2024年4月15日发(作者：江苏如皋一模中考数学试卷)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，
甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同
的
安排方法共有
A
．
120
种
C
．
60
种
B
．
90
种
D
．
30
种
()
2．(2020新高考II卷(海南卷)·第6题)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有
A
．
2
种
B
．
3
种
C
．
6
种
()
D
．
8
种
3
．
(2021
年高考全国乙卷理科
·
第
6
题
)
将
5
名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶
4
个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案
共有
A
．
60
种
B
．
120
种
C
．
240
种
()
D
．
480
种
()
y
2
4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题)
(x
)(x
y
)
5
的展开式中x
3
y
3
的系数为
x
A．5B．10C．15D．20
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)
(12x
2
)(1x)
4
的展开式中
x
3
的系数为
A．12B．16C．20
5
()
D．24
)
2
4
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第5题)
x
2
的展开式中
x
的系数为(
x
A．
10
B．
20
C．
40
D．
80
7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第6题)
(1
A．
15
B．
20
C．
30
1
2
6
x
)(1
x)
展开式中
的系数为(
x
2
D．
35
5
)
33
8．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)
xy
2xy
的展开式中
xy
的系数为()
A．
80
B．
40
C．40D．80
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由
1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种B．18种C．24种
()
D．36种
10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题)如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红会合，再一起到
位于
G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()
(
A．24B．18C．12
2
)
D．9
552
11．(2015高考数学新课标1理科·第10题)
(xxy)
的展开式中，
xy
的系数为
A．10B．20C．30
(
A．－4B．－3C．－2
D．60
5
()
12．(2013高考数学新课标2理科·第5题)已知
(1ax)(1x)
的展开式中
x
2
的系数为5，则
a
等于
)
D．－1
2
m
13．(2013高考数学新课标1理科·第9题)设m为正整数，
(
xy
)
展开式的二项式系数的最大值为
a
，
()
(
x
y
)
2
m
1
展开式的二项式系数的最大值为
b
，若13
a
=7
b
，则
m
＝
A．5
二、多选题
B．6C．7D．8
14
．
(2021
年新高考全国
Ⅱ
卷
·
第
12
题
)
设正整数
n
a
0
2
0
a
1
2
a
k
1
2
k
1
a
k
2
k
，其中
a
i
0,1
，记
n
a
0
a
1
a
k
．则
A
．
2n
n
C
．
8n5
4n3
三、填空题
15
．
(2022
新高考全国
I
卷
·
第
13
题
)
1
答
)
．
()
B
．
2n3
n
1
n
D
．
2
1
n
y
8
26
(
x
y
)
的
展开式中
xy
的系数为
________________(
用数字作
x
16．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1
个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
2
62
17．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)
(x
)
的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
x
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)
从
2
位女生，
4
位男生中选
3
人参加科技比赛，且至少有
1
位女
生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
19．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第14题)
(2xx)
5
的展开式中，
x
3
的系数是．(用数字填写答
案)
20．(2015高考数学新课标2理科·第15题)
(ax)(1x)
的展开式中
x
的奇数次幂项的系数之和为32，则
4
a
__________．
21．(2014高考数学课标2理科·第13题)
xa
的展开式中，
x
的系数为15，则
a
=________．(用数字
10
7
填写答案)
22．(2014高考数学课标1理科·第13题)
(xy)(xy)
的展开式中
xy
的系数为________．(用数字填写
答案)
827
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，
甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同
的
安排方法共有
A
．
120
种
C
．
60
种
【答案】C
解析：首先从
6
名同学中选
1
名去甲场馆，方法数有
C
6
；然后从其余
5
名同学中选
2
名去乙场馆，方法
数有
C
5
；最后剩下的
3
名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有
C
6
C
5
61060
种．故选：C
【题目栏目】计数原理排列与组合问题的综合应用
【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第3题
2．(2020新高考II卷(海南卷)·第6题)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有
A
．
2
种
【答案】C
解析：第一步，将3名学生分成两个组，有
C
3
C
2
3
种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有
A
2
2
种安排方法
所以，不同的安排方法共有
326
种，故选：C
【题目栏目】计数原理排列与组合问题的综合应用
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第6题
3
．
(2021
年高考全国乙卷理科
·
第
6
题
)
将
5
名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶
4
个项目进行培训，每名志愿者只分配到
1
个项目，每个项目至少分配
1
名志愿者，则不同的分配方案
共有
A．60种
【答案】
C
解析：根据题意，有一个项目中分配
2
名志愿者，其余各项目中分配
1
名志愿者，可以先从
5
名志愿
者中任选
2
人，组成一个小组，有
C
5
种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个
2
2
12
212
1
()
B
．
90
种
D
．
30
种
()
B
．
3
种
C
．
6
种
D
．
8
种
(
B．120种C．240种
)
D．480种
不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有
4
！种，根据乘法原理，完成这件事，
共有
C
5
4!240
种不同的分配方案，
故选：
C
．
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选
后排思想求解．
【题目栏目】计数原理排列与组合问题的综合应用
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第6题
2
y
2
4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题)
(x
)(x
y
)
5
的展开式中x
3
y
3
的系数为
x
A．5
【答案】C
【解析】
(xy)
5
展开式的通项公式为
T
r
1
C
5
x
r
5
r
()
B．10C．15D．20
y
r
(
rN
且
r5
)
y
2
5
所以
x
的各项与
(xy)
展开式的通项的乘积可表示为：
x
xT
r
1
xCx
r
r
5
5
r
y
Cx
rr
5
6
r
y
2
y
2
r
5
rr
y
和
T
r
1
C
5
xy
C
5
r
x
4
r
y
r
2
xx
r
在
xT
r
1
C
5
x
6
r
333
y
r
中，令
r3
，可得：
xT
4
C
5
xy
，该项中
x
3
y
3
的系数为
10
，
y
2
y
2
r
4
rr
2133
在
T
r
1
C
5
xy
中，令
r1
，可得：
T
2
C
5
xy
，该项中
x
3
y
3
的系数为
5
xx
所以
x
3
y
3
的系数为
10515
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，
属于中档题．
【题目栏目】计数原理二项式定理二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)
(12x
2
)(1x)
4
的展开式中
x
3
的系数为
A．12B．16C．20D．24
()
【答案】【答案】A
【解析】因为
(12x
2
)(1x)
4
=(1x)
4
2x
2
(1x)
4
，所以
x
3
的系数为
C
4
2C
4
4812
，故选
A
．
31
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
5
2
2
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第5题)
x
的展开式中
x
4
的系数为(
x
A．
10
【答案】C
B．
20
C．
40
D．
80
)
2
r
2
5
r
2
rr
10
3
r
解析：
x
2
展开式的通项公式为
C
5
，令
103r4
，解得
r2
，
x
C
2
x
5
x
x
故含
x
的系数为
C
5
240
，故选C．
【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第5题
7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第6题)
(1
A．
15
B．
20
【答案】C
【解析】因为
(1
C．
30
4
22
5
r
1
)(1
x)
6
展开式中
x
2
的系数为(
2
x
D．
35
)
11
666
2
6
)(1
x)
1
(1
x)
(1
x)
x
,则
展开式中含
的项为
(1x)
x
2
x
2
11
1C
6
2
x
2
15x
2
,
2
(1
x)
6
展开式中含
x
2
的项为
2
C
6
4
x
4
15x
2
,故
x
2
前系数为
151530
,选C．
xx
2
【考点】二项式定理
【点评】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好
x
的项共
有几项,进行加和．这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式展
开式中的
r
不同．
【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第6题
33
8．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)
xy
2xy
的展开式中
xy
的系数为(
5
)
A．
80
B．
40
【答案】C
5
C．40
5
D．80
5
【解析】
xy
2xy
x
2xy
y
2xy
,
由
2xy
5
展开式的通项公式:
T
r
1
C
5
2
x
r
5
5
r
y
3
r
可得:
2
3
当
r3
时,
x
2xy
展开式中
xy
3
33
的系数为
C
5
2
1
40
,
的系数为
C
5
2
1
80
,
23
2
当
r2
时,
y
2xy
5
展开式中
xy
3
则
xy
33
的系数为
804040
．
故选C．
【考点】二项式展开式的通项公式
【点评】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特
定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整
数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由
1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种
【答案】D
【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力
为主．
【解析】解法一：分组分配之分人
首先分组
3
1
将三人分成两组，一组为三个人，有
A
3
6
种可能，另外一组从三人在选调一人，有
C
3
3
种可
()
D．36种B．18种C．24种
能；
其次排序
2
两组前后在排序，在对位找工作即可，有
A
2
2
种可能；共计有36种可能．
解法二：分组分配之分工作
23
工作分成三份有
C
4
6
种可能，在把三组工作分给3个人有
A
3
6
可能，共计有36种可能．
解法三：分组分配之人与工作互动
3
1
先让先个人个完成一项工作，有
A
4
24
种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有
C
3
3
2
种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以
A
2
2
，共计有36种可能．
解法四：占位法
12
其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有
C
3
C
4
18
中可能；剩下的两项工作
2
由剩下的两个人去完成，即有
A
2
2
种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能．
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