初中数学竞赛辅导资料(3)_4

2024年4月18日发(作者：永康高中高一数学试卷)

初中数学竞赛辅导资料(3)

三角形的边角性质

内容提要

三角形边角性质主要的有：

1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三

边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段

的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和．用式子

表示如下：

a，b，c是△ABC的边长

推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和

2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等

于和它不相邻的两个内角和．

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180， 五边形内角和=3×180

六边形内角和=4×180 n边形内角和=(n－2) 180

3. 边与角的关系

1 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；

大边对大角，大角对大边．

2 在直角三角形中，

△ABC中∠C=Rt∠(勾股定理及逆定理)

△ABC中a：b：c=1：：2

△ABC中 a：b：c=1：1：

例题

例1.要使三条线段3a－1，4a+1，12－a能组成一个三角形求a的取值范

围．

　(1988年泉州市初二数学双基赛题)

解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组

解得 ∴1.5

答当1.5

例2.如图

A B C D

AB=x，AC=y， AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和

D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？

1 x<，　　②y

解由已知AB=x， BC=y－x， CD=z－x要使AB，BC，CD组成三角

形，必须满足下列不等式组：

即∴

答y

例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5，　b≤a≤c，符合条件的三角形

共有几个？试写出它们的边长．

解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c

∴符合条件的三角形共有15个，(按b，a，c排列)

它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，

458；

555，556，557，558，559．

例4. 　　　　 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和

解：四边形EFMN 的内角和=360度

∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D

∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度

　　　　　　　∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度

例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围

(1989年泉州市初二数学双基赛题)

解：根据题意，得

得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B)

∴(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B)　　∴　40≤∠B≤75

例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2

　求各内角的度数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：作∠BCD的平分线交AD于E，　　　　　　

△BCE≌△DCE（SAS）　∴∠D＝

∠CBE　　　　　　　　　　　　　　　

△BCE≌△BAE（SSS）　∴∠CBE＝∠ABE＝∠D　　　

设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360

∴X＝40（度）　答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40　

练习3

1. △ABC中，a=5，b=7，则第三边c和第三边上的高h

c

的取值范围

是＿＿

2. a，b，c是△ABC的三边长，化简得＿＿

3. 已知△ABC的两边长a和b（a

值范

是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，

按边长的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿

（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛

题）

5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的

1 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿

6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿

＿

7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿

＿

8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角

（1986年泉州市初二数学双基赛题）

9.△ABC中，a>b>c，那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿

（　　　　　　　　　　1987年泉州市初二数学　双基赛

题）　

10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120，则∠A＝＿

＿

11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40，点D，E，F分别在BC，AC，AB

上，CE＝BD，BF＝DC，则∠EDF＝＿＿（1986年泉州市初二数学双

基赛题）

12.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度

（1986年泉州市初二数学双基赛题）

13.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度

14.如图△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，则∠A＝＿＿

15.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿度（1988年泉州市初二数学双基

赛题）

（这里∠AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角）

16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，则∠BAC＝＿＿＿度

（1988年泉州市初二数学双基赛题）

17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60∠B的平分线交AC于D，点D到边

BC的距离为2cm，则边AC的长是＿＿cm

(1988年泉州市初二数学双基赛题)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　C　　　　　B　　　　　　　

A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　E　　　　B　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　

　D　　　　　　　

A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

18.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中点，则的值是（　　）

（A） 大于（B）大于（C）大于（D）大于

19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的

差比次大边与最小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边

长是：＿＿＿．（1989年泉州市初二数学双基赛题）

20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△AEF为等边三角

形，求∠C的度数．