沪教版七年级数学上册的知识点总结

2024年1月18日发(作者：2021中考数学试卷深圳)

沪教版七年级数学上册的知识点总结

第九章 整式

第一节 整式的概念

9.1 字母表示数

字母可以表示任意的数或符合某种条件的某个数，还可以表示具有某种规律的数，甚至可以表示特定意义的公式。在省略乘号时，要把数字写在字母前面，×用•来代替。例如，2×a写成2a，除法运算要用分数线来表示。例如，C÷2r要写成C/2r。

9.2 代数式

代数式是由运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式。例如，a。等号和不等号都不属于运算符号，所以它们都不是代数式。

9.3 代数式的值

代数式的值是用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果。如果代数式中省略乘号，代入后要添上“×”。如果字母的取值是分数，做乘方运算时要加上括号。例如，(C/2r)²。如果字母的取值是负数，代入后也要加上括号。如果代数式表示的是一个具体的实际问题，那么不能使代数式失去实际意义。例如，某班有a人，则a必须是正整数。求代数式的值的步骤：(1) 代入数值；(2) 计算出结果。

9.4 整式

一、单项式

单项式是由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式。例如，a。单项式的系数是单项式中的数字因数。例如，5m。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，x²y³。注意：单项式中不能含有加减运算。如果分母中含有字母，也算单项式。

二、多项式

多项式是由单项式相加或相减而成的代数式。例如，3x²+2y-5.多项式中次数最高的单项式的次数叫做多项式的次数。例如，2x³+5x²y-3xy²+4y³的次数是3.

多项式是由几个单项式相加而成的代数式。其中，每个单项式称为多项式的项，不含字母的项称为常数项。多项式的次数是指最高次项的次数，而一个多项式中的最高次项可能不止一个。每个项都要带上前面的符号和系数。多项式按某个字母的指数从大到小或从小到大排列，分别称为降幂排列和升幂排列。

单项式和多项式统称为整式，但分母中含有字母的式子不是整式。合并同类项是指把多项式中的相同字母和指数的单项式合并成一项，系数相加作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。在整式的加减中，需要先去括号，然后合并同类项。减数一定要用括号括起来，最后的结果不能含有同类项，一般按照某一字母的降幂或升幂排列，并且不能出现带分数，需要将其化为假分数。

在整式的乘法中，需要将每个单项式相乘，然后合并同类项。可以运用分配律、结合律、交换律等法则进行计算。注意，乘法中的乘积不一定是降幂排列，需要进行整理。

性质的运用。

2）当单项式中含有指数为0的字母时，它的值为1.

2、多项式的乘法法则

多项式的乘法法则是把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

注意：（1）多项式的乘法法则的实质是单项式乘法法则和加法的分配律的运用.

2）在乘法运算中，要注意合并同类项，即把指数相同的字母系数相加.

3、多项式的乘方

多项式的乘方是指将一个多项式自乘n次的结果，其中n是正整数.

注意：（1）多项式的乘方的实质是多项式乘法法则和同底数幂的乘法性质的运用.

2）在乘方运算中，要注意合并同类项，即把指数相同的字母系数相加.

综合应用乘法法则

单项式乘法的步骤如下：首先将各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，确定符号并计算绝对值；然后按照“底数不变，指数相加”的规则计算相同字母的乘积；最后将含有的字母及其指数写在积里作为积的一个因式。运算的结果仍为单项式，由系数、字母和字母的指数三部分组成。以上法则同样适用于三个或三个以上的单项式相乘。

单项式与多项式相乘的运算法则是将单项式乘以多项式的每一项，然后将所得的积相加。在计算过程中，需要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同。在混合运算中，应注意运算顺序，并在最后合并同类项，以得到最简的结果。

多项式与多项式相乘的运算法则是将一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后将所得的积相加。在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。特殊的二项式相乘公式为：(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab。

乘法公式

平方差公式是指两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式为(a+b)(a-b)=a^2-b^2.该公式适用于具体数字、单项式和多项式。常见的变式包括位置变化、系数变化、指数变化、符号变化、增项变化和增因式变化。在应用乘法公式时，需要注意变式的特点，并根据需要进行变换，以得到最简的结果。

平方差公式是一个重要的数学公式，它的特点是左边的两个多项式中各有一项相同，一项相反。这个公式经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。利用这个特点，我们可以非常方便地进行计算，避免一些符号变形带来的麻烦。

完全平方公式是另一个重要的数学公式。它的特点是左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。我们可以利用乘法公式进行综合计算，如计算（x+y-z）(x+y+z)。注意，公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两

数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。以下是常见的变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)+2ab；(a+b)2=(a-b)+4ab。

在因式分解时，我们可以使用提取公因数法和公式法。在提取公因式时，我们应该确定公因式，注意如果多项式的第一项的系数是负数，通常在提取公因式时连同负号一起提出来，以保证括号内的第一项的系数是正的。在分解因式时，有公因式一定要先提取。能够利用平方差公式进行因式分解的多项式一定要满足下列条件：这个多项式是二项式（或可以看成是二项式），这个二项式能够写成两数（或两个式子）平方差的形式。

完全平方公式是一种因式分解的方法，其中一个常见的形式是a²+2ab+b²=(a+b)²，另一个形式是a²-2ab+b²=(a-b)²。在分解因式时，可以根据两数积的两倍前面的符号来选择使用哪个完全平方公式。需要注意的是，该公式适用于三项式，其中两项可以写成两数平方和的形式，而第三项是这两个数的积的两倍。

十字相乘法是一种分解系数的方法，适用于二次三项式的因式分解。利用十字交叉线来分解系数，即把x²+bx+c分解为

(x+p)(x+q)，其中pq=c，p+q=b。有些多项式可以转化为二次三项式，然后使用十字相乘法进行因式分解。

分组分解法是另一种常用的因式分解方法，适用于多项式的分解。该方法有多种分类和特点，例如按字母分组、按系数分组、符合公式的两项分组等。各组之间有公因式，可化为二次三项式。

同底数幂的除法法则是指，在同底数幂相除时，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n。需要注意的是，同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算。当被除式和除式的底数相同时，被除式的指数必须大于除式指数才能进行除法运算。此外，当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质。

底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。例如，$2^{3}$、$x^{2}$和$2x^{2}y$都是底数。需要注意的是，底数不能为零，因为其无意义。常数也可以看作是与字母次方的积，因此常数项也叫做次单项式。

单项式除以单项式的法则是：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式中含有的字母，则连同它的指

数作为商的一个因式。需要注意的是，单项式除法的实质是有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，因此单项式除以单项式的结果仍为单项式。

多项式除以单项式的法则是：先将多项式的每一项除以这个单项式，再将所得的商相加。例如，$(am+bm+cm)div

m=amdiv m+bmdiv m+cmdiv m=a+b+c$。需要注意的是，利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化。

分式是指分母中含有字母的数字。分式有意义的条件是分母不等于零，无意义的条件是分母等于零。分式的值为真的条件是分子不为零，且分母不为零；分式的值为1的条件是分子等于分母；分式的值为负数的条件是分子小于零，分母大于零，或者分子大于零，分母小于零。

分式具有基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变；分式约分是指把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程；最简分式是指分式的分

子和分母没有相同的因式，但是1除外；变括号法则是指将分式中的括号展开后再化简；化简结果必须要最简。

分式的乘法法则是：$frac{A}{C}timesfrac{A}{D}=frac{AC}{BD}$。分式的除法法则是：$frac{A}{C}divfrac{B}{D}=frac{AD}{BC}$。同分母分式的加减法则是：分母不变，分子相加减，最后化简。

2、异分母分式加减法的步骤为：先通分，将分式转化为同分母的形式，再按照同分母法则进行加减，最后化简得到最简分式。3、通分的步骤为：确定公分母，公分母为分母各系数的最小公倍数与字母因式最高次幂的积作为公分母。4、运算顺序为：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面。

在解分式方程时，首先要将分式方程的分母消去，即将方程左右两边同时乘以公分母，然后解得一元一次方程，最后带入公分母检验X是否是原方程的根。解分式应用题时，常用关系式有时间=路程÷速度，浓度=溶质÷溶液或=溶质÷（溶质＋溶剂），增长率=增长的数÷原来的基数，工作时间=工作量÷工作效率，顺水速度=静水速度＋水流速度，逆水速度=静水速度－水流速度。

整数指数幂的运算中，零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1.负整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂，即amanamn（a，m、n为整数）。科学记数法的一般形式分为大于10的数表示成a10n的形式和利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即a

图形的平移是将图形上的所有点按照某个方向作相同距离的位置移动。在平移过程中，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等，而图形的大小和形状都不变。

到的交点即为对称中心；

3）对称中心到图形上任意一点的距离等于该点到对称中心的距离；

4）对称中心是图形上所有对称轴的交点；

5）中心对称图形具有对称性，即对称中心可以将图形分成两部分，每一部分都与另一部分对称。

3、中心对称的作图：在画中心对称图形时，首先确定对称中心，作图的步骤：

1）连接图形中的每一个关键点与对称中心；

10n的形式。

2）在对称中心的一侧，按照相同的距离截取各点到对称中心的距离，得到各点的对称点；

3）连接所得到的各对称点，即可得到中心对称图形。

4、中心对称的应用：中心对称在生活中有广泛的应用，例如对称图案的设计、对称的建筑物等等。在数学中，中心对称也是许多几何问题的重要工具，例如证明两个图形全等等。

换．

都是图形的变换方式，可以改变图形的位置和方向，但不会改变图形的形状和大小。

不同点

平移

旋转

轴对称

变换前后的位置不同，但形状大小相同；

变换前后的位置不同，但形状大小相同；

变换前后的位置不同，但形状大小相同；

变换的方式是沿着某一方向移动；

变换的方式是绕着某一点旋转；

变换的方式是沿着某一条直线折叠；

没有固定的变换中心；

有固定的旋转中心；

有固定的对称轴；

不会改变图形的方向；

可以改变图形的方向；

可以改变图形的方向；

可以同时改变图形的位置和方向；

只能改变图形的位置；

只能改变图形的位置；

常用于图形的平移；

常用于图形的旋转；

常用于图形的对称；

在图形的变换中，不同的变换方式有不同的特点和应用场景，可以根据具体情况选择合适的变换方式进行操作。

一天，XXX去朋友家做客，他对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。他沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。他在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积；他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。于是，XXX根据

自己的推算得出结果：直角三角形经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。

XXX定理是指斜边的平方等于两条直角边的平方和。这个定理得名于古希腊数学家XXX，他是西方数学史上最重要的人物之一。这个定理在几何学和三角学中有广泛的应用。

在几何学中，我们经常使用平移、旋转和对称等变换来处理图形。平移是指将图形沿着一个方向移动一定的距离，连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等。旋转是指将图形绕着一个旋转中心以一定的旋转角度旋转，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。对称轴是指任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。这些变换有着各自的性质，例如对应线段平行（或共线）且相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等等。

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