2024年4月16日发(作者：2018甘肃考数学试卷)

概率与统计

知识点一：常见的概率类型与概率计算公式；

类型一：古典概型；

1、 古典概型的基本特点：

（1） 基本事件数有限多个；

（2） 每个基本事件之间互斥且等可能；

2、 概率计算公式：

A事件发生的概率

P(A)

A事件所包含的基本事件数

;

总的基本事件数

类型二：几何概型；

1、 几何概型的基本特点：

（1） 基本事件数有无限多个；

（2） 每个基本事件之间互斥且等可能；

2、 概率计算公式：

A事件发生的概率

P(A)

构成A事件的区域长度（或面积或体积或角度）

；

总的区域长度（或面积或体积或角度）

注意：

（1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如

果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；

当然如果是必须要三个变量则必为体积比；

（2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪

一个是等可能的；

例如：等腰

ABC

中，角C=

2

，则：

3

（1） 若点M是线段AB上一点，求使得

AMAC

的概率；

（2） 若射线CA绕着点C向射线CB旋转，且射线CA与线段AB始终相交且交点是M，求

使得

AMAC

的概率；

解析：第一问中明确M为AB上动点，即点M是在AB上均匀分布，所以这一问应该是长度

之比，所求概率：

P

1

=

AC3

;

3

3AC

而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角

度之比的问题，所以所求的概率：

P

2

=

755

=

；

120

8

知识点二：常见的概率计算性质；

类型一：事件间的关系与运算；

A+B（和事件）：表示A、B两个事件至少有一个发生；

AB

（积事件）：表示A、B两个事件同时发生；

A

（对立事件）：表示事件A的对立事件；

类型二：复杂事件的概率计算公式；

1、 和事件的概率：

P(AB)=P(A)P(B)P(AB)

（1）特别的，若A与B为互斥事件，则：

P(AB)=P(A)P(B)

（2）对立事件的概率公式：

P(A)1P(A)

2、 积事件的概率：

（1）若事件

A

1

、A

2

、、A

n

相互独立，则：

P(A

1

A

2

A

n

)P(A

1

)P(A

2

)P(A

n

)

（2）n次独立重复的贝努利实验中，某事件A在每一次实验中发生的概率都为p，则在n

次试验中事件A发生k次的概率：

kknk

P(A)

k

n

C

n

p(1p)

类型三：条件概率；

1、 条件概率的定义：我们把在事件A发生的条件下事件B发生的概率记为：

P(B|A)

；

且

P(B|A)

P(AB)

P(A)

2、 三个常见公式：

（1） 乘法公式：

P(AB)P(A)P(B|A)

（2） 全概率公式：设

A

1

,A

2

,A

3

,

n

,A

n

是一组互斥的事件且

A

k



，则对于任何

k1

n

一个事件B都有：

P(B)

P(A

k1

k

B)

P(A

i

)P(B|A

i

)

k1

n

n

（3） 贝叶斯公式：设

A

1

,A

2

,A

3

,,A

n

是一组互斥的事件且

A

k



k1

则对于任何一个事件B都有：

P(A

j

|B)

P(A

j

)P(B|A

j

)

P(A)P(B|A)

ii

k1

n

知识点三：求解一般概率问题的步骤；

第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复实验等；

第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等；


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