数学中的奇异美与和谐美

2024年4月9日发(作者：镇中心校数学试卷期末)

数学中的奇异美与和谐美

肖乐农

（湖南新化县教师进修学校 417600）

奇异美与和谐美是数学美的两个侧面。

数学中的奇异现象是吸引许多人喜欢数学的原因之一。奇异有时与稀罕联系在一起，人

们也因此而特别愿意观察它，研究它，欣赏它。

请看这样的一个分数：

987654321

123456789

.

它的分子分母都是九位数，都是由1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字组成，且排列

有序，分母从小到大排列，分子则从大到小排列。如果把它化成小数，只要耐心一点，做除

法运算就可得到小数点后的40位：

8.3263…。

你看，小数点后一下子有7个0，间隔3位数后有5个0，再间隔5位数后有3个0，然

后又间隔7位数后有1个0。这很有规律，0出现的个数依次是7、5、3、1，中间的间隔的位

数分别是3、5、7位。

再看中间被0隔开的几个数：

729=9

3

×91

0

，

66339=9

3

×91

1

，

6036849=9

3

×91

2

。

这，不能不令人感到惊奇！

更令人惊奇的是，如果把分数的分子的末两位交换，就得到一个整数8。

即

987654312

123456789

987654321

123456789

8.

8

9

123456789

9

123456789

.

因此，

这也就是说：

然而，

9

123456789

9

＝0.3263…。

123456789

很有意思，把它变形又可以得到一个奇异的结果：

9

3



10

10

91



9

10

3

10



91







10

10



,



n0





n

于是有：

987654321

123456789

8

9

10

3

10



91







10

10



.



n0





n

奇异的东西引起你的兴趣，也引起你研究它的兴趣，又从研究之中看到奇异深处所隐藏

的和谐的东西，这样，你就会更喜欢它，就更可能产生美感。难道你不觉得上述的过程很美

吗？

数学中的美的典型例子莫过于π与e。

大家知道，π与e是两个超越数，π是圆周率，e是自然对数的底。它们的来源和背景各

不相同，π与圆相联系，来源于几何；e与某种数量增减相联系，来源于分析。

它们的小数表现形式是：

π＝3.979323846…

e＝2.704523536…

它们都是无理数，其小数部分是无序的，但它们都可以用有理数来表示：

π＝

4



1





1

3

1

2!



1

5

1



1

7



1

1

9





1

5!







，

11





1

6!



。

1

e＝

11

3!



4!

两个无序的无理数，却都可以用有理数有序地表示出来。更令人妙不可言的是，它们还

存在如下的一些奇妙关系：

π

4

+π

5

=e

6

， e

iπ

+1=0。

尤其是后一个式子，可以视为是数学美的一个象征：１是正整数也是实数的基本单位，i

是虚数的基本单位，０是唯一的中性数，π与e在超越数中独具特色，它们都具有独特的地

位，最具代表性。这５个看似毫不相干的数，居然如此和谐地统一在一个式子中，并且其表

述是如此的简洁！

在这里，我们即看到了数学的奇异美，更看到了内在的和谐美！

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作者简介：肖乐农，男，1958年7月生，高级讲师，湖南省特级教师，现任湖南省新化县教

师进修学校副校长。主要研究方向是中小学数学与教学、趣味数学以及数学的普

及与传播，曾在报刊发表相关文章300余篇，出版专著两部。