浅析数学中的和谐美

2024年4月9日发(作者：高三数学试卷及答案解析图片)

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浅析数学中的和谐美

作者：卢海霞

来源：《中学课程辅导·教师通讯》2010年第06期

英国著名数学家G·H·哈代(Hardy,1877-1947年)曾经说过:“现在也许难以找到一个受过教育

的人,对于数学美的魅力全然无动于衷。”那么,数学美的魅力究竟在哪里呢?这是一个令人神往

但又使人感到迷惑的问题。数学散发着无穷的魅力,数学是自然科学,数学作为“书写宇宙的文

字”(伽利略语)反映着自然,美是自然,数学中当然存在着美。不少人对数学有一定的偏见,认为数

学比较枯燥、单调乏味,这是一种误解,原因就在于数学美难以被人们所感受与认识。实质上数

学中有多种美的体现,比如数学中有和谐美、简洁美、对称美、奇异美、抽象美、含蓄美、协

调美、形式美、精确美、模糊美等,在此浅谈一下数学中的和谐美。

数学中的和谐美不仅体现在其知识体系的和谐统一,相当一部分的数学运算过程也能让我

们充分领略到数学独特的和谐美。

在奇妙的数学王国里,黄金分割律无疑是和谐美的典范。黄金分割律,也叫“黄金比”:即用C

点分割线段,使整体AB与较大部分BC之比,等于较大部分BC与较小部分AC之比(如图1),这

个比值是1.618:1或1:0.618。

黄金分割律确实是一个奇妙的规律,只要符合这个分割的物体和几何图形,都使人感到和

谐、悦目。再看下面几种黄金图形:

黄金矩形:宽与长之比为黄金数的矩形叫黄金矩形。对黄金矩形依次舍去所做的正方形,可

得到不断缩小的黄金矩形序列。(如图2)

黄金三角形:分两类,第一类是底与腰之比为黄金数的三角形。如图3中的 , , ,……组成不断

缩小的三角形序列;第二类是腰与底之比是黄金数的三角形,如图4中的,,,……也组成不断缩小

的黄金三角形序列。

黄金椭圆:短轴与长轴之比为黄金数的椭圆(如图5),它的面积与以它的焦距为直径的圆的面

积相等;它的离心率的平方也是黄金数。

黄金双曲线:实半轴与半焦距之比为黄金数的双曲线(如图6),它的离心率的倒数也是黄金

数。

这些黄金图形不仅有一些很奇妙的性质,而且看起来赏心悦目,是同类图形中最和谐、优美

的图形。这类图形在生活中也随处可见,比如墙上的挂历就是黄金矩形。

数学的严谨自然流露出它的和谐。数学的和谐不仅仅表现在其严谨或形式结构的无矛盾性,

还表现在它能为自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐等得到最佳论证。

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还有一类被称作黄金数列的数列菲波纳斯数列,该数列不仅体现了数学中的和谐,也反映了

自然的和谐。科学家发现自然界中有很多有趣的现象都与菲波纳斯数列有关。

所谓菲波纳斯数列就是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……这串数列的特点是:其中任一个数

都是前面两个数之和。

一般有

一些学者认为自然界中的花朵的花瓣数目也是符合菲波纳斯数列的。也即是说在大多数情

况下,一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34, ……有趣的是曾经有一位学者耐心地数过一朵重芍

药花的花瓣,惊奇地发现它有233个花瓣,正好与这个数相一致。另一个学者也数过一个花朵,它

刚好是157瓣。但他又发现,其中有13瓣和其它144瓣有显著差异,它们是特别长,并卷曲向内。

这种情况表明这朵花的花瓣数目是由和合成的。

在菲波纳斯数列中,前后两项的比值,就是以黄金数为极限的,即:

因此,这个数列又称为黄金数列。

数学美实质上是一种纯粹的抽象美感,但它并不是以空的形态出现,它有附体,有内容,正如舞

蹈离不开动作,音乐离不开节奏、旋律,数学美离不开由客观物质抽象出的量和空间形式。我们

应在数学学习过程及生活中多注意观察发现数学美的体现。

(作者单位:四川省古蔺中学)