2024年4月7日发(作者：初一数学试卷题目大全)
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高中数学选修II 离散型随机变量的期望和方差知识精讲 人教版
一. 本周教学内容：
高三选修（II）离散型随机变量的期望和方差
二. 目标：
1. 了解离散型随机变量的期望和方差的概念与意义，了解标准差。
2. 掌握期望与方差的计算公式：
E
x
i
P
i
，D
(x
i
E
)
2
P
i
i1i1
E(a
b)aE
b，D(a
b)a
2
D
3.掌握二项分布的期望与方差，若
B(n，P)，则E
nP，D
nP(1P)
三. 重点、难点：
重点：期望与方差的计算。
难点：二项分布的期望与方差及应用。
例1. 某袋中有12个乒乓球，其中9个新球，3个旧球，从盒中任取3个来用，用后放回
盒中（用后新球变为旧球），此时盒中旧球个数是一个随机变量，求的数学期望。
解：∵的分布列为：
P
3 4 5 6
12
C
3
C
2
C
1
C
3
12710884
33
C
93
C
99
3333
220220220
C
12
220
C
12
C
12
C
12
E
3
1271088421
456
22
例2. 甲市长途局有一台交换机，其中有5个专供与乙市通话，设每个分机在1小时内平均
占线20分，并且各分机是否占线相互独立，求任一时刻占线的分机数目的数学期望。
解：设占线分机数目为，则每个分机在任一时刻占线的概率为
且5个分机是否占线相互独立
201
603
1
因此
B(5，)
3
15
于是E
nP5
33
例3. 盒中有5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中任取两个球中白球数的数学期望
和方差。
解：∵的分布列为：
1 / 4
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P
0 1
1
C
1
3
3
C
2
2
C
5
5
2
C
2
1
2
2
C
5
10
C
2
3
3
2
C
5
10
E
0
133
1212.
10510
133
D
(012.)
2
(112.)
2
(212.)
2
0.36
10510
例4. 某商场在商场内促销可获利2万元，在商场外如遇雨天可带来4万元损失，无雨天可
获利10万元，若有雨的概率为40%，问该选用何种方式促销。
解：设在场外促销的经济效益为万元
∵
P
10
0.6
4
0.4
100.6(4)0.44.42
应选择场外促销
例5. 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保人需交纳保费a元，被保
人意外死亡保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，若一年内意外死亡的概
率为P
1
，非意外死亡的概率为P
2
，则a需要什么条件，保险公司才可能盈利。
解：设为盈利数，则
P
a
a30000
P
1
a10000
P
2
1P
1
P
2
令E
0
即a(1P
1
P
2
)P
1
(a30000)P
2
(a10000)0
a30000P
1
10000P
2
时公司才可能盈利
例6. 射击比赛每人射四次，约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹得30分，中
三弹得55分，中四弹得100分，某人每次射击的命中率均为
解：
设
为此人命中目标的次数，则
B(4，)
设为此人的得分数，则与是相关的随机变量，并且相应取值的概率相等，的可能取值
为0，15，30，55，100
3
，求他得分的数学期望。
5
3
5
2
4
16
P(
0)P(
0)C
0
()
4
5625
2 / 4
word
32
3
96
P(
15)P(
1)C
1
()()
4
55625
3
2
2
2
216
P(
30)P(
2)C
2
()()
4
55625
3
3
2216
P(
55)P(
3)C
3
()()
4
55625
3
4
81
P(
100)P(
4)C
4
()
4
5625
9621621681
E
15305510044.64（分）
625625625625
一. 选择题：
1. 某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0.02。
若发病的牛数为，则D等于（）
A. 0.2 B. 0.196
C. 0.8 D. 0.812
2. 某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性为
时被打开的水龙头的个数，则
P(
3)
为（）
A. 0.0081 B. 0.0729
C. 0.0525 D. 0.0092
3. 袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，
被取出的球的最大数为，则E等于（）
A. 4 B. 5
C. 4.5 D. 4.75
二. 填空题：
4. 已知盒中有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，
现需用一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口
灯泡的概率为___________。
5. 设一次试验成功的概率为P，现进行16次独立重复试验，当P＝________时，成功次
数的标准差最大，其最大值为__________。
三. 解答题：
6. 现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产
量相等，而出次品的个数的分布列如下：
（甲）
次品数
1
P
次品数
2
P
0
0.3
0
0.1
（乙）
1
0.3
2
0.2
3
0.2
1
0.5
2
0.4
1
，随机变量表示同
10
根据以上条件，选派谁去合适？
3 / 4
word
7. 进行某种试验，设试验成功的概率为
31
，失败的概率为，以表示试验首次成功所
44
需试验的次数，试写出的分布列，并计算取偶数的概率。
[参考答案]
1. B 2. A 3. C
4.
7
120
5.
1
2
，2
6.
D
1
0.41，D
2
121.
，甲
7.
1
5
4 / 4
更多推荐
期望,方差,概率,灯泡,促销,水龙头,分机,试验
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