2024年4月17日发(作者：霞浦高考数学试卷答案)
2023-2024学年山东省德州市高三三模数学模拟试题
一、单选题
1
．已知集合
A
xx
2
40
，
B
xxa1
，若
B
A
，则
a
的取值范围是（
A
．
1,1
B
．
1,1
C
．
1,1
D
．
1,1
【正确答案】B
【分析】先化简集合
A,B
，根据
B
A
，即可得到
a
的取值范围.
【详解】
A
xx
2
40
x2x2
，
B
xxa1
xa1xa1
，
因为
B
A
，
所以
a
1
2
a
1
2
，解得
1a1
.
故选：B.
2
．若复数
z
满足
z
z
0
z
z
i
3
0
，其中
i
为虚数单位，则
z
在复平面内对应的点在（
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【正确答案】C
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】设
zabi
，
zabi,a,bR
，
zzabi+abi=2a0,
zz
i
3
abi-abi
i
3
=2bi
4
2b0,
所以
zabi,a0,b0,
所以
z
在复平面内所对应的点
a,b
在第三象限
.
故选：C.
3
．已知
p:x1
，
q
：向量
a
1,x
与
b
x2,x
共线，则
p
是
q
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
）
）
【分析】先由向量共线求得
x0
或
x=
1
，进而可判断充分性和必要性.
【详解】若向量
a
1,x
与
b
x2,x
共线，则
xx(x2)
，解得
x0
或
x=
1
，
所以
p:x1
是
q
的充分不必要条件.
故选：A.
4．函数
f
x
A．
x
ln
x
的图象大致是（
e
x
e
x
）
B．
C．
【正确答案】D
D．
【分析】根据函数
f
x
为奇函数，可排除A、B选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，
得到
x
时，
f
x
0
，可排除C选项，即可求解.
x
ln
x
，都可其定义域为
,0
U
0,
关于原点对称，
x
x
e
e
x
ln
xx
ln
x
又由
f
x
xx
x
x
f
x
，所以函数
f
x
为奇函数，
e
e
e
e
【详解】由函数
f
x
所以函数
f
x
的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当
x(0,1)
时，
f
x
0
；当
x1
时，
f
x
0
；当
x(1,)
时，
f
x
0
，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得
x
时，
f
x
0
，可排除C选项.
故选：D.
5．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中
国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方
法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
LLD
0
G
G
0
，其中
L
表示每一轮优化时使用的学习率，
L
0
表示初始学习率，
D
表示衰减系数，
G
表示训练迭代轮数，
G
0
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训
练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮
数至少为（参考数据：
lg20.3010
）（
A．16B．17
）
C．18D．19
【正确答案】C
G
G
5
12
5
12
【分析】由题意求得
L
0.8
()
，令
0.8
()
0.4
，结合对数的运算公式，求得
G17.7
，即
8
8
可得到答案.
【详解】由题意知，初始学习率
L
0
0.8
，衰减速度
G
0
12
，所以
L
0.8
D
12
，
12
5
因为当训练迭代轮数为
12
时，学习率衰减为
0.5
，可得
0.50.8D
12
，解得
D
，
8
G
5
12
所以
L
0.8
()
，
8
G
G
G
G
51
5
12
1
5
12
令
0.8
()
0.4
，可得
()
，则
lg
lg
，
1282
82
8
1
12
0.3010
2
12lg2
17.7
，可得
G
5
lg5
3lg2(1
0.3010)
3
0.3010
lg
8
12lg
所以至少所需的训练迭代轮数至少为
18
.
故选：C.
6．若
2x3
a
0
a
1
x1
a
2
x1
a
11
x1
a
12
x1
，则（
1221112
）
A．
a
0
1
C．
a
1
a
2
a
12
2
【正确答案】D
12
B．
a
0
a
1
a
2
a
3
a
10
a
11
a
12
3
D．
a
1
a
2
a
11
a
12
2
11
12
1
2222
【分析】将
2x3
化为
[12(x1)]
12
，利用二项式通项公式可求得
a
0
，判断A；根据二项式的
系数和式的特征，利用赋值法可分别判断B，C，D.
0
(1)
12
1
，A错误；
【详解】由题意可知
2x3
[12(x1)]
12
，故
a
0
C
12
12
12
由
2x3
a
0
a
1
x1
a
2
x1
a
11
x1
a
12
x1
，
12
令
x0
，可得
a
0
a
1
a
2
a
3
a
10
a
11
a
12
3
，B错误；
1221112
12
令
x2
，则
a
0
a
1
a
2
a
12
(43)1
，
故
a
1
a
2
a
12
1a
0
110
，C错误；
3
aaa
11
a
12
3
令
x
，则
2
3
a
0
1
2
0
，
2
222
2
2
11
2
12
12
故
a
1
a
2
aa
12
2
11
0
a
0
1
，D正确，
1112
2222
故选：D
7．在四棱锥
P
ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，
PA
平面
ABCD,PA1,AB2,AD3
，点
E
为
BC
上靠近
B
的三等分点，则三棱锥
PADE
外接球的表面积为（）
A．
11π
【正确答案】A
B．
12π
C．
14π
D．
16
【分析】利用正弦定理可得三角形
AED
的外接圆半径为
r
，根据勾股定理即可求解外接球半径，
进而可求表面积.
【详解】由题意可得
BE=1,EC=2,AE=AB
2
+BE
2
=5,DE=DC
2
+CE
2
=22,
所以在三角形
AED
中，由等面积法可得
1
AD
�
AB
2
1
AD
状
AB
323
AE
仔
ED
sin
AED
扌
sin
AED
===
,
2
AE
×
ED
5
´
2210
设三角形
AED
的外接圆半径为
r
，圆心为
O
,则由正弦定理得
2
r
=
AD
310
==
10
Þ
r
=
3
sin
Ð
AED
2
，
10
由于
PA
平面
AED
,设三棱锥
PADE
外接球的半径为
R
,球心到平面
AED
的距离为
h
，
2
111
A=r
，
PO
2
=R
2
=OH
2
+
(
1-h
)
=h
2
+r
2
,
过
O
作
OHPA
,则
OH=O
¢
因此
h=,R=
,
22
故外接球的表面积为
4πR
2
11π
,
故选：A
8．已知函数
f
x
及其导函数
f
x
的定义域均为
R
，且
f
x1
为奇函数，
f
2x
f
x
2
，
f
1
2
，则
f
2i
1
（
i
1
2024
）
C．1013D．1012A．2025
【正确答案】B
B．2024
【分析】根据题意和函数的对称性可得
f
(x)f
(x4)2
，进而
f
(x)f
(x8)
，则函数
f
(x)
是
以8为周期的周期函数，分别求出
f
(1),f
(3),f
(5),f
(7)
的值，结合函数的周期即可求解.
【详解】由
f
(2x)f
(x)2
，令
x1
，得
2f
(1)2
，所以
f
(1)1
.
由
f(x1)
为奇函数，得
f(x1)f(x1)
，
所以
f
(x1)f
(x1)
，故
f
(x)f
(x2)
①，
又
f
(2x)f
(x)2
②，由①和②得
f
(2x)f
(x2)2
，
即
f
(4x2)f
(x2)2
，所以
f
(x)f
(x4)2
③，
令
x=1
，得
f
(1)f
(3)2
，得
f
(3)0
；
令
x1
，得
f
(1)f
(5)2
，得
f
(5)1
.又
f
(x4)f
(x8)2
④，
由③-④得
f
(x)f
(x8)0
，即
f
(x)f
(x8)
，
所以函数
f
(x)
是以
8
为周期的周期函数，故
f
(7)f
(1)2
，
所以
f
(1)f
(3)f
(5)f
(7)10124
，
所以
f
(2
i
1)
f
(1)
f
(3)
f
(5)
f
(7)
f
(4047)
i
1
2024
506
f
(1)f
(3)f
(5)f
(7)
50642024
.
故选：B.
二、多选题
μg/m
3
）下图是某地
4
月
1
日到
10
日的
PM2.5
日均值（单位：
9
．
PM2.5
是衡量空气质量的重要指标．
的折线图，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（）
A．众数为33
C．中位数小于平均数
【正确答案】AC
B．第70百分位数是33
D．前4天的方差小于后4天的方差
【分析】根据折线图以及百分位数求法、众数的概念、中位数、平均数、方差公式计算可得答案.
【详解】根据折线图可知，日均值个数最多的是
33
，有两个，故众数为
33
，故A正确；
将日均值按从小到大的顺序排列为：
17,23,26,30,31,33,33,36,42,128
，
33
36
34.5
，故B不正确；
2
31
33
17
23
26
30
31
33
33
36
42
128
32
，平均数为
39.9
，故C正确；
中位数为
2
10
36
26
17
23
25.5
，方差为前
4
天的平均数为
4
因为
i1070%7
为整数，则第70百分位数是
(36
25.5)
2
(26
25.5)
2
(17
25.5)
2
(23
25.5)
2
47.25
，
4
后4天的平均数为
42
31
30
33
34
，方差为
4
(42
34)
2
(31
34)
2
(30
34)
2
(33
34)
2
22.5
，前4天的方差大于后4天的方差，故D不正
4
确.
故选：AC
10．已知抛物线
C:y
2
8x
的焦点为
F
，准线为
l
，直线
l
与
x
轴交于点
P
，过点
F
的直线与抛物
线
C
交于
A
x
1
,y
1
,B
x
2
,y
2
两点，
O
为坐标原点，则（
A．若
x
1
x
2
8
，则
AB12
C．
）
B．
OAOB27
D．
PAB
面积的最小值为16
111
AFBF2
【正确答案】ACD
【分析】确定焦点和准线，设直线
AB
为
xmy2
，联立得到根与系数的关系，计算得到
AB12
，
111
，C正确，
S
A正确，
OAOB12
，B错误，
264
m
2
64
，D正确，得到
△
PAB
AFBF2
答案.
【详解】抛物线
C:y
2
8x
的焦点为
F
2,0
，准线
l:x2
，
P
2,0
，
y
2
8
x
设直线
AB
为
xmy2
，则
，即
y
2
8my160
，
x
my
2
y
1
y
2
8
m
222
，
y
1
y
2
64x
1
x
2
16
，故
x
1
x
2
4
，
64m640
，故
y
1
y
2
16
2
对选项A：
ABx
1
2x
2
2x
1
x
2
412
，正确；
对选项B：
OAOBx
1
x
2
y
1
y
2
41612
，错误；
对选项C：
x
1
x
2
4
x
1
x
2
4
11111
，正确；
AFBFx
1
2
x
2
2
x
1
x
2
2
x
1
x
2
42
x
1
x
2
82
1
PFy
2
y
1
2
2
对选项D：
S
△
PAB
y
1
y
2
2
4
y
1
y
2
264
m
2
64
16
，
当
m0
时等号成立，正确；
故选：ACD.
π
11．函数
f
x
2sin
x
0,
的部分图象如图中实线所示，
C
为函数
f
x
与
x
轴的
2
交点，圆
C
与
f
x
的图象交于
M,N
两点，且
M
在
y
轴上，则（）
A．
2
C．函数
f
x
的图象关于点
【正确答案】AC
B．圆的半径为
4π
,0
成中心对称
3
27
3
2021π2023π
,
D．函数
f
x
在
上单调递增
12
12
【分析】根据图象，求出
f
x
的解析式，可判断ABC选项，对D选项，求出
2
x
断.
π
范围即可判
3
【详解】根据函数
f(x)2sin(
x
)
的图象以及圆
C
的对称性,
可得
M,N
两点关于圆心
C(c,0)
对称,
所以
c
T
ππππ
π
,于是
c
2
,故A正确；
3
262
2
ππ
π
由
2
及
A
,0
,得
0
k
π,
k
Z
k
π,
k
Z
,
33
6
π
π
由于
|
|
,所以
,
2
3
2
π
π27
所以
f
(
x
)
2sin
2
x
,
f
(0)
3
,从而
M(0,3)
,故半径为
CM
3
,故B错误；
3
3
3
将
4π
8ππ
4π
4π
,0
代入得
f
()
2sin
＝
0
，所以
,0
是中心对称，故C正确；
3
3
3
33
π
2023π2025π
π
7π9π
2021π2023π
2
x
,
,2
x
336π
,336π
当
x
时，，即，此时
f
x
6
36
1212366
为减函数，故D错误.
故选：AC
12．在棱长为
1
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，已知点
P
在面对角线
AC
上运动，点
E
、
F
、
G
分
别为
A
1
D
1
、
A
1
B
1
、
BB
1
的中点，点
M
是该正方体表面及其内部的一动点，且
BM//
平面
AD
1
C
，则
（）
A．
D
1
P//
平面
A
1
BC
1
B．平面
PDB
1
^
平面
A
1
BC
1
C．过
E
、
F
、
G
三点的平面截正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
所得的截面面积为
3
,1
D．动点
M
到点
B
1
的距离的取值范围是
3
33
2
【正确答案】ABD
【分析】证明出平面
ACD
1
//
平面
A
1
BC
1
，利用面面平行的性质可判断A选项；证明出
B
1
D
平面
A
1
BC
1
，利用面面垂直的判定定理可判断B选项；由正方体的特征可得截面为正六边形，即可求
面积，可判断C选项；分析可知点
M
的轨迹为
VA
1
BC
1
内部及其边界，求出动点
M
到点
B
1
的距离
的最大值和最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为
AA
1
//CC
1
且
AA
1
CC
1
，所以，四边形
AAC
11
C
为平行四边形，
所以，
AC//A
1
C
1
，
因为
AC
平面
A
1
BC
1
，
AC
1
BC
1
，所以，
AC//
平面
A
1
BC
1
，
11
平面
A
同理可证
AD
1
//
平面
A
1
BC
1
，
因为
ACIAD
1
A
，
AC
、
AD
1
平面
ACD
1
，所以平面
ACD
1
//
平面
A
1
BC
1
，
因为
D
1
P
平面
ACD
1
，所以，
D
1
P//
平面
A
1
BC
1
，A对；
对于B选项，因为四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
为正方形，则
B
1
D
1
A
1
C
1
，
因为
DD
1
平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，
AC
11
平面
A
11
DD
1
，
1
B
1
C
1
D
1
，则
AC
因为
B
1
D
1
DD
1
D
1
，
B
1
D
1
、
DD
1
平面
B
1
DD
1
，所以，
A
1
C
1
平面
B
1
DD
1
，
因为
B
1
D
平面
B
1
DD
1
，所以，
B
1
D^A
1
C
1
，同理可证
B
1
DA
1
B
，
因为
A
1
C
1
A
1
BA
1
，
AC
1
BC
1
，所以，
B
1
D
平面
A
1
BC
1
，
11
、
A
1
B
平面
A
因为
B
1
D
平面
PDB
1
，所以，平面
PDB
1
^
平面
A
1
BC
1
，B对；
对于C选项，可知过
E
、
F
、
G
三点平面截正方体所得的截面为正六边形
EFGKHL
，
12
其中
K
、
H
、
L
分别为
BC
、
CD
、
DD
1
的中点，且正六边形的边长为
B
1
D
1
，
22
3
2
33
所以截面正六边形的面积为
6
，C错；
4
2
4
2
对于D选项，因为平面
ACD
1
//
平面
A
1
BC
1
，
所以，点
M
的轨迹为
VA
1
BC
1
内部及其边界，
因为
BB
1
平面
A
1
B
1
C
1
，
S
△
A
1
B
1
C
1
11
2
1
A
1
，
1
B
1
A
1
C
1
222
1111
V
B
A
1
B
1
C
1
S
△
A
1
B
1
C
1
BB
1
1
，
3326
2
，则
VA
1
BC
1
是边长为
2
的等边三角形，则
S
△
A
1
BC
1
易知
A
1
BBC
1
AC
11
33
，
A
1
B
2
42
11313
设点
B
1
到平面
A
1
BC
1
的距离为
d
，则
V
B
1
A
1
BC
1
S
A
1
BC
1
d
，
d
，解得
d
33263
3
所以，当
B
1
M
平面
A
1
BC
1
时，
B
1
M
取最小值
，
3
由图可知，当点
M
与点
A
1
或
B
或
C
1
重合时，
MB
1
取最大值
1
，
3
,1
，D对.
B
因此，动点
M
到点
1
的距离的取值范围是
3
故选：ABD.
方法点睛：求点
A
到平面
BCD
的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体
ABCD
的体积，然后计算出
△BCD
的面积，利用锥体的体积公
式可计算出点
A
到平面
BCD
的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面
BCD
的一个法向量
n
的坐标，进而可得出点
A
到平面
BCD
的距
AB
n
离为
d
.
n
三、填空题
13．若
,
为锐角，且
【正确答案】2
【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.
【详解】因为
tan(
)
π
，则
1tan
1tan
_________．
4
tan
tan
，
1
tan
tan
所以
(1tan
)(1tan
)1tan
tan
tan
tan
1tan(
)(1tan
tan
)tan
tan
π
1
tan(1
tan
tan
)
tan
tan
2
，
4
故2
14．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布
N
100,10
，从中抽取一
2
个同学的数学成绩
X
，记该同学的成绩
80X100
为事件
A
，记该同学的成绩
70X90
为事
件
B
，则在
A
事件发生的条件下
B
事件发生的概率
P
BA
_________．（结果用分数表示）
附参考数据：
P(
X
)0.68
，
P(
2
X
2
)0.95
；
P(
3
X
3
)0.99
【正确答案】
27
95
【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.
【详解】由题知，
事件
AB
为“记该同学的成绩
80X90
”，
因为
2
1002080
，
1001090
，
所以
P
AB
P
2
X
又
P
A
P
2
X
所以
P
BA
27
95
P
AB
P
A
0.950.6827
，
22200
0.9519
，
240
274027
.
2001995
故
15．已知数列
a
n
，
a
i
1,0,1
,
i
1,2,3,4,5,6
.满足条件“
1a
1
a
2
a
6
3
”的数列的个数为
_________．
【正确答案】
266
【分析】
Sa
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
，由题意可得
S1,2,3
，结合条件和组合数公式分别考虑计算
可得所求数列个数.
【详解】设
Sa
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
，
由题知，
1S3
，可得
S1,2,3
，
1.当
S1
时，可得
a
1
,a
2
,,a
6
中有：三个
1
，两个
1
，一个
0
；或两个
1
，一个
1
，三个
0
；或一
个
1
，其余是
0
；
32211
这样的数列个数为
C
6
C
3
C
6
C
4
C
6
126
；
2.当
S2
时，可得
a
1
,a
2
,,a
6
中有：四个
1
，两个
1
；或三个
1
，一个
1
，两个
0
；或两个
1
，四
个
0
；
4312
这样的数列个数为
C
6
C
6
C
3
C
6
90
；
3.当
S3
时，可得
a
1
,a
2
,,a
6
中有：四个
1
，一个
1
，一个
0
；或三个
1
，三个
0
；
413
这样的数列个数为
C
6
C
2
C
6
50
；
则满足条件的数列的个数共有
1269050266
.
故答案为.
266
四、双空题
3
x
2
16．若直线
ykxm
k0
与圆
E
:
xy
相切于点
P
，且交椭圆
M
:
y
2
1
于
A,B
两点，
4
4
22
O
为坐标原点，射线
OP
与椭圆
M
交于点
Q
，设
OAB
的面积与
QAB
的面积分别为
S
1
,S
2
,S
1
的最
大值为______；当
S
1
取得最大值时，
【正确答案】1
S
1
S
2
的值为______.
S
1
442
21
【分析】联立直线和椭圆的方程，韦达定理，计算出弦长|AB|和
S
1
，利用基本不等式即可求出最
大值；先求出Q坐标，然后计算
OQ
，
PQ
，最后计算
PQ
S
1
S
2
1
即可.
S
1
OP
22
【详解】由直线
ykxm
k0
与圆
E
:
xy
m
3
3
相切得：
，所以
4m
2
3k
2
3
.
2
2
4
1
k
设
A
x
1
,y
1
,B
x
2
,y
2
，将直线
ykxm
k0
代入椭圆C的方程得：
14k
x
22
8kmx4m
2
40
，
64k
2
m
2
414k
2
4m
2
4416k
2
4m
2
4
，
2
8
km
4
m
2
4
2
413k10
因为
4m3k3
，所以
且
x
1
x
2
.
,
x
1
x
2
1
4
k
2
1
4
k
2
2
所以
x
1
x
2
2
x
1
x
2
2
64
k
2
16
16
m
2
213
k
2
1
，
4
x
1
x
2
1
4
k
2
1
4
k
2
2
213
k
2
1
则
AB
1
kx
1
x
2
1
k
，
2
1
4
k
设点O到直线
l
的距离为
d
m
1
k
2
，
11
故
OAB
的面积为：
S
1
ABd
mx
1
x
2
22
2
当
3k
2
313k
2
1
即
k
3
k
2
313
k
2
1
2
24
k
1
3
k
2
3
13
k
2
1
44
k
1
2
1
，
1
时，等号成立，故
S
1
的最大值为1.
5
3
22
设
Q
x
3
,y
3
，由直线
ykxm
k0
与圆
E
:
xy
相切于点
P
，可得
OQAB
，
4
1
y
x
k
4
k
2
4
22
则
2
，可得
x
3
，
,
y
3
22
x
4
k
4
k
2
y
1
4
所以
OQ
因为
OP
x
3
y
3
22
4
k
2
4
k
2
1214
，
2
4
k
2
4
k
2
4
k
2
7
32143
，所以
PQOQOP
，
272
2143
1
PQAB
PQ
S
SS
2
442
.
1
1
7
所以
12
1
2
1
2
1
S
1
S
1
OP
21
3
OPAB
2
2
故1；
442
.
21
方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个
函数的最值．常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
五、解答题
17．已知
S
n
为数列
a
n
的前
n
项和，
a
1
2,
S
n
a
n
1
3
n
2
．
(1)求数列
a
n
的通项公式
a
n
；
2
n
1
(2)设
b
n
，记
b
n
的前
n
项和为
T
n
，证明：
T
n
．
a
n
a
n
1
5
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