2024年4月14日发(作者：打印数学试卷常用符号)
极限：
A
m
=
n
n!
(nm)!
n!
m!(nm)!
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
C
m
=
n
nm012n
1.C
m
=C 2.C+C+C+…+C=2
n
nnnnnn
Heine定理 （只能用来证明极限不存在）
若
lim
xx
0
f(x) =A
lim
n
x
n
=x
0
n
lim
f(x
x
n
x
0
n
) =A
{x
n
}
{y
n
}
lim
lim
x
n
=x
0
n
lim
f(x
x
n
x
0
y
n
y
0
) =A
) =B A
B
y
n
=y
0
n
lim
f(y
lim
n
n
lim
xx
0
f(x) 极限不存在
可直接用：
lim
n
n
n
=1
n
a
=1
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量（同一变化过程）
有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量（同一变化过程）
无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量
常量与无穷小量乘积仍是无穷小量
有限个无穷大量乘积仍是无穷大量
极限四则运算：设limf(x)=A limg(x)=B（自变量变化过程需统一） A、B是常数
limf(x)+ limg(x)=lim[f(x)+g(x)]=A+B
limf(x)- limg(x)=lim[f(x)-g(x)]=A-B
limf(x)limg(x)=lim[f(x)g(x)]=AB
lim
f(x)
g(x)
limf(x)
limg(x)
A
B
== (B
0)
limkf(x)=klimf(x)
若limf(x)=A,则lim[f(x)]
n
=[limf(x)]
n
=A
n
求极限：“
0
0
”约分后用商的法则 “
”同除后用商的法则
复合函数的极限运算法则：设y=f[g(x)]由y=f(u) u=g(x)复合而成
sinx
x
sinx
x
lim
f[g(x)]=
lim
xx
0
uu
0
f(u)
两个重要极限：
lim
x0
=1 （
lim
x
=0）
lim
（1+
n
1
n
）
n
=e 极限只要存在，结果一定是常数。
设：
lim
xx
0
f(x)
g(x)
=L
若L=0则f(x)比g(x)高阶无穷小
若L=
则f(x)比g(x)低阶无穷小
若L是非零常数，则称f(x)g(x)为同阶无穷小
若L=1 则称f(x)g(x)等价无穷小
常见等价无穷小：当x
0时， x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e
x
-1~ln(1+x)
1-cosx~
1
2
x
2
(1+x)
n
-1~nx a
t
-1~tlna
注：加减不可以替换！！
函数连续性：连续特点
lim
f(x)=f(x
xx
0
0
)
lim
y=0
x0
证明函数在某点连续：求函数在该点左右极限相等
函数间断点： 1.左右极限存在且相等 可去间断点
2.左右极限存在但不相等 跳跃间断点
3.左右至少有一个不存在 无穷间断点（也称瑕点）
导数：
f’(x
0
)=
lim
y
x
=
x0
lim
xx
0
f(x)f(x
0
)
xx
0
切线： y- f(x
0
)= f’(x
0
)(x- x
0
)
法线： y- f(x
0
)=-
1
f\'(x
0
)
(x- x
0
)
注：可导一定连续 连续不一定可导
证明函数在某点可导：求函数在该点左右导数相等（用定义求导数）
基本常用函数导数：（C）’=0 (x
n
)’=(nx
n1
) (sinx)’=cosx (cosx)’= -sinx
(a
x
)’= a
x
lna (e
x
)’= e
x
(log
a
x)’=
(tanx)’=sec
2
x=
1
cos
2
1
x
log
a
e (lnx)’=
1
sin
2
1
x
x
(cotx)’=- csc
2
x= -
x
(secx)’=secxtanx (cscx)’=-cscxcotx (arcsinx)’=
1
1x
2
=-(arccosx)’
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函数,乘积,存在,法则,证明
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