2024年3月18日发(作者：数学试卷个位数)
试题
试题
（1）已知：如图RT△
RT
△ABC中，∠ACB=90
中，∠
ACB=90°，
ACB=90
°，ED
°，
ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA=DB=DC
，求证：
DA=DB=DC．
DA=DB=DC
．
（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG
是△
FHG的边HG上的一个动点，PM
上的一个动点，
PM⊥
PM
⊥FH
于M，PN⊥
PN
⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN
运动到某处时，
MN与FP正好互相垂直，请问此
时FP平分∠HFG
平分∠
HFG吗？请说明理由．
吗？请说明理由．
分析：：
（1）首先根据线段的垂直平分线的性质可以得到AD=CD，再利用等腰三角形的性
AD=CD
，再利用等腰三角形的性
质得到∠A=
质得到∠
A=∠
A=
∠ACD，
ACD
，而∠A+
而∠
A+∠
A+
∠B=∠
B=
∠ACD+∠
ACD+
∠BCD=90°，
BCD=90
°，由此即可得到∠B=
由此即可得到∠
B=∠
B=
∠BCD，
BCD
，再利用等腰三
角形的性质即可证明题目结论；
角形的性质即可证明题目结论；
（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，作线段FN的垂直平分线也必与FP交于
点O，根据（1
，根据（
1）的结论可以得到OM=OP=OF=ON，然后由此可以证明
OM=OP=OF=ON
，然后由此可以证明Rt△
Rt
△OKM≌
OKM
≌Rt△
Rt
△OKN，然
OKN
，然
后利用线段性质得到MK=NK，由此可以证明△
MK=NK
，由此可以证明△FKM
，由此可以证明△
FKM≌△
FKM
≌△FKN
≌△
FKN，然后即可证明题目结论．
FKN
，然后即可证明题目结论．
，然后即可证明题目结论．
解答：
解：（1
解：（
1）∵ED
）∵
ED垂直平分AC，∴
AC
，∴AD=CD
，∴
AD=CD，
AD=CD
，
∴∠A=
∴∠
A=∠
A=
∠ACD，∵∠
ACD
，∵∠ACB=90
，∵∠
ACB=90°，∴∠
ACB=90
°，∴∠A+
°，∴∠
A+∠
A+
∠B=∠
B=
∠ACD+∠
ACD+
∠BCD=90°，
BCD=90
°，
°，
∴∠B=
∴∠
B=∠
B=
∠BCD，∴
BCD
，∴BD=CD
，∴
BD=CD，∴
BD=CD
，∴DA=DB=DC
，∴
DA=DB=DC；
DA=DB=DC
；
（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
∵PM⊥
PM
⊥FH，
FH
，PN⊥
PN
⊥FG，∴△
FG
，∴△MPF
，∴△
MPF和△NPF
和△
NPF都是直角三角形；
都是直角三角形；
作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
由（1
由（
1）中所证可知OF=OP=OM；
OF=OP=OM
；
作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O；
∴OM=OP=OF=ON，
OM=OP=OF=ON
，
又∵MN
又∵
MN⊥
MN
⊥FP，∴∠
FP
，∴∠OKM=
，∴∠
OKM=∠
OKM=
∠OKN=90°，
OKN=90
°，
°，
∵OK=OK；∴
OK=OK
；∴Rt
；∴
Rt△
Rt
△OKM≌
OKM
≌Rt△
Rt
△OKN；
OKN
；
∴MK=NK；∴△
MK=NK
；∴△FKM
；∴△
FKM≌△
FKM
≌△FKN
≌△
FKN；
FKN
；
∴∠MFK=
∴∠
MFK=∠
MFK=
∠NFK，
NFK
，
即FP平分∠HFG
平分∠
HFG．
HFG
．
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