九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)

2024年3月10日发(作者：安徽泗县小升初数学试卷)

九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1. 如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90

, AB=AC

f

点 D, E 分别在边 AB, AC 上，

AD=

o

AE

f

连接DC,点M,

P,

N分别为DE,

DC,

BC的中点.

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；

（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接

BD, CE,

判断

APMN

的形

状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若

AD=4, AB=IO

f

请直接写出

APMN

面积的

最人值.

【答案】（I）PM=PΛ∕,

PM丄PN； （2） APMN

是等腰直角三角形.理由见解析；（3）

49

S

A

.PMN⅜⅛

大=.

【解析】

【分析】

（1） 由已知易得加=C利用三角形的中位线得出

PM = ；CE , PN = ；BD,

即可

2

2

得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互 余即可得出位

置关系；

（2） 先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出

PM=-BD

i

2

PN = LBD

t

即可得出PM = PN,同（1）的方法由

2

ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC

,即可得出结论；

（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出

AN,

AM,即可得 出MN最

）＜

=AM + AN,

最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大 时，WMN的面积最大，而

Br）最人是

AB + AD = 14,

即可得出结论.

【详解】

解：（1） •••点P,

N是BC,

CD的中点，

.∙.PN□BD, PN = -BD,

2

•••点P, M是CD，DE的中点，

..PM//CE

9

PM=丄CE ,

2

∙.∙AB=AC, AD=AE^

:.BD = CE ,

:.PM = PN,

-PN//BD

f

.∙. ZDPN = ZADC,

\'：PMIlCE.

:.ZDPM = ZDCA,

∙.∙ ZfiAC = 90

。，

.-.ZADC+ZACD = 90

o

,

:.ZMPN = ZDPM + ZDPN = ZDCA + ZADC = 9F,

:.PMjPN,

故答案为：

PM = PN, PMIPN ；

(2) ZXPWN是等腰直角三角形.

由旋转知，

ZBAD = ZCAE,

∙.∙ AB = AC, AD = AE

»

:.AABD ≈ AACE(SAS)

f

:.ZABD = ZACE, BD = CE,

利用三角形的中位线得，

PN = ；BD, PM=；CE,

2 2

:.PM = PN,

:ZMN

是等腰三角形，

同(1)的方法得，

PMHCE.

:.ZDPM = ZDCE,

同(1)的方法得，

PNHBD,

:.APNC= ZDBC,

∙.∙ ZDPN = ZDCB+ ZPNC = ZDCB+ ADBC ,

.∙. ZMPN = ZDPM + ZDPN = ZDCE+ ZDCB + ZDBC

=ZBCE+ ZDBC = ZACB+

ZACE+

ZDBC

=ZACB+ ZABD+ ZDBC=ZACB+ ZABC,

VZBAC = 90%

.∙. ZACB+ZABC = 90°,

:.AMPN =

90°,

.∙. APMN

是等腰直角三角形；