2024年4月10日发(作者：数学试卷第五答案)
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2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 1037
[中国高考数学母题]
(第265号)
概率分布与数学期望
离散型随机变量的分布列和数学期望具有递进关系,若分布列已知,可利用定义直接求数学期望;数学期望刻画了这个
离散型随机变量的平均取值水平,其中,二项分布和正态分布是两个典型分布.
[母题结构]:
(Ⅰ)分布列:如果离散型随机变量ξ所有可能的取值
为:x
1
,x
2
,x
3
,…,x
n
,且ξ取值x
i
时的概率为p
i
,即P(ξ=x
i
)=p
i
(i=1,2,3,…,n),
则称右表为随机变量ξ的分布列;
(Ⅱ)数学期望:称x
1
p
1
+x
2
p
2
+x
3
p
3
…+x
n
p
n
为ξ的数学期望,记为Eξ;
[母题解析]:
略.
1.解题程序
子题类型Ⅰ:
(2016年天津高考试题)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数
分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(Ⅰ)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
[解析]:
(Ⅰ)从10人中选出2人的选法共有C
10
2
=45种,参加次数的和为4,情况有:①1人参加
1次,另1人参加3次;②2人都参加2次,共有C
3
C
4
+C
2
=15种
P(A)=;
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2;P(X=0)=
222
C
3
C
3
C
4
2
C
10
112
1
3
=
474
C
1
C
1
C
1
C
1
P(X=2)=
X的分布列为
EX=1. ,P(X=1)=
33
2
34
=
151515
C
10
[点评]:
解答离散型随机变量数学期望问题的关键有:①确定离散型随机变量的取值集合;②确定每个离散型随机变量的
值k对应的事件A
k
;③用已知事件表示待求的事件A
k
.
[同类试题]:
1.(2006年全国Ⅱ高考试题)某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2
件产品进行检验,设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.
(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;
(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝购买的概率.
2.(2007年安徽高考试题)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了2两
只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍
蝇都飞出,再关闭小孔,以ξ表示笼子内还剩下的果蝇的只数.
(Ⅰ)写出ξ的分布列; (Ⅱ)求数学期望Eξ; (Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ).
2.取值集合
1
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子题类型Ⅱ:
(2012年浙江高考试题)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球
得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的数学期望E(X).
[解析]:
(Ⅰ)由a,b,c∈{1,2}
X=a+b+c=3,4,5,6
X的取值集合是{3,4,5,6},P(ξ=3)=
1051
C
1
C
2
C
3
X的分布列为: ,P(ξ=5)=
5
3
4
=,P(ξ=6)=
4
=
3
211421
C
9
C
9
3
C
5
21
5
C
5
C
=,P(ξ=4)=
3
4
=
3
C
9
42
C
9
(Ⅱ)E(X)=3×
51051
13
+4×+5×+6×=.
42211421
3
[点评]:
求离散型随机变量X的取值集合:首先要分析随机变量X是哪个或哪些基本变量的函数F,然后,由基本变量的取
1038 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题
值集合,确定函数F的值域(基本变量所有可能的取值情况),即得随机变量X的取值集合.
[同类试题]:
3.(2008年辽宁高考试题)某地批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所
示:(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;
(Ⅱ)己知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:
千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.
4.(2009年安徽高考试题)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染,
对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是
1
3
1
.同样也假定D受A、B和C感
2
染的概率都是.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计
算过程),并求X的均值(即数学期望).
3.对应事件
子题类型Ⅲ:
(2012年安徽高考试题)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则
使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该
试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n+m道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题
工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求X=n+2的概率; (Ⅱ)设m=n,求X的分布列和均值(数学期望).
[解析]:
设两次调题调用A类试题的事件分别为M,N;(Ⅰ)X=n+2表示两次调题均为A类型试题
P(X=n+2)=P(MN)=P(M)
P(N)=
1
C
n
1
C
mn
1
C
n1
1
C
mn2
=
n(n1)
;
(mn)(mn2)
1
C
n
(Ⅱ)当m=n时,P(M)=
1
C
mn
=
11
C
1
C
1
,P(N)=
1
n1
=
1
n
=,X的取值集合为{n,n+1,n+2};
2
C
mn2
C
mn
2
P(X=n)=P(
M
N
)=
111111
,P(X=n+1)=P(M
N
+
M
N)=,P(X=n+2)=P(MN)=
X的分布列为:EX=n+0×+1×+2×=n+1.
424424
2
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[点评]:
根据题意,理解把握随机变量的含义是分析随机变量的每个取值所对应事件的关键,而用基本事件去表示随机变
量的每个取值所对应的事件是解决随机变量有关问题的一般方法.
[同类试题]:
5.(2008年陕西高考试题)某射击测试规则为:每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第i次击中目标得4-i(i=1,2,3)
分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.
(Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
6.(2006年江西高考试题)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一
个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸
一次,乙摸两次.令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的资金总额.求:(Ⅰ)ξ的分布列; (Ⅱ)ξ的数学期望.
4.子题系列:
7.(2015年天津高考试题)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运
动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
8.(2016年山东高考试题)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如
果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知
甲每轮猜对的概率是
32
,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”
43
参加两轮活动,求:(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率; (Ⅱ)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 1039
9.(2015年安徽高考试题)已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后
不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.
(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时,所需要的检测费用(单位:
元),求X的分布列和均值(数学期望).
10.(2015年陕西高考试题)某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路通畅状况有关,对其容量为100的样本
进行统计,结果如下:
(Ⅰ)求T的分布列与数学期望ET;
(Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回
老校区共用时间不超过120分钟的概率.
11.(2013年天津高考试题)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别
为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;
(Ⅱ)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
12.(2013年辽宁高考试题)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是
4
,且各题答对与否相互独立,用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
5
3
,答对每道乙类题的概率都是
5
3
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5.子题详解:
1.解:设从第二箱中取出0件、1件二等品的事件分别为A
0
、A
1
,从第三箱中取出0件、1件、2件二等品的事件分别为B
0
、
2
1
32
C
3
C
4
B
1
、B
2
,则A
0
、A
1
互斥,B
0
、B
1
、B
2
互斥,A
i
与B
j
独立(i=0,1,j=0,1,2),且P(A
0
)=
2
=,P(A
1
)=
2
=,P(B
0
)=
2
=
5
C
5
5
C
5
C
5
2
C
4
361
C
1
C
1
C
2
,P(B
1
)=
3
2
2
=,P(B
2
)=
2
=;
2
101010
C
5
C
5
(Ⅰ)由ξ可能的取值为0,1,2,3;P(ξ=0)=P(A
0
B
0
)=P(A
0
)P(B
0
)=
A
0
B
1
)=P(A
1
B
0
)+P(A
0
B
1
)=
列:Eξ=0×
9
,P(ξ=1)=P(A
1
B
0
+
50
24215
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=
ξ的分布,P(ξ=3)=P(A
1
B
2
)=P(A
1
)P(B
2
)=
505050
924152
6
17
+1×+2×+3×=;(Ⅱ)被用户拒绝购买的概率=P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=.
50505050
5
50
1
A
2
1
A
8
2.解:(Ⅰ)由ξ的取值集合为{0,1,2,3,4,5,6},ξ=0对应事件：“最后一只飞出的是苍蝇”,P(ξ=0)=
事件：“倒数第二只飞出的是苍蝇,最后一只飞出的是果蝇”,P(ξ=1)=
4321
;P(ξ=4)=;P(ξ=5)=;P(ξ=6)=;
28282828
11
A
2
A
6
2
A
8
=
7
28
;
ξ=1对应
=
65
;同理可得:P(ξ=2)=; P(ξ=3)
2828
=
ξ的分布列为:
(Ⅱ)Eξ=0×
76543217
+1×+2×+3×+4×+5×+6×=2;(Ⅲ)P(ξ≥Eξ)=1-P(ξ<2)=1-
(
2828282828282828
+
615
)=.
2828
3.解:(Ⅰ)周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率如表:
(Ⅱ)设周销售量X分别为2吨,3吨和4吨的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.20,P(B)=
0.50,P(C)=0.30;由ξ=2(X+Y)(X,Y∈{2,3,4})
ξ的取值集合是{8,10,12,14,16},
P(ξ=8)=P(AA)=0.04,P(ξ=10)=P(AB+BA)=0.2,P(ξ=12)=P(BB+AC+CA)=0.37,P(ξ=14)
1040 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题
=P(BC+CB)=03,P(ξ=16)=P(CC)=0.09
ξ的分布列如表:Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4.
4.解:由B肯定是受A感染
X≥1
X的取值集合是{1,2,3},设C、D中接受A感染的事件分别为C、D,则C与D独立,
且P(C)=
111
1111
1
,P(D)=;P(X=1)=P(
C
D
)=P(
C
)P(
D
)=(1-)(1-)=;P(X=3)=P(CD)=P(C)P(D)=×=
P(X=
3333
6
222
1
11
11
1
X的分布列为:EX=1×+2×+3×=.
3
22
6
6
2)=1-P(X=1)-P(X=3)=
5.解:设该射手第i次击中目标的事件为A
i
(i=1,2,3),则A
1
,A
2
,A
3
相互独立,且P(A
i
)=0.8(i=1,2,3);
(Ⅰ)事件M:“该射手恰好射击两次”=
A
1
A
2
P(M)=P(
A
1
A
2
)=P(
A
1
)P(A
2
)=0.16;
(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3;P(ξ=0)=P(
A
1
A
2
A
3
)=0.008,P(ξ=1)=P(
A
1
A
2
A
3
)
=0.032,P(ξ=2)=P(
A
1
A
2
)=0.16,P(ξ=3)=P(A
1
)=0.8
ξ的分布列为:Eξ=0×0.008+1×0.032+2×0.16+3×0.8=2.752.
6.解:设甲摸一次,摸出红球的事件为M,乙摸两次摸出0,1,2个红球的事件分别为A,B,C,甲、乙摸出红球的个数分别为X,Y,
则P(X=0)=P(
M
)=0.9,P(X=1)=P(M)=0.1,P(Y=0)=P(A)=P(
MM
)=0.81,P(Y=1)=P(B)=P(M
M
+
M
M)=0.18,P(Y=2)
=P(C)=P(MM)=0.01;ξ的可能取值为:0,10,20,50,60;P(ξ=0)=P(X=0)P(Y=0)=0.729,P(ξ=10)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)
P(Y=1)=0.243,P(ξ=20)=P(X=1)P(Y=1)=0.018,P(ξ=50)=P(X=0)P(Y=2)=
4
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0.009,P(ξ=60)=P(X=1)P(Y=2)=0.001;(Ⅰ)ξ的分布列为:
(Ⅱ)Eξ=0×0.729+10×0.243+20×0.018+50×0.009+60×0.001=3.3.
7.解:(Ⅰ)P(A)=
2222
C
2
C
3
C
3
C
3
4
C
8
=
4k
6
5
C
k
C
3
;(Ⅱ)X的所有可能取值为1,2,3,4;P(X=k)=
5
4
(k=1,2,3,4)
EX=.
35
2
C
8
8.解:(Ⅰ)设甲在第一、二轮猜对的事件分别为A
1
、A
2
,乙在第一、二轮猜对的事件分别为B
1
、B
2
,则P(A
1
)=P(A
2
)=
P(B
2
)=
3
,P(B
1
)=
4
22
,A
1
与A
2
,B
1
与B
2
,A
i
与B
j
独立;A
i
B
j
与A
m
B
n
互斥;事件M=A
1
B
1
A
2
B
2
+A
1
B
1
A
2
B
2
+
A
1
B
1
A
2
B
2
+A
1
B
1
A
2
B
2
+A
1
B
1
A
2
B
2
P(M)=;
33
23
.
6
11
C
2
C
3
2
A
5
(Ⅱ)X的可能值是:0,1,2,3,4,6;X的分布列如下表,EX=
9.解:(Ⅰ)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P=
=
3
;
10
(Ⅱ)设检测的次数为ξ,则ξ的取值为2,3,4;X的分布列为:EX=350.
10.解:(Ⅰ)以频率估计概率得T的分布列为,ET=32(分钟);
(Ⅱ)设T
1
,T
2
分别表示往、返所需时间,T
1
，T
2
的取值相互独立,且与T的分布列相同,设事件A表示“刘教授共用时间不超
过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分
钟”
P(
A
)=P(T
1
+T
2
>70)=P(T
1
=35)P(T
2
=40)+P(T
1
=40)P(T
2
=35)+P(T
1
=40)P(T
2
=40)=0.91.
11.解:(Ⅰ)取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率1-
(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4;P(X=1)=
12.解:(Ⅰ)张同学至少取到1道乙类题的概率P=1-
(Ⅱ)设答对乙类题的事件为M,则P(M)=
4
C
5
4
C
7
=
6
;
7
14
24
17
,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=3)=
X的分布列为:EX=.
35355
77
3
C
6
3
C
10
=
5
;
6
43
k
3
2-kk
,答甲乙类题的个数为ξ,则P(ξ=k)=C
2
()(1-)(k=0,1,2);X所有的可能
555
428
取值为0,1,2,3;P(X=0)=P(ξ=0)P(
M
)=,P(X=1)=P(ξ=1)P(
M
)+P(ξ=0)P(M)=,P(X=2)=P(ξ=2)P(
M
)+P(ξ
125125
5736
X的分布列为:E(X)=2. =1)P(M)=,P(X=3)=P(ξ=2)P(M)=
125125
5
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考试题,数学,事件,分布,期望
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