七年级数学下册期末考试卷(附有答案解析)

2023年12月5日发(作者：六下苏教版数学试卷答案)

七年级数学下册期末考试卷(附有答案解析)

一 选择题（每个小题4分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1．（4分）4的平方根是（ ）

A．±2 B．﹣2 C．2 D．16

2．（4分）以下调查中，适合用抽样调查的是（ ）

A．了解我校七年级（1）班学生的视力情况

B．了解北斗导航卫星的设备零件的质量情况

C．企业招聘时应聘人员进行面试

D．检测某市的空气质量

3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣1）所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（4分）如图．AB∥CD，∠1＝115°，划∠2的度数是（ ）

A．65°

5．（4分）已知A．2

6．（4分）乙知a＝A．1＜a＜2

B．75°

是方程组B．1

C．115° D．85°

的解，则a+b的值为（ ）

C．3 D．﹣1

﹣2，α介于两个连续自然数之间，则下列结论中正确的是（ ）

B．3＜a＜4 C．2＜a＜3 D．4＜a＜5

7．（4分）在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（ ）

A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3

8．（4分）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班 （5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）

A．C．

B．D．

第 1 页 共 19 页 9．（4分）不等式组A．﹣5＜a＜﹣4

有两个整数解，则a的取值范围是（ ）

B．﹣5＜a≤﹣4 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣4

10．（4分）如图，长方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（2，1），B（﹣2，1），C（﹣2，﹣1），（2，﹣1）物体甲和物体乙分别由点P（2，0）同时出发，沿长方形ABCD的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（ ）

A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（2，﹣1）

二 填空（每个小题4分，共32分）

11．（4分）在﹣2 ﹣ π中，无理数有 个．

12．（4分）把二元一次方程2x+y﹣3＝0化成用x表示y的式子为 ．

13．（4分）已知点P（3a﹣8，a﹣1），若点P在x轴上，则点P的坐标为 ．

14．（4分）如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 度．

15．（4分）为了解某地区七年级8460名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，样本容量是 ．

16．（4分）一次数学基础知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，某同学获得优秀（90分或90分以上），则这位同学至少答对了 道题．

17．（4分）如图，数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，过数轴上的点B作BC垂直于数轴，若AC＝以点A为圆心，AC为半径作圆交正半轴于点P，则点P所表示的数是 ．

，

18．（4分）一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，将三角形ACD绕

第 2 页 共 19 页 点A顺时针旋转一周，共有 次出现三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行．

三 解答题（共78分）

19．（12分）（1）计算（2）解方程组﹣|．

﹣2|﹣4+8；

20．（8分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

21．（12分）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．

（1）将△ABC向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形△A1B1C1，并写出平移后△A1B1C1对应顶点的坐标．

（2）求出△ABC的面积S△ABC．

（3）在y轴上是否存在点P，使以A B P三点为顶点的三角形满足：S△ABP＝3S△ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）某学校为了解《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》落实情况，就假期“平均每大期助父母干家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分，根据上述信息，回答下列问题：

第 3 页 共 19 页

（1）在本次陆机抽取的样本中，调查的学生人数是多少？

（2）求m，n的值；

（3）补全频数分布直方图；

（4）如果该校共有学生3000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务所用时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？

23．（10分）如图．∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明：∠CED＝∠CAB．

24．（12分）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．

（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？

（2）现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？

25．（12分）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）若∠A＝70°，则∠CBD＝ ：

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生改变？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

（3）当∠A＝3∠ABC，∠BCM＝2∠BDC，求∠A的度数．

第 4 页 共 19 页

参考答案与解析

一 选择题

1．（4分）4的平方根是（ ）

A．±2 B．﹣2 C．2 D．16

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

【解答】解：∵（±2）2＝4；

∴4的平方根是±2．

故选：A．

【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．（4分）以下调查中，适合用抽样调查的是（ ）

A．了解我校七年级（1）班学生的视力情况

B．了解北斗导航卫星的设备零件的质量情况

C．企业招聘时应聘人员进行面试

D．检测某市的空气质量

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力 物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．

【解答】解：A．了解我校七年级（1）班学生的视力情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；

B．了解北斗导航卫星的设备零件的质量情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；

C．企业招聘时应聘人员进行面试，适合全面调查，故本选项不符合题意；

D．检测某市的空气质量，适合抽样调查，故本选项符合题意．

第 5 页 共 19 页 故选：D．

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查 无法进行普查 普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣1）所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．

【解答】解：∵点P的横坐标是正数，纵坐标是负数；

∴点P（1，﹣1）在第四象限；

故选：D．

【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标的特点是解本题的关键，第一

象限内的点的坐标符号分别是（+，+） （﹣，+） （﹣，﹣） （+，﹣）．

4．（4分）如图．AB∥CD，∠1＝115°，划∠2的度数是（ ）

A．65° B．75° C．115° D．85°

【分析】根据AB∥CD，可知∠3＝∠1＝115°，再根据邻补角可求∠2．

【解答】解：如图：

∵AB∥CD；

∴∠3＝∠1＝115°；

∴∠2＝180°﹣∠3＝65°．

故选：A．

【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．

5．（4分）已知是方程组的解，则a+b的值为（ ）

A．2 B．1 C．3 D．﹣1

【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．

第 6 页 共 19 页

二 三 四 【解答】解：由题意得，∴．

．

∴a+b＝5+（﹣4）＝1．

故选：B．

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．

6．（4分）乙知a＝A．1＜a＜2

【分析】先估算【解答】解：∵4∴2故选：C．

【点评】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．

7．（4分）在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（ ）

A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3

．

﹣2，α介于两个连续自然数之间，则下列结论中正确的是（ ）

B．3＜a＜4

的范围，4；

C．2＜a＜3

，然后估算D．4＜a＜5

﹣2即可．

【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等列出方程计算即可得解．

【解答】解：∵过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴；

∴2a≠4+b，6＝3﹣b；

解得b＝﹣3，a≠．

故选：B．

【点评】本题考查了坐标与图形，熟记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键．

8．（4分）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班 （5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）

A．C．

B．D．

【分析】此题的等量关系有：（1）班得分：（5）班得分＝6：5；（1）班得分＝（5）班得分×2﹣40．

【解答】根据（1）班与（5）班得分比为6：5，有：

x：y＝6：5，得5x＝6y；

第 7 页 共 19 页 根据（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分，得x＝2y﹣40．

可列方程组为故选：D．

【点评】列方程组的关键是找准等量关系．同时能够根据比例的基本性质对等量关系①把比例式转化为等积式．

9．（4分）不等式组A．﹣5＜a＜﹣4

有两个整数解，则a的取值范围是（ ）

B．﹣5＜a≤﹣4 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣4

．

【分析】先根据不等式的性质求出第一个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，根据不等式组有两个整数解得6≤2﹣x＜7，再求出a的范围即可．

【解答】解：解不等式①，得x＞4；

所以不等式组的解集是4＜x≤2﹣a；

∵不等式组∴6≤2﹣a＜7；

∴4≤﹣a＜5；

∴﹣4≥a＞﹣5；

即﹣5＜a≤﹣4；

故选：B．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组的解集得出关于a的不等式组6≤2﹣a＜7是解此题的关键．

10．（4分）如图，长方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（2，1），B（﹣2，1），C（﹣2，﹣1），（2，﹣1）物体甲和物体乙分别由点P（2，0）同时出发，沿长方形ABCD的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（ ）

有两个整数解（是5，6）；

；

第 8 页 共 19 页 A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（2，﹣1）

【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．

【解答】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：

①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×＝4，物体乙行的路程为12×＝8，在AB边相遇；

②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×＝8，物体乙行的路程为12×2×＝16，在CD边相遇；

③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×＝12，物体乙行的路程为12×3×＝24，在P点相遇；

…

此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点；

∵2022÷3＝674；

故两个物体运动后的第2022次相遇地点的是：第三次相遇地点；

即物体甲行的路程为12×3×＝12，物体乙行的路程为12×3×＝24，在点A相遇；

此时相遇点的坐标为：（2，0）．

故选：A．

【点评】本题考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．

二 填空（每个小题4分，共32分）

11．（4分）在﹣2 ﹣ π中，无理数有 3 个．

【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．

【解答】解：在﹣2 ﹣故答案为：3．

【点评】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．

12．（4分）把二元一次方程2x+y﹣3＝0化成用x表示y的式子为 y＝﹣2x+3 ．

【分析】把含y的项放到方程左边，移项，求y即可．

π中，无理数有﹣ π，共3个．

第 9 页 共 19 页 【解答】解：2x+y﹣3＝0；

移项，得y＝﹣2x+3．

故答案为：y＝﹣2x+3．

【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项 合并同类项 系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项 系数化1就可用含y的式子表示x的形式．

13．（4分）已知点P（3a﹣8，a﹣1），若点P在x轴上，则点P的坐标为 （﹣5，0） ．

【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列式求出a，再求解即可．

【解答】解：∵点P（3a﹣8，a﹣1）在x轴上；

∴a﹣1＝0；

解得a＝1；

∴3a﹣8＝3×1﹣8＝﹣5；

所以，P（﹣5，0）．

故答案为：（﹣5，0）．

【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．

14．（4分）如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 48 度．

【分析】根据平行线的性质得∠BFD＝∠B＝68°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得∠D＝∠BFD﹣∠E，由此即可求∠D．

【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝68°；

∴∠BFD＝∠B＝68°；

而∠D＝∠BFD﹣∠E＝68°﹣20°＝48°．

故答案为：48．

【点评】此题主要运用了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．

15．（4分）为了解某地区七年级8460名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，样本容量是 400 ．

【分析】根据样本容量是指一个样本中所包含的单位数判断即可．

【解答】解：为了解某地区七年级8460名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，样本容量是400．

故答案为：400．

【点评】本题主要考查样本容量的概念，熟练掌握样本容量的概念是解题的关键．

第 10 页 共 19 页 16．（4分）一次数学基础知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，某同学获得优秀（90分或90分以上），则这位同学至少答对了 24 道题．

【分析】根据题意，设至少答对了x题，则答对获得的分数为4x，而答错损失的分数为30﹣x，由这次竞赛中，某同学获得优秀（90分或90分以上），列出不等式求解即可．

【解答】解：设至少答对了x题，那么答错或者不答的有（30﹣x）题

4x﹣（30﹣x）≥90

解得x≥24

答：至少答对了24题．

故答案为：24．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．本题尤其要注意所得的分数是答对题数所得的分数减去打错或不答所扣的分数．

17．（4分）如图，数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，过数轴上的点B作BC垂直于数轴，若AC＝以点A为圆心，AC为半径作圆交正半轴于点P，则点P所表示的数是 ﹣1+ ．

，

【分析】根据圆的半径相等得到AP＝AC＝【解答】解：∵AP＝AC＝∴点P所表示的数是﹣1+故答案为：﹣1+．

是解题的关键．

；

．

即可得出点P表示的点．

【点评】本题考查了实数与数轴，根据圆的半径相等得到AP＝AC＝18．（4分）一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，将三角形ACD绕点A顺时针旋转一周，共有 8 次出现三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行．

【分析】分8种情况讨论，即可求解．

【解答】解：分8种情况讨论：

（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°或135°；

（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°或45°；

（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°；

（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°；

（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；

第 11 页 共 19 页 （6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°

（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°；

（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；

综上所述：共有8次出现三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行．

故答案为：8．

【点评】本题考查旋转的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键．

三 解答题（共78分）

19．（12分）（1）计算（2）解方程组﹣|．

﹣2|﹣4+8；

第 12 页 共 19 页 【分析】（1）先化简，去绝对值符号，再算加减即可；

（2）利用加减消元法进行求解即可．

【解答】解：（1）＝4﹣（2﹣＝4﹣2+＝6+（2）；

；

﹣|﹣2|﹣4+8

）﹣4+8

﹣4+8

①×2得：8x+2y＝30③；

②+③得：11x＝33；

解得：x＝3；

把x＝3代入①得：12+y＝15；

解得：y＝3；

所以这个方程组的解是．

【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．

20．（8分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：由①得x≤1；

由②解得x＞﹣2；

所以不等式组的解集为﹣2＜x≤1；

解集在数轴上表示如下：

；

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21．（12分）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．

（1）将△ABC向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形△A1B1C1，

第 13 页 共 19 页 并写出平移后△A1B1C1对应顶点的坐标．

（2）求出△ABC的面积S△ABC．

（3）在y轴上是否存在点P，使以A B P三点为顶点的三角形满足：S△ABP＝3S△ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用点平移的坐标特征得到A1 B1 C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用三角形面积公式计算；

（3）设点P的坐标为（0，t），根据三角形面积公式得到×2×|t+4|＝3×3，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（ 0，1 ） B1（ 2，1 ） C1（3，4）；

（2）S△ABC＝×2×3＝3；

（3）存在．

设点P的坐标为（0，t）；

∵S△ABP＝3S△ABC；

∴×2×|t+4|＝3×3；

解得t＝5或t＝﹣13；

第 14 页 共 19 页 ∴P点坐标为（0，5）或（0，﹣13）．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

22．（12分）某学校为了解《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》落实情况，就假期“平均每大期助父母干家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分，根据上述信息，回答下列问题：

（1）在本次陆机抽取的样本中，调查的学生人数是多少？

（2）求m，n的值；

（3）补全频数分布直方图；

（4）如果该校共有学生3000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务所用时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？

【分析】（1）由0～10分钟的人数及其所占百分比可得总人数；

（2）先根据5个分组的人数之和等于总人数求出20﹣30的人数，再分别用20﹣30 30﹣40分钟的人数除以被调查的总人数即可求出m n的值；

（3）根据以上所求结果即可补全图形；

（4）用总人数乘以样本中30﹣40 40﹣50分钟人数和占被调查人数的比例即可．

【解答】解：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是60÷30%＝200（人）；

（2）∵20﹣30分钟的人数为200﹣（60+40+50+10）＝40（人）；

∴m%＝×100%＝20%，n%＝×100%＝25%；

∴m＝20 n＝25；

（3）补全频数分布直方图如下：

第 15 页 共 19 页

（4）3000×＝900（人）．

答：该校共有学生3000人，估计“平均每天帮助父母干家务所用时长不少于30分钟”的学生大约有900人．

【点评】本题考查频数分布直方图 扇形统计图 用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23．（10分）如图．∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明：∠CED＝∠CAB．

【分析】由图可得∠2+∠ADC＝180°，从而可得∠1＝∠ADC，可得EF∥CD，从而可得∠3＝∠CDE，可得∠B＝∠CDE，可推出AB∥DE，可得∠CED＝∠CAB．

【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠ADC＝180°；

∴∠1＝∠ADC；

∴FE∥DC；

∴∠3＝∠EDC；

∵∠3＝∠B；

∴∠B＝∠EDC；

∴AB∥DE；

∴∠CED＝∠CAB．

【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定．

24．（12分）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．

第 16 页 共 19 页 （1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？

（2）现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？

【分析】（1）设1辆大货车可以运输x箱生产物资，1辆小货车可以运输y箱生产物资，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资列出方程组，解之得出结果即可．

（2）设大货车m辆，则小货车（12﹣m）辆，根据运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元列出不等式组解出结果，计算最少费用．

【解答】解：（1）设1辆大货车可以运输x箱生产物资，1辆小货车可以运输y箱生产物资．

由题意得解方程组得．

．

答：1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车可以运输100箱生产物资．

（2）设大货车m辆，则小货车（12﹣m）辆．

由题意得解不等式组得6≤m＜9．

∵m取正整数6，7，8．

∴运输方案有三种．

大货车6辆，小货车6辆，费用为5000×6+3000×6＝48000（元）；

大货车7辆，小货车5辆，费用为5000×7+3000×5＝50000（元）；

大货车8辆，小货车4辆，费用为5000×8+3000×4＝52000（元）；

48000＜50000＜52000．

共计三种方案，当大货车6辆，小货车6辆时，费用最少，最少费用为48000元．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

25．（12分）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）若∠A＝70°，则∠CBD＝ 55° ：

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生改变？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

（3）当∠A＝3∠ABC，∠BCM＝2∠BDC，求∠A的度数．

．

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【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；

（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，由AM∥BN得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN得∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；

（3）先根据∠A＝3∠ABC和角平分线的定义可得∠ABP＝2∠ABC＝∠A，再根据∠BCM＝2∠BDC和（2）中的∠APB＝∠PBN＝2∠DBN＝2∠BDC可得根据平行线的性质可求出∠A的度数．

【解答】解：（1）∵AM∥BN；

∴∠ABN+∠A＝180°；

∵∠A＝70°；

∴∠ABN＝110°

∴∠ABP+∠PBN＝110°；

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN；

∴∠ABP＝2∠CBP ∠PBN＝2∠PBD（角平分线的定义）；

∴2∠CBP+2∠DBP＝110°；

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝55°；

故答案为：55°；

（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点P运动而变化．

理由是：∵AM∥BN；

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等）；

∵BD平分∠PBN（已知）；

∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义）；

∴∠APB＝∠PBN＝2∠DBN＝2∠ADB（等量代换）；

即∠APB＝2∠ADB．

（3）∵∠A＝3∠ABC；

∴；

，最后∵BC平分∠ABP；

第 18 页 共 19 页 ∴∠ABP＝2∠ABC＝∠A；

∵∠BCM＝∠A+∠ABC；

∴∵∠BCM＝2∠BDC；

由（2）可知：

∠APB＝∠PBN＝2∠DBN＝2∠BDC；

∴∠PBN＝∠BCM＝∠A；

∴∵AM∥BN；

∴∠A+∠ABN＝180°；

即：∠A+2∠A＝180°；

∴∠A＝60°．

【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。

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