)涉及“数学文化”,

江西卷理科第17、22题体现了数学的结构美;上海卷理科第20

题(文科第21题)以学习心理学的理论为背景,考查了分析问题、

解决问题以及应用电子计算器进行近似计算的能力;海南(宁夏)

卷理科第17题要求考生设计一个方案(包括指出需要测量的数据,

用文字和公式写出计算两点距离的步骤),体现了数学建模思想,

有效考查了分析问题和解决问题的能力,等等。这些创新型试题

立意鲜明、设计巧妙、影响深远,它们充分体现了新课程理念,对

高中数学教师认真学习和研究《标准》以及实施高中数学课程改

革起到了很好的导向作用。当然,课改实验区的试卷如广东卷、海

南(宁夏)卷、山东卷、江苏卷等更加充分地体现了新课程理念,值

得认真研究。

五、 竞赛数学背景

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设计以竞赛数学为背景的试题,对绝大多数未参加竞赛培训

的考生是不公平的,因此,高考命题不宜以竞赛数学为背景设计试

题。如果真想设计以竞赛数学为背景的试题,那么需要设计一些

“梯子”(必要的提示),让考生有梯可攀,这样就可消除竞赛味,体现

高考公平。

例7 (2007年四川卷理科第21题)已知函数f(x)=x2-4,设曲

线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(x∈N*),

其中x1为正实数。

(Ⅰ)用xn表示xn+1;

(Ⅱ)求证:对一切正整数n,xn+1≤xn的充要条件是x1≥2;

(Ⅲ)若x1=2,记an=lg,证明数列an成等比数列,并求数列xn

的通项公式。

点评:本题考查了递推数列,暗含了高等数学中不动点的思想,

第(Ⅲ)问巧妙设计了一个辅助数列,好比给考生一个梯子,使考生

有梯可攀,非常巧妙地利用了竞赛题的背景但又没有竞赛味,这样

设计对参不参加数学竞赛培训的考生都是公平的.

六、 数学文化背景

例8 (2007年北京卷文理科第13题)2002年在北京召开的国

际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计

的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大

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正方形(如图)。如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直

角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于。

点评:本题以数学史中我国古代数学家赵爽的弦图为背景,考

查三角变换公式和平面几何的有关知识。此题的难度虽不大,但

试题的背景材料非常新颖,展示了数学文化的魅力.试题以2002

年8月在北京召开的国际数学家大会为背景,大会的会标是以我

国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。体现了古代数学家智慧

与当代数学家成就的融合。赵爽是我国古代(三国时期)著名的数

学家,赵爽的弦图是他在《勾股方圆图注》中,为证明勾股定理所

创造的图形。这个美妙的弦图被2002年国际数学家大会作为会

徽,表达了当代数学家对我国古代数学家赵爽的数学智慧的敬仰。

赵爽利用他的弦图,通过大正方形的面积等于小正方形的面积加

上四个直角三角形的面积的计算,简洁明快地证明了著名的勾股

定理(在西方又称毕达哥拉斯定理)。这种以我国古代数学史为背

景的试题,使考生受到数学文化的教育,对于激发考生的民族自豪

感,学习数学家的探索精神是有益的。

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