高三适应性考试(理)数学质量检测模拟试题(含答案)

2024年4月17日发(作者：沭阳考编教师数学试卷及答案)

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试（理）数学

模拟试题

一、单选题

1．若复数

z

满足

z(2i)3i

，则

z

（

A．

1i

【正确答案】A

【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z，再根据共轭复数的概念即可求解.

【详解】因为

z(2i)3i

，所以

z



故选：A

2

2

．若集合

Axx5x60

，

B



xx7



，则



ð

R

A



B

（

）

C．

1i

D．

1i

B．

1i

3



i(3



i)(2



i)



1



i

，所以

z1i

.

2



i4



1



）

D

．



6,



A

．



1,7



【正确答案】C

B

．



1,6



C

．



7,



【分析】首先解一元二次不等式求出集合

A

，再根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】由

x

2

5x60

，即



x6



x1



0

，解得

1x6

，

2

所以

Axx5x60



x1x6



，



ð

R

A



,1







6,



，又

B



xx7



，





ð

R

A



B



7,



．

故选：C．

3．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号

召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级

在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的

是（）

A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5

B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分

C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高

D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大

【正确答案】C

【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.

【详解】对于A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，

所以极差为

9.58.51

，A错误；

对于B，两班的德育分相等，B错误；

对于C，高三（1）班的平均数为

（2）班的平均数为

9.5



9.25



9.5



9



9.5



9.35

，

5

9.5



8.5



9



9.5



9



9.1

，故C正确；

5

对于D，两班的体育分相差

9.590.5

，

而两班的劳育得分相差

9.258.50.75

，D错误，

故选：C．

4．某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为（）

A．

41

【正确答案】A

B．

42

C．

5

D．

4

【分析】根据三视图还原四面体，该四面体的四个面都是直角三角形，确定最长的棱，利用勾股

定理可以计算其长度.

【详解】：四面体如图所示，其中

SB

平面

ABC

，且

ABC

中，

ACB90

.

由

SB

平面

ABC

，

AB



平面

ABC

得到

SBAB

，同理

SBBC

，

所以棱长最大为

SA

，则

SASB

2

AB

2

SB

2

AC

2

BC

2

41

.

故选：A

π



1

π







5．设

tan











，则

tan









等于（

4



4



4



）

C．-4D．4A．-2

【正确答案】C

B．2

【分析】先用两角差的正切公式可求出

tan



的值，再用两角和的正切公式即可求解

π



tan





11

5





，所以

tan





，【详解】因为

tan











4



1



tan



4



3

π



tan





1





4

，故

tan











4



1



tan





故选：C．

6．函数

f

(

x

)



2sin

x



3

x

[,]

的图像大致为（

2

在

cos

x



x

）

A．B．

C．D．

【正确答案】C

先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A，再求出

f(π)

判断正负，可排除BD.

【详解】



f

(



x

)





f

(



)



2sin





x





3





x



cos





x









x



2



2sin

x



3

x



f



x



，

f

(

x

)

是奇函数，故A错误；

cos

x



x

2

2sin





3



3





0

，故BD错误.

cos







2



2



1

故选：C.

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.



7．从集合

{1,2,4}

中随机抽取一个数a，从集合

{2,4,5}

中随机抽取一个数b，则向量

m(a,b)

与向



量

n(2,1)

垂直的概率为（）

C．

1

3

A．

1

9

B．

2

9

D．

2

3

【正确答案】B





求出组成向量

m(a,b)

的个数和与向量

n(2,1)

垂直的向量个数，计算所求的概率值．

【详解】解：从集合

{1,2,4}

中随机抽取一个数

a

，从集合

{2,4,5}

中随机抽取一个数

b

，



可以组成向量

m(a,b)

的个数是

339

（个

)

；







其中与向量

n(2,1)

垂直的向量是

m(1,2)

和

m(2,4)

，共2个；

故所求的概率为

P

．

故选：B．

8．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保

意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为

1.2mg/cm

3

，排放前每过滤一次，该污染

物的含量都会减少

20%

，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过

0.2mg/cm

3

，若要使

该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为

(

参考数据：

lg20.3

，

lg30.477)

（）

B．

9

C．

10

D．

11

2

9

A．

8

【正确答案】A

【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为

y

1.2(1



0.2)

n

，在根据题意列出不等式解

出即可．

【详解】过滤第一次污染物的含量减少

20%

，则为

1.2(10.2)

；

过滤第两次污染物的含量减少

20%

，则为

1.2(10.2)

2

；

过滤第三次污染物的含量减少

20%

，则为

1.2(10.2)

3

；

过滤第n次污染物的含量减少

20%

，则为

1.2(10.2)

n

；

5

n

要求废气中该污染物的含量不能超过

0.2mg/cm

3

，则

1.2(10.2)

n

0.2

，即

()



6

，

4

5

n

两边取以10为底的对数可得

lg()



lg6

，

4

5



2

)



lg2



lg3

，

8

lg2



lg3

所以

n



，

1



3lg2

即

n

lg(

因为

lg20.3,lg30.477

，

所以

lg2



lg30.3



0.477



7.77

，

1



3lg21



3



0.3

所以

n7.77

，又

nN

*

，所以

n

min

8

，

故排放前需要过滤的次数至少为

8

次．

故选：A

．

9．如图，过抛物线y

2

＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|

＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）

A．y

2

＝9x

C．y

2

＝3x

【正确答案】C

B．y

2

＝6x

D．y

2

＝

3

x

【分析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行

线的性质、直角三角形求解．

【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝

2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|

＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝

2

|FC|＝

因此抛物线的方程为y

2

＝3x，

故选：C.

1

3

，

2

10．已知

alog

5

2

，

blog

0.7

0.1

，

c0.7

0.4

，则

a,b,c

的大小关系是（

A．

acb

C．

bca

【正确答案】A

B．

abc

D．

cab

）

【分析】由

log

5

1log

5

2log

5

5

，

log

0.7

0.1log

0.7

0.71

，

0.7

1

0.7

0.4

0.7

0

即可判断出大小．

【详解】

log

5

1log

5

2log

5

5

，即

0

a

1

，

2

log

0.7

0.1log

0.7

0.7

，即

b1

，

0.7

1

0.7

0.4

0.7

0

，即

0.7

c

1

，

所以

acb

，

故选：A．



3



π





π



fx



cos3

x





1,



x



,

m



11．当



，则m的取值范围是（



的值域是





6



时，函数

3



2









π7π



A．



,





918





π5π



C．



,





918





2π7π



B．



,





918





2π5π



D．



,





918



）

【正确答案】D

【分析】解法一：画出函数的图象，由

x

的范围求出

3

x

解法二：由

x

的范围求出

3

x

π

的范围，根据

f



x



的值域可得答案；

3

π

的范围，根据

ycosx

的图象性质和

f



x



的值域可得答案．

3

5πππ



π





3

x

3

m

，

【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由

x





,

m



，可知

633



6





2π



5π3



π





因为

f





cos

且

f





cos





1

，

62



9





6





3



2π5π

m

要使

f



x



的值域是





1,



，



，只要

2

918





2π5π



即

m





,



；



918



5πππ



π





3

x

3

m

，

解法二：由题

x





,

m



，可知

633



6





3



ycosx

由的图象性质知，要使

f



x



的值域是





1,





，

2



则

π



3

m

故选：D.

π7π



2π5π





，解之得

m





,



．

36



918



12．如图，圆台

O

1

O

2

的上、下底面圆半径分别为1、2，高

O

1

O

2

22

，点S

、

A分别为其上、下

底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（）

A

．该圆台的体积为

142

π

3

π

3

B

．直线

SA

与直线

O

1

O

2

所成角最大值为

C．该圆台有内切球，且半径为

2

D

．直线

AO

1

与平面

SO

1

O

2

所成角正切值的最大值为

【正确答案】B

2

2

【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B，根据异面直线夹角的定义，作图，

利用三角函数的定义，可得答案；对于C，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，

可得答案；对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可

得答案.

【详解】对于

A

选项，

V

π142

π

，则

A

选项正确．



1



2



4





22



33

对于B选项，如图（1），过

S

作

SD

垂直于下底面于点

D

，则

O

1

O

2

//SD

，

所以直线

SA

与直线

O

1

O

2

所成角即为直线

SA

与直线

SD

所成角，即

ASD

为所求，

而

tan



ASD



ADAD



，由圆的性质得，

1AD3

，

SD

22

ADAD



232







,



，

SD

22



44



所以

tan



ASD



因为

32π



3,3



tan

，则

B

选项错误．

43

对于C选，设上底面半径为

R

1

，下底面半径为

R

2

，若圆台存在内切球，

则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，

高为

22

，易得等腰梯形的腰为

1

2

(22)

2

3

，假设等腰梯形有内切圆，

由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为

R

1

R

2

3

，所以圆台存在内切球，

且内切球的半径为

2

，则C选项正确；

对于D选项，如图（3），平面

SO

1

O

2

即平面

SO

1

O

2

C

，

过点

A

做

AHBC

交

BC

于点

H

，因为

SD

垂直于下底面，而

AH

含于下底面，

所以

SDAH

，又

SDBCD

，且

BC,SD

平面

SO

1

O

2

C

，

所以

AH

平面

SO

1

O

2

C

，所以直线

AO

1

与平面

SO

1

O

2

C

所成角即为

AO

1

H

，

且

tan



AO

1

H



AH

2

．设

AHx

，则

O

2

HR

2

AH

2

4x

2

，

O

1

H

2

所以

O

1

HO

1

O

2

O

2

H

2

84x

2

12x

2

，其中

AHx



0,2



，

所以

tan



AO

1

H



AHx



，

O

1

H

12



x

2

当

x0

时，

tan



AO

1

H0

，当

x



0,2



时，

x

2

1

tan



AO

1

H



．根据复合函数的单调性，

12

12



x

2



1

x

2

可知函数

y



1

，在



0,2



上单调递增，

12



1

x

2

2

，所以D选项正确．

2

所以当

x2

时，

tan



AO

1

H

有最大值，最大值为

故选：B.

本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求

解.对于D选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通

过求函数最值的方法求解.

二、填空题

13．某高中在校学生有2000人．为了响应“光体育运动”号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每

人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：

高一年级

跑步

登山

a

x

高二年级

b

y

高三年级

c

z

2

.为了了解学生对本次活动的满意程

5

其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的

度，从中抽取一个

200

人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取

________

．

【正确答案】

36

人

3

【详解】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生

5

中应抽取的人数为120×

3

＝36.

2＋3＋5

14

．二项式

(1x

2

)(1x)

4

展开式中

x

4

的系数为

______

．

【正确答案】

7

【分析】利用二项式定理直接求解

.

【详解】因为

(1x)

4

的二项展开式的通项公式为

T

r



1



C

r

4





x



，

r

224

所以二项式

(1x

2

)(1x)

4

展开式中

x

4

的项为

1C

4

4



x



xC

4



x



7x

，

42

故二项式

(1x

2

)(1x)

4

展开式中

x

4

的系数为

7.

故7.

15．已知

ABC

的内角A、

B

、

C

的对边分别是

a

、

b

、

c

，且

b3

，

ac2

，

A



的面积为______.

【正确答案】

2



.则

ABC

3

153

4

【分析】由余弦定理结合已知条件可求出

c5

，即可由面积公式求出面积.

【详解】由余弦定理得

a

2

b

2

c

2

2bccosA

，



b3

，

ac2

，

A



2



，

3

2



1







c



2





3

2



c

2



2



3

c









，解得

c5

，



2



则

ABC

的面积为

S

故答案为.

113153

.

bc

sin

A

3



5



2224

153

4

x

2

y

2

16．已知点

F



4,0



是双曲线

C

:

2



2



1(

a



0,

b



0)

的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂

ab



足为A，交另一条渐近线于点B．若

2AFFB

，则双曲线C的方程为______．

x

2

y

2

【正确答案】



1

124

【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.

x

2

y

2

【详解】双曲线

C

:

2



2



1

的渐近线方程为：

bxay0

，

ab

不妨令点A在直线

bxay0

上，

a

2

b

2

16

，

如图，因为

AFOA

，则

|

AF

|



4

b

a

2



b

2



4

b



b

，

4



而

2AFFB

，即有

|FB|2|AF|2b,|AB|3b

，

|OA||OF|

2

|AF|

2

4

2

b

2

a

，

sin

AOF

b

，

4



π

由

2AFFB

知，点

A,B

在y轴同侧，于是

AOB

2

AOF

(0,)

，

2

b

2

cos

AOB

1



2sin

AOF

1



0

，

b

2

8

，

8

2

在

Rt△AOB

中，

|OB||OA|

2

|AB|

2

a

2

9b

2

168b

2

，

b

由

OAOBcosAOB

得：

a

16



8

b

2



(1



)

，

8

整理得：

8(16b

2

)(b

2

2)(8b

2

)

2

，化简得

b

4

14b

2

400

，

2