2024年4月5日发(作者：20年伊春市中考数学试卷)
湖南省益阳市2021年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的）
1．（4分）（2013•益阳）据益阳市统计局在网上发布的数据,2021年益阳市地区生产总值
（GDP）突破千亿元大关,达到了1020亿元,将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是
（ ）
A．
1.02×10
11
B．
10.2×10
10
C．
1.02×10
10
D．
1.2×10
11
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：
科学记数法的表示形式为a×10
n
的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看
把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时,n是正数。当原数的绝对值＜1时,n是负数．
解答：
解：将102 000 000 000用科学记数法表示为：1.02×10
11
．
故选：A．
点评：
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10
n
的形式,其中1≤|a|
＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（4分）（2013•益阳）下列运算正确的是（ ）
A．
2a
3
÷a=6
B．
（ab
2
）
2
=ab
4
C．（a+b）（a﹣b）D．
（a+b）
2
=a
2
+b
2
=a
2
﹣b
2
考点：平方差公式。幂的乘方与积的乘方。完全平方公式。整式的除法．
分析：根据单项式的除法法则,以及幂的乘方,平方差公式以及完全平方公式即可作出判断．
解答：
解：A、2a
3
÷a=2a
2
,故选项错误。
B、（ab
2
）
2
=a
2
b
4
,故选项错误。
C、正确。
D、（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2
,故选项错误．
故选C．
点评：本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用,理解公式结构是关键,需要熟练掌握并
灵活运用．
3．（4分）（2013•益阳）分式方程
A．
x=3
B．x=﹣3
的解是（ ）
C．
x=
D．
x=
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式
方程的解．
解答：解：去分母得：5x=3x﹣6,
解得：x=﹣3,
1
经检验x=﹣3是分式方程的解．
故选B．
点评：此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式
方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．（4分）（2013•益阳）实施新课改以来,某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习,
学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：
1234567
组 别
95
分 值
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．
88,90
B．
90,90
C．
88,95
D．
90,95
考点：众数。中位数．
分析：根据众数和中位数的定义,结合表格和选项选出正确答案即可．
解答：解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：85,88,90,90,90,92,95,
故中位数为：90,
众数为：90．
故选B．
点评：本题考查了众数和中位数的知识,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握众数和中位
数的定义．
5．（4分）（2013•益阳）一个物体由多个完全相同的小正方体组成,它的三视图如图所示,那
么组成这个物体的小正方体的个数为（ ）
A．2个B．3个C．5个D．10个
考点：由三视图判断几何体．
分析：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排,从俯视图可以验证这一点,从而确定个数．
解答：解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排,只能得出一共有5个小正方体,
从俯视图可以验证这一点,从而确定小正方体总个数为5个．
故选。C．
点评：此题主要考查了由三视图判定几何体的形状,此问题是中考中热点问题,同学们应熟练
掌握．
6．（4分）（2013•益阳）如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是（ ）
2
A．
∠1=∠2
B．
∠BAD=∠BCD
C．
AB=CD
D．
AC⊥BD
考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质,平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出
即可．
解答：解：∵在平行四边形ABCD中,
∴AB∥CD,
∴∠1=∠2,故此选项正确,不合题意。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,故B,C选项正确,不合题意。
无法得出AC⊥BD,故此选项错误,符合题意．
故选D．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质,熟练掌握相关的性质是解题关键．
7．（4分）（2013•益阳）抛物线y=2（x﹣3）
2
+1的顶点坐标是（ ）
A．（3,1）B．（3,﹣1）C．（﹣3,1）D．（﹣3,﹣1）
考点：二次函数的性质．
分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解答：
解：抛物线y=2（x﹣3）
2
+1的顶点坐标是（3,1）．
故选A．
点评：本题考查了二次函数的性质,熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．
8．（4分）（2013•益阳）已知一次函数y=x﹣2,当函数值y＞0时,自变量x的取值范围在数
轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点：在数轴上表示不等式的解集。一次函数的性质．
分析：由已知条件知x﹣2＞0,通过解不等式可以求得x＞2．然后把不等式的解集表示在数轴
上即可．
解答：解：∵一次函数y=x﹣2,
∴函数值y＞0时,x﹣2＞0,
解得,x＞2,
表示在数轴上为：
故选B．
点评：
3
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（＞,≥向右画。＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表
示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几
个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示。“＜”,“＞”要用空心圆点表示．
二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上）
9．（4分）（2013•益阳）因式分解：xy
2
﹣4x= x（y+2）（y﹣2） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：
解：xy
2
﹣4x,
=x（y
2
﹣4）,
=x（y+2）（y﹣2）．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关
键,难点在于要进行二次因式分解．
10．（4分）（2013•益阳）化简：= 1 ．
考点：分式的加减法．
专题：计算题．
分析：由于两分式的分母相同,分子不同,故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
解答：
解：原式=
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查的是分式的加减法,即同分母的分式想加减,分母不变,把分子相加减．
11．（4分）（2013•益阳）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片,卡片正面分别画有正三
角形、正方形、圆,从这三张卡片中任意抽取一张,卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心
对称图形的概率是 ．
考点：概率公式。轴对称图形。中心对称图形．
分析：由正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆,利用概
率公式即可求得答案．
解答：解：∵正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆,
∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（4分）（2013•益阳）如图,若AB是⊙O的直径,AB=10cm,∠CAB=30°,则BC= 5
cm．
4
考点：圆周角定理。含30度角的直角三角形．
分析：根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形,再由含30°角的直角三角形的性质即可
得出BC的长度．
解答：解：∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵AB=10cm,∠CAB=30°,
∴BC=AB=5cm．
故答案为：5．
点评：本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质,解答本题的关键是根据圆周
角定理判断出∠ACB=90°．
13．（4分）（2013•益阳）下表中的数字是按一定规律填写的,表中a的值应是 21 ．
…
1235813a
2358132134
…
考点：规律型：数字的变化类．
分析：根据第一行第3个数是前两个数值之和,进而得出答案．
解答：解：根据题意可得出：a=13+5=21．
故答案为：21．
点评：此题主要考查了数字变化规律,根据已知得出数字的变与不变是解题关键．
三、解答题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
14．（6分）（2013•益阳）已知：a=,b=|﹣2|,．求代数式：a
2
+b﹣4c的值．
考点：代数式求值．
专题：计算题．
分析：将a,b及c的值代入计算即可求出值．
解答：
解：当a=,b=|﹣2|=2,c=时,
a
2
+b﹣4c=3+2﹣2=3．
点评：此题考查了代数式求值,涉及的知识有：二次根式的化简,绝对值,以及有理数的混合运
算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（6分）（2013•益阳）如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E．求证：
△ABD∽△CBE．
5
考点：相似三角形的判定．
专题：证明题．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,然后求出∠ADB=∠CEB=90°,再根据两
组角对应相等的两个三角形相似证明．
解答：证明：在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∵CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CEB=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE．
点评：本题考查了相似三角形的判定,等腰三角形三线合一的性质,比较简单,确定出两组对应
相等的角是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题,每小题8分,共24分）
16．（8分）（2013•益阳）我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一
种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭
及关闭后,大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象,其中BC段是双曲线
一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值。
（3）当x=16时,大棚内的温度约为多少度？
的
考点：反比例函数的应用。一次函数的应用．
分析：（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）。
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可。
（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可．
解答：解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时．
6
（2）∵点B（12,18）在双曲线y=上,
∴18=,
∴解得：k=216．
（3）当x=16时,y==13.5,
所以当x=16时,大棚内的温度约为13.5℃．
点评：此题主要考查了反比例函数的应用,求出反比例函数解析式是解题关键．
17．（8分）（2013•益阳）某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动,小庆对全
体小组成员参加活动次数的情况进行统计分析,绘制了如下不完整的统计表和统计图
（图）．
865
次数
10
a21
人数
3
（1）表中a= 4 。
（2）请将条形统计图补充完整。
（3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况,参加了10次活动的成员被选中的概
率有多少？
考点：条形统计图。统计表。概率公式．
分析：（1）根据条形统计图可知a=4。
（2）根据表格数据可知6次的人数是2,然后补全统计图即可。
（3）根据概率公式解得即可．
解答：解：（1）由条形统计图可知次数为8的有4人,
所以,a=4。
（2）由表可知,6次的有2人,
补全统计图如图。
（3）∵小组成员共10人,参加了10次活动的成员有3人,
∴P=,
7
答：从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况,参加了10次活动的成员被选中
的概率是．
点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
18．（8分）（2013•益阳）如图,益阳市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道
AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据：AB=80.0
米,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位
置．（以A,B为参照点,结果精确到0.1米）
（参考数据：
sin38.5°=0.62,cos38.5°=0.78,tan38.5°=0.80,sin26.5°=0.45,cos26.5°=0.89,tan26.5°=0.50）
考点：解直角三角形的应用．
专题：应用题．
分析：设PD=x米,在Rt△PAD中表示出AD,在Rt△PDB中表示出BD,再由AB=80.0米,可
得出方程,解出即可得出PD的长度,继而也可确定小桥在小道上的位置．
解答：解：设PD=x米,
∵PD⊥AB,
∴∠ADP=∠BDP=90°,
在Rt△PAD中,tan∠PAD=
∴AD=≈=x,
,
,
在Rt△PBD中,tan∠PBD=
∴DB=≈=2x,
8
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