2024年4月15日发(作者：广东高中新课标数学试卷)
2016
年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．（5分）（2016•新课标Ⅲ）设集合S＝{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝
（）
B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）
D．（0，2]∪[3，+∞）
＝（
C．i
＝（，），＝（
）
D．﹣i
，），则∠ABC＝
A．[2，3]
C．[3，+∞）
2．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若z＝1+2i，则
A．1B．﹣1
3．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知向量
（）
B．45°A．30°C．60°D．120°
4．（5分）（2016•新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月
平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，
B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
第1页（共28页）
5．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若tanα＝，则cos
2
α+2sin2α＝（
A．B．C．1
）
D．
）
D．c＜a＜b
6．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知a＝
A．b＜a＜cB．a＜b＜c
，b＝，c＝
C．b＜c＜a
，则（
7．（5分）（2016•新课标Ⅲ）执行如图程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝
（）
A．3B．4C．5D．6
8．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在△ABC中，B＝
（
A．
）
B．
，BC边上的高等于BC，则cosA等于
C．﹣D．﹣
9．（5分）（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面
体的三视图，则该多面体的表面积为（）
第2页（共28页）
A．18+36B．54+18C．90D．81
10．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
内有一个体积为V的球，若
AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA
1
＝3，则V的最大值是（
A．4πB．C．6π
+
）
D．
＝1（a＞b＞0）的11．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l
与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（
A．B．C．D．
）
12．（5分）（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a
n
}如下：{a
n
}共有2m项，其中m项
为0，m项为1，且对任意k≤2m，a
1
，a
2
，…，a
k
中0的个数不少于1的个数，若m＝4，
则不同的“规范01数列”共有（
A．18个B．16个
）
C．14个D．12个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值
为．
cosx的图象可由函数y＝sinx+cosx的图14．（5分）（2016•新课标Ⅲ）函数y＝sinx﹣
第3页（共28页）
象至少向右平移个单位长度得到．
15．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，
则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是
16．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣
．
＝0与圆x
2
+y
2
＝12交于A，B两
，则|CD|＝．点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝1+λa
n
，其中λ≠0．
（1）证明{a
n
}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S
5
＝，求λ．
18．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处
理量．
附注：
参考数据：y
i
＝9.32，t
i
y
i
＝40.17，＝0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝﹣．
第4页（共28页）
19．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，
AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
20．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y
2
＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线
l
1
，l
2
分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
21．（12分）（2016•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f
（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何
证明选讲]
22．（10分）（2016•新课标Ⅲ）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，
第5页（共28页）
F两点．
（1）若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为（α为参
数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方
程为ρsin（θ+）＝2．
（1）写出C
1
的普通方程和C
2
的直角坐标方程；
（2）设点P在C
1
上，点Q在C
2
上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
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2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．（5分）（2016•新课标Ⅲ）设集合S＝{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝
（）
B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）
D．（0，2]∪[3，+∞）
A．[2，3]
C．[3，+∞）
【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．
【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S＝（﹣∞，2]∪[3，+∞），
∵T＝（0，+∞），
∴S∩T＝（0，2]∪[3，+∞），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若z＝1+2i，则
A．1B．﹣1
＝（
C．i
）
D．﹣i
【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：z＝1+2i，则
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
3．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知向量
（）
B．45°
的坐标便可求出
C．60°
，及
D．120°
的值，从而根据向
＝（，），＝（，），则∠ABC＝
＝＝＝i．
A．30°
【分析】根据向量
量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．
第7页（共28页）
【解答】解：，；
∴
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC＝30°．
故选：A．
；
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角
的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
4．（5分）（2016•新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月
平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，
B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比
一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
第8页（共28页）
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，
利用图象法进行判断是解决本题的关键．
5．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若tanα＝，则cos
2
α+2sin2α＝（
A．B．C．1
）
D．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos
2
α+sin
2
α），再将“弦”化“切”即可得
到答案．
【解答】解：∵tanα＝，
∴cos
2
α+2sin2α＝
故选：A．
＝＝＝．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
6．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知a＝
A．b＜a＜c
【分析】b＝
到答案．
【解答】解：∵a＝
b＝
c＝
，
＝，
＝，
＝
B．a＜b＜c
，c＝＝
，b＝，c＝
C．b＜c＜a
，则（）
D．c＜a＜b
，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质
的综合应用，难度中档．
7．（5分）（2016•新课标Ⅲ）执行如图程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝
（）
第9页（共28页）
A．3B．4C．5D．6
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，
当s＝20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a＝4，b＝6，n＝0，s＝0
执行循环体，a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1
不满足条件s＞16，执行循环体，a＝﹣2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2
不满足条件s＞16，执行循环体，a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3
不满足条件s＞16，执行循环体，a＝﹣2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4
满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，
b，s的值是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在△ABC中，B＝
（）
第10页（共28页）
，BC边上的高等于BC，则cosA等于
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】作出图形，令∠DAC＝θ，依题意，可求得cosθ＝＝＝，
sinθ＝，利用两角和的余弦即可求得答案．
【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠
DAC＝θ，
∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，
∴BD＝AD＝a，CD＝a，
在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，
∴cosA＝cos（
故选：C．
+θ）＝coscosθ﹣sinsinθ＝×﹣×＝﹣．
【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC＝θ，利用两角和的余弦求cosA是
关键，也是亮点，属于中档题．
9．（5分）（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面
体的三视图，则该多面体的表面积为（）
第11页（共28页）
A．18+36B．54+18C．90D．81
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个斜四棱柱，如图所示：
其上底面和下底面面积为：3×3×2＝18，
侧面的面积为：（3×6+3×
故棱柱的表面积为：18×2+18+18
故选：B．
）×2＝18+18
＝54+18．
，
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几
何体的形状是解答的关键．
10．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
内有一个体积为V的球，若
AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA
1
＝3，则V的最大值是（
A．4πB．C．6π
）
D．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的内切球半径为，代入球的体积公式，
第12页（共28页）
可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
故三角形ABC的内切圆半径r＝
又由AA
1
＝3，
故直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的内切球半径为，
此时V的最大值
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
11．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的
＝，
＝2，
左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l
与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（
A．B．C．D．
）
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y＝k（x+a），分别令x＝
﹣c，x＝0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：
斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得k
BH
＝k
BM
，
即为＝，
＝，即为a＝3c，化简可得
可得e＝＝．
另解：由△AMF∽△AEO，
第13页（共28页）
可得＝，
由△BOH∽△BFM，
可得
即有
＝＝
＝
，
即a＝3c，
可得e＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的
运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
12．（5分）（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a
n
}如下：{a
n
}共有2m项，其中m项
为0，m项为1，且对任意k≤2m，a
1
，a
2
，…，a
k
中0的个数不少于1的个数，若m＝4，
则不同的“规范01数列”共有（
A．18个B．16个
）
C．14个D．12个
【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首
项为0，末项为1，当m＝4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，
首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1；
0，0，0，1，1，1，0，1；
0，0，1，0，1，0，1，1；
0，0，1，1，0，0，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1；
0，0，0，1，0，1，1，1；
0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，1，0，1；
0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；
0，0，1，1，0，1，0，1；
0，0，0，1，1，0，1，1；
0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．
故选：C．
【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不
漏，是压轴题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件
第14页（共28页）
，则z＝x+y的最大值为
．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最
大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，
由得D（1，），
；所以z＝x+y的最大值为1+
故答案为：．
【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，
确定求最值的条件．
14．（5分）（2016•新课标Ⅲ）函数y＝sinx﹣
象至少向右平移个单位长度得到．
cosx＝2sin（x+），则f（x﹣φ）＝2sin（x+
﹣φ＝2kπ﹣
），y＝sinx﹣
﹣φ），依
cosx的图象可由函数y＝sinx+cosx的图
【分析】令f（x）＝sinx+
题意可得2sin（x+﹣φ）＝2sin（x﹣），由（k∈Z），可得答案．
cosx＝2sin（x﹣），【解答】解：∵y＝f（x）＝sinx+
∴f（x﹣φ）＝2sin（x+
令2sin（x+
则
cosx＝2sin（x+
﹣φ）（φ＞0），
），﹣φ）＝2sin（x﹣
（k∈Z），﹣φ＝2kπ﹣
第15页（共28页）
即φ＝﹣2kπ（k∈Z），
，
当k＝0时，正数φ
min
＝
故答案为：．
【点评】本题考查函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，
得到﹣φ＝2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．
15．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，
则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1＝0．
【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）＝f（x），即有x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，求出
导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），
当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，即有
x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，f′（x）＝﹣3，
可得f（1）＝ln1﹣3＝﹣3，f′（1）＝1﹣3＝﹣2，
则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）＝﹣2（x﹣1），
即为2x+y+1＝0．
故答案为：2x+y+1＝0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，
考查运算能力，属于中档题．
16．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣＝0与圆x
2
+y
2
＝12交于A，B两
，则|CD|＝4．点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2
【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，|AB|＝2
∴＝3，
，∴圆心到直线的距离d＝3，
∴m＝﹣
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
第16页（共28页）
∴|CD|＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较
基础．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝1+λa
n
，其中λ≠0．
（1）证明{a
n
}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S
5
＝，求λ．
【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的
定义进行证明求解即可．
（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．
【解答】解：（1）∵S
n
＝1+λa
n
，λ≠0．
∴a
n
≠0．
当n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n
﹣
1
＝1+λa
n
﹣1﹣λa
n
﹣
1
＝λa
n
﹣λa
n
﹣
1
，
即（λ﹣1）a
n
＝λa
n
﹣
1
，
∵λ≠0，a
n
≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，
即＝，（n≥2），
∴{a
n
}是等比数列，公比q＝
当n＝1时，S
1
＝1+λa
1
＝a
1
，
即a
1
＝
∴a
n
＝
，
•（
，
•（
﹣1＝﹣
）
n
1
．
﹣
，
（2）若S
5
＝
则若S
5
＝1+λ[
即（
则
）
5
＝
）
4
]＝
，
，
＝﹣，得λ＝﹣1．
第17页（共28页）
【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n
﹣
1
的关系进行递
推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．
18．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处
理量．
附注：
参考数据：y
i
＝9.32，t
i
y
i
＝40.17，＝0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝﹣．
【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系
数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入
第18页（共28页）
可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r＝＝≈
≈
∵0.993＞0.75，
≈0.993，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2）＝＝≈≈0.103，
＝﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，
∴y关于t的回归方程＝0.10t+0.92，
2016年对应的t值为9，
故＝0.10×9+0.92＝1.82，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
19．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，
AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，
第19页（共28页）
且NG＝，再由已知得AM∥BC，且AM＝BC，得到NG∥AM，且NG＝AM，说
明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE
⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角
形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；
（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过
A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求
解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，
∵N为PC的中点，
∴NG∥BC，且NG＝
又AM＝
，
，BC＝4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM＝BC，
则NG∥AM，且NG＝AM，
∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，
∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
法二、
在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
在△ABC中，由已知AB＝AC＝3，BC＝4，得cos∠ACB＝
∵AD∥BC，
∴cos
在△EAM中，
∵AM＝，AE＝，
＝，
，则sin∠EAM＝，
，
由余弦定理得：EM＝
第20页（共28页）
∴cos∠AEM＝，
而在△ABC中，cos∠BAC＝，
∴cos∠AEM＝cos∠BAC，即∠AEM＝∠BAC，
∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，
∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM＝E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC中，由AM＝2，AC＝3，cos∠MAC＝，得CM
2
＝AC
2
+AM
2
﹣2AC•
AM•cos∠MAC＝
∴AM
2
+MC
2
＝AC
2
，则AM⊥MC，
∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD＝AD，
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面
PMN所成角．
在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN＝＝，
．
在Rt△PAM中，由PA•AM＝PM•AF，得AF＝，
∴sin．
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
第21页（共28页）
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转
化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．
20．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y
2
＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线
l
1
，l
2
分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA＝∠PQF，即可证明AR
∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中
点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP＝AF，BQ＝BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ＝90°，
∴∠PFQ＝90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF＝RP＝RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR＝∠FAR，∠PRA＝∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ＝180°﹣∠QBF＝∠PAF＝2∠PAR，
∴∠FQB＝∠PAR，
∴∠PRA＝∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
F（，0），准线为x＝﹣，
第22页（共28页）
S
△
PQF
＝|PQ|＝|y
1
﹣y
2
|，
设直线AB与x轴交点为N，
∴S
△
ABF
＝|FN||y
1
﹣y
2
|，
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，
∴2|FN|＝1，∴x
N
＝1，即N（1，0）．
设AB中点为M（x，y），由得＝2（x
1
﹣x
2
），
又＝，
∴＝，即y
2
＝x﹣1．
∴AB中点轨迹方程为y
2
＝x﹣1．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中
档题．
21．（12分）（2016•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f
（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；
（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最
值的性质进行求解；
（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．
【解答】（I）解：f′（x）＝﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．
第23页（共28页）
（II）当a≥1时，|f（x）|＝|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|
≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）＝3a﹣2＝f（0），因此A＝3a﹣2．
当0＜a＜1时，f（x）＝acos2x+（a﹣1）（cosx+1）＝2acos
2
x+（a﹣1）cosx﹣1，
令g（t）＝2at
2
+（a﹣1）t﹣1，
则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）＝a，g（1）＝3a﹣2，
且当t＝时，g（t）取得极小值，极小值为g（）＝﹣﹣1＝﹣，
（二次函数在对称轴处取得极值）
令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．
①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|＝a，|g（1）|＝2﹣3a，|g
（﹣1）|＜|g（1）|，
∴A＝2﹣3a，
②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）＝2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（
又|g（）|﹣|g（﹣1）|＝
）|＝
＞0，
），
∴A＝|g（，
综上，A＝．
（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|＝|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，
当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）＝2A，
当＜a＜1时，A＝
∴|f′（x）|≤1+a≤2A，
当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4＝2A，
综上：|f′（x）|≤2A．
【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，
转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何
第24页（共28页）
＝++＞1，
证明选讲]
22．（10分）（2016•新课标Ⅲ）如图，⊙O中
F两点．
（1）若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，
【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB＝∠1，∠PCB＝∠2，∠ABC＝∠3，∠PBA
＝∠4，∠PAB＝∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由
圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得
证．
【解答】（1）解：连接PB，BC，
设∠PEB＝∠1，∠PCB＝∠2，∠ABC＝∠3，
∠PBA＝∠4，∠PAB＝∠5，
由⊙O中的中点为P，可得∠4＝∠5，
在△EBC中，∠1＝∠2+∠3，
又∠D＝∠3+∠4，∠2＝∠5，
即有∠2＝∠4，则∠D＝∠1，
则四点E，C，D，F共圆，
可得∠EFD+∠PCD＝180°，
由∠PFB＝∠EFD＝2∠PCD，
即有3∠PCD＝180°，
可得∠PCD＝60°；
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G
第25页（共28页）
可得G为圆心，即有GC＝GD，
则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，
则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，
考查推理能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为（α为参
数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方
程为ρsin（θ+）＝2．
（1）写出C
1
的普通方程和C
2
的直角坐标方程；
（2）设点P在C
1
上，点Q在C
2
上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C
1
的普通方程，运用x＝ρcosθ，
y＝ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C
2
的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y
﹣4＝0平行的直线方程为x+y+t＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行
线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值
域，即可得到所求最小值和P的坐标．
【解答】解：（1）曲线C
1
的参数方程为
移项后两边平方可得
即有椭圆C
1
：
+y
2
＝cos
2
α+sin
2
α＝1，
）＝2，
（α为参数），
+y
2
＝1；
曲线C
2
的极坐标方程为ρsin（θ+
第26页（共28页）
即有ρ（sinθ+cosθ）＝2，
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得x+y﹣4＝0，
即有C
2
的直角坐标方程为直线x+y﹣4＝0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4＝0的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y﹣4＝0平行的直线方程为x+y+t＝0，
联立可得4x
2
+6tx+3t
2
﹣3＝0，
由直线与椭圆相切，可得△＝36t
2
﹣16（3t
2
﹣3）＝0，
解得t＝±2，
显然t＝﹣2时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|＝＝，
此时4x
2
﹣12x+9＝0，解得x＝，
即为P（，）．
另解：设P（cosα，sinα），
由P到直线的距离为d＝
＝
当sin（α+
此时可取α＝
，
）＝1时，|PQ|的最小值为
，即有P（，）．
，
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直
线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．
第27页（共28页）
（2）由f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥
的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，
|x﹣|+|x﹣|≥
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥
∴（a﹣1）
2
≥（3﹣a）
2
，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
＞0，
，
，由此能求出a
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解
题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
第28页（共28页）
2016
年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x
2
﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝
（）
B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）
）
A．（﹣3，﹣）
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（
A．1B．C．D．2
3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a
n
}前9项的和为27，a
10
＝8，则a
100
＝（
A．100B．99C．98D．97
）
4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至
8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10分钟的概率是（
A．
）
B．
﹣
）
）C．（0，3）D．（0，）
C．D．
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程
间的距离为4，则n的取值范围是（
A．（﹣1，3）B．（﹣1，
6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条
相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）
A．17πB．18πC．20πD．28π
）
7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y＝2x
2
﹣e
|x|
在[﹣2，2]的图象大致为（
第1页（共28页）
A．B．
C．D．
）8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（
A．a
c
＜b
c
C．alog
b
c＜blog
a
c
B．ab
c
＜ba
c
D．log
a
c＜log
b
c
9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出
x，y的值满足（）
A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x
10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准
线于D、E两点．已知|AB|＝4
A．2B．4
，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（
C．6
第2页（共28页）
）
D．8
11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A，α∥平面CB
1
D
1
，
α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB
1
A
1
＝n，则m、n所成角的正弦值为（
A．B．C．D．
12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
为f（x）的零点，x＝
则ω的最大值为（
A．11
）
B．9C．7D．5
为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，
）
），x＝﹣
）上单调，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设向量＝（m，1），＝（1，2），且|+|
2
＝||
2
+||
2
，则m
＝．
）
5
的展开式中，x
3
的系数是．（用数字填写
14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+
答案）
15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{a
n
}满足a
1
+a
3
＝10，a
2
+a
4
＝5，则a
1
a
2
…a
n
的最
大值为．
16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生
产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料
0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B
的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条
件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC
（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF
为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
第3页（共28页）
19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机
器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机
器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买
几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，
记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易
损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，
应选用哪个？
20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x
2
+y
2
+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且
与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C
1
，直线l交C
1
于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆
A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝（x﹣2）e
x
+a（x﹣1）
2
有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x
1
，x
2
是f（x）的两个零点，证明：x
1
+x
2
＜2．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几
第4页（共28页）
何证明选讲]
22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°．以O为圆心，
OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为（t为参
数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C
2
：ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）说明C
1
是哪种曲线，并将C
1
的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C
3
的极坐标方程为θ＝α
0
，其中α
0
满足tanα
0
＝2，若曲线C
1
与C
2
的公共点
都在C
3
上，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
第5页（共28页）
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x
2
﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝
（）
B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）A．（﹣3，﹣）
【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A＝{x|x
2
﹣4x+3＜0}＝（1，3），
B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），
∴A∩B＝（，3），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（
A．1B．C．D．2
）
【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，
∴x+xi＝1+yi，
即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．
3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a
n
}前9项的和为27，a
10
＝8，则a
100
＝（
A．100B．99C．98D．97
）
【分析】根据已知可得a
5
＝3，进而求出公差，可得答案．
【解答】解：∵等差数列{a
n
}前9项的和为27，S
9
＝
∴9a
5
＝27，a
5
＝3，
又∵a
10
＝8，
∴d＝1，
第6页（共28页）
＝＝9a
5
．
∴a
100
＝a
5
+95d＝98，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．
4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至
8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10分钟的概率是（
A．
）
B．C．D．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可
得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程
间的距离为4，则n的取值范围是（
A．（﹣1，3）B．（﹣1，）
﹣
）
C．（0，3）D．（0，）
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点
【分析】由已知可得c＝2，利用4＝（m
2
+n）+（3m
2
﹣n），解得m
2
＝1，又（m
2
+n）（3m
2
﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，
当焦点在x轴上时，
可得：4＝（m
2
+n）+（3m
2
﹣n），解得：m
2
＝1，
∵方程﹣＝1表示双曲线，
∴（m
2
+n）（3m
2
﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y轴上时，
第7页（共28页）
可得：﹣4＝（m
2
+n）+（3m
2
﹣n），解得：m
2
＝﹣1，
无解．
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条
相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）
A．17πB．18πC．20πD．28π
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何
体的表面积．
【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：
可得：＝，R＝2．
＝17π．
它的表面积是：×4π•2
2
+
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．
7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y＝2x
2
﹣e
|x|
在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B．
第8页（共28页）
C．D．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，
可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝y＝2x
2
﹣e
|x|
，
∴f（﹣x）＝2（﹣x）
2
﹣e
|
故函数为偶函数，
当x＝±2时，y＝8﹣e
2
∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x
2
﹣e
x
，
∴f′（x）＝4x﹣e
x
＝0有解，
故函数y＝2x
2
﹣e
|x|
在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（
A．a
c
＜b
c
C．alog
b
c＜blog
a
c
B．ab
c
＜ba
c
D．log
a
c＜log
b
c
）
﹣
x|
＝2x
2
﹣e
|x|
，
【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结
论的真假，可得答案．
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）＝x
c
在（0，+∞）上为增函数，故a
c
＞b
c
，故A错误；
函数f（x）＝x
c
故B错误；
log
a
c＜0，且log
b
c＜0，log
a
b＜1，即＝＜1，即log
a
c＞log
b
c．故D错误；
﹣
1
在（0，+∞）上为减函数，故a
c
1
＜b
c
1
，故ba
c
＜ab
c
，即ab
c
＞ba
c
；
﹣﹣
0＜﹣log
a
c＜﹣log
b
c，故﹣blog
a
c＜﹣alog
b
c，即blog
a
c＞alog
b
c，即alog
b
c＜blog
a
c，故C
正确；
故选：C．
第9页（共28页）
【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，
是解答的关键．
9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出
x，y的值满足（）
A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y
的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：输入x＝0，y＝1，n＝1，
则x＝0，y＝1，不满足x
2
+y
2
≥36，故n＝2，
则x＝，y＝2，不满足x
2
+y
2
≥36，故n＝3，
则x＝，y＝6，满足x
2
+y
2
≥36，
故y＝4x，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟
循环的方法解答．
10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准
线于D、E两点．已知|AB|＝4
A．2B．4
，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（
C．6
第10页（共28页）
）
D．8
【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．
【解答】解：设抛物线为y
2
＝2px，如图：|AB|＝4
|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，
，|AM|＝2，
x
A
＝
|OD|＝|OA|，
＝
＝，
+5，
解得：p＝4．
C的焦点到准线的距离为：4．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转
化思想的应用．
11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A，α∥平面CB
1
D
1
，
α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB
1
A
1
＝n，则m、n所成角的正弦值为（
A．B．C．D．
【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．
【解答】解：如图：α∥平面CB
1
D
1
，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA
1
B
1
＝n，
可知：n∥CD
1
，m∥B
1
D
1
，∵△CB
1
D
1
是正三角形．m、n所成角就是∠CD
1
B
1
＝60°．
则m、n所成角的正弦值为：
故选：A．
第11页（共28页）
）
．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
为f（x）的零点，x＝
则ω的最大值为（
A．11
）
B．9C．7D．5
为f（x）的零点，x＝
，
为
为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，
），x＝﹣
）上单调，
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x＝﹣
y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（
可得ω的最大值．
【解答】解：∵x＝﹣
∴，即
为f（x）的零点，x＝
，（n∈N）
）上单调，
为y＝f（x）图象的对称轴，
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（
即T＝≥
，）上单调，则﹣＝≤，
，解得：ω≤12，
+φ＝kπ，k∈Z，当ω＝11时，﹣
∵|φ|≤
∴φ＝﹣
，
，
，此时f（x）在（）不单调，不满足题意；
第12页（共28页）
当ω＝9时，﹣
∵|φ|≤
∴φ＝
，
，
+φ＝kπ，k∈Z，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设向量＝（m，1），＝（1，2），且|+|
2
＝||
2
+||
2
，则m
＝﹣2．
【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．
【解答】解：|+|
2
＝||
2
+||
2
，
可得•＝0．
向量＝（m，1），＝（1，2），
可得m+2＝0，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+
案）
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出
展开式中x
3
的系数．
【解答】解：（2x+）
5
的展开式中，通项公式为：T
r+1
＝＝2
5
﹣
）
5
的展开式中，x
3
的系数是10．（用数字填写答
r
，
令5﹣＝3，解得r＝4
∴x
3
的系数2＝10．
第13页（共28页）
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