2024年3月21日发(作者：江苏无锡中考数学试卷结构)
概率论与数理统计练习与测试
第五章（南工大应用数学系 编）（苏大版）
大数定律与中
心极限定理
1. 设随机变量
的方差为2.5。利用契贝雪夫不等式估计：
|
E
|7.5
的值。
P
D
P{|
E
|
}
2
，又已知
D
2.5,
7.5
，故 解：由契贝雪夫不等式：
2.5
P{|
E
|7.5}0.044
2
7.5
。
2. 已知某随机变量
的方差D
=1，但数学期望E
=m未知，为估计m，对
进行n次
独立观测，得样本观察值
1
，
2
，…，
n
。现用
1
n
|
m|0.5
p
i
估计
m，
问当n多大时才可能
P
使
n
i1
。
1
n
E
E
i
m,
n
i1
解：因又
1
，
2
，…，
n
相互独立，故
n
11
n
1
D
D(
i
)
2
(
D
i
)
n
，根据契贝雪夫不等式，有
i1
n
n
i1
P{|
E
|0.5}1
1
D
0.5
，即
2
P{|
m|0.5}1
4
n
，
44
p,得n
n1p
。 再由
3. 设在由n个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为
1
。
2
设m表示在这n次试验中遇到的开电次数，欲使开
m
电频率
n
与开电概率p=0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保
证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n应该是多少？
解：欲使
亦即，则t~N(0，1)且有
P{|
m
m
p|0.01}0.99
P{|p|/pq/n0.01/pq/n}0.99
n
n
，即，
0.01n
pq
0.01n
P
t
0.99,
pq
以p=q=1/2代入可得 n=16641。
(2.58)0.995
由
2.58
，
P43T3 4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，
问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？
解：用n步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n次射击的独立试
验，令
表示n次射击击中目标的次数，则
服从参数为n，p=0.005的贝努
利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
0.005n2np
20.005n
np
P{
2}P
P
np(1p)np(1p)0.004975n0.004975n
20.005n
1
0.99
0.004975n
，查表得n≈1791。
5. 随机变量
表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出的次数。试分别
用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n：
1
P
pD
99%
2
n
n
，由于
~B(n，p)，故E
=np，E
=p，
D
D
/n
。 解：记
(1)根据契贝雪夫不等式，有
D
114
P
pD
P{|
E
|D
}11
2
2
n22
n
(D
/2)
，
4
1
2
99%
n
为使 ，解得
n20
；
(2)以
i
表示每次试验时A出现的次数，则
i
服从参数为p的二点分布，且E
i
=p，
D
i
=p(1-p)1/4，而
2
n
是n个独立同分布的随机变量之和，
E
~N(0,1)
故由中心极限定理知
D
，因此有
i1
n
n
i
D
n
P
E
D
/2
2
1
2
1
P
pD
2
D
2
2D
D
n
，
n
2
10.99,查表得n5.16,即n6
2
为使 。
P44 T5
6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液
病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的
人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一
断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接
受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治
愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：(1)以
表示100人中治愈人数，则
~b(100,0.8)
所求概率为
1000.8
751000.8
P
75
P
1000.80.21000.80.2
1
1.25
0.8944
；
(2)依题
~b(100,0.7)
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