(完整版)初一数学下册相交线与平行线测试题(含答案) (一)培优试卷

2023年11月13日发(作者：高考数学试卷乙卷评分)

一、选择题

1ABCDEDF∥AB∠AEC=100°∠D

．如图，直线、相交于点，．若，则等于（ ）

A70° B80° C90° D100°

．．．．

2AB∥CD, EF∥CD( )

．如图，已知，则下列结论中一定正确的是

A∠BCD= ∠DCE; B∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;

．．



C∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.

．．



3

．给出下列说法：

（）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

1

（）不相等的两个角不是同位角；

2

（）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；

3

（）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；

4

（）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．

5

其中真命题的有（）

A0 B1 C2 D3

．个．个．个．个

4

．如图，直线，，则的度数为（）

l//l

12

23216°

1

A B C D

．．．．

21618

36

44

5

．如图，直线，三角板的直角顶点在直线上，已知，则等于（）．

a//b

b

125

2

A25° B55° C65° D75°

．．．．

6①②③

．如图，从，，三个条件中选出两个作为已知条件，

12

CD

DF//AC

另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）

A0 B1 C2 D3

．．．．

75

．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个

ABCDABCD

AB7

AB

单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单

ABCDABCD

11111111

35

AB

11

位，得到长方形，第次平移将长方形的方向平移个单位，得

ABCDABCD

2222n1n1n1n1

…n5

到长方形，若的长度为，则的值为（）

ABCD(n2)

nnnn

AB

n

2022n

A403 B404 C405 D406

．．．．

8

．如图，点在延长线上，、交于，且，，

E

CA

DEBDEAEF

ABF

BCEFA

比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足

FDC10

P

DC

Q

PC

FQPQFP

，为的平分线．则下列结论：；平分

FM

EFP

①②

AB//CD

FQ

AFP

；；的角度为定值．其中正确结论的个数有（）

③④

BE140

QFM

A1 B2 C3 D4

．个．个．个．个

9

．已知，点分别在直线上，点在之间且在的左

AB∥CD

E，F

AB，CDAB，CD

P

EF

侧．若将射线沿折叠，射线沿折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则

EA

EPFP

FC

EPF

的度数为（）

A B C D

．．．或．或

12060120

13545135

10AB∥CDBEDF∠ABF∠CDE2∠E-∠F=48°∠CDE

．如图，已知，和分别平分和，，则的度

数为．

( )

A16° B32° C48° D64°

．．．．

二、填空题

11BCEBC

．如图，，平分，设为，点是射线上的一个动点，若

AC//BD

ABD

ACB



BAE:CAE5:2

，则的度数为．（用含的代数式表示）．

CAE

__________



12△ABCAB =3 cmBC=4 cmAC=2 cm△ABCBCa cma

．如图，的边长，，，将沿方向平移（

＜），得到，连接，则阴影部分的周长为．

4 cm△DEFAD_______cm

13C

．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，

当＜且点在直线的上方时，他发现若＝，则三角板有一条

∠ACE180°EAC∠ACE_____BCE

边与斜边平行．

AD

14Rt△AOBRt△COD∠AOB∠COD90°∠B40°∠C60°D

．如图，和中，＝＝，＝，＝，点在

边上，将图中的绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过

OA△CODO10°

程中，在第秒时，边恰好与边平行．

________CDAB

15

．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若

，则的度数为

________

16

．已知，，，，且，请直接写出、

AB//CD

ABE



FCD



CFE



BEEF





、的数量关系．



________

17EFADBC∠DEFx0°x45°EF

．有长方形纸片，，分别是，上一点＝（＜＜），将纸片沿折

叠成图，再沿折叠成图．

1GF2

（）如图，当＝时，＝度；

11x32°_____

FGD

（）如图，作的平分线交直线于点，则＝（用的式子表

22∠MGFGPEFP∠GPE_____x

示）．

18,

．如图，直线，与直线分别交于，，与直线，分

MN//PQ

MNACAC

ABDAB

E

PQ

别交于，，若，，则度．

F

GC75AEN

BGF26

_________

19

．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结

EF

EFB32

论：（）；（）；（）；（）

1234

C\'EF32AEC148BGE64

BFD116

．正确的有个．

________

20

．如图，将一副三角板按如图放置，，则

BACDAE90,B45,E60

①②③④

13

；；如果，则有；如果，

CAD2180

230

AC//DE245

则有．上述结论中正确的是（填写序号）．

BC//AD

________________

三、解答题

21AB//CD

．已知．

（）如图，为，之间一点，连接，，得到．求证：＝

11EABCDBEDE∠BED∠BED

∠B+∠D

；

（）如图，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点

2ADBCBF∠ABCDF∠ADCBFDF

F

．

①2BA∠ABC50°∠ADC60°∠BFD

如图，当点在点的左侧时，若＝，＝，求的度数．

②3BA∠ABCα∠ADCβ∠BFD

如图，当点在点的右侧时，设＝，＝，请你求出的度

数．（用含有，的式子表示）

αβ

22

．如图，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点

MN//PQ

AD

MN

PQPQ

A

D

B

B

作，垂足为点．

BGAD

G

（）如图，求证：；

11

MAGPBG90

（）若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线

2

C

AD

A

D

GPBC

BC

MAG

交于点请在图中补全图形，猜想并证明与的数量关系；

H

2

CBG

AHB

23

．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查

看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，

1

A

AM

AN

灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出

B

BP

BQ

A

的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足

a

//

B

b

a

b

a3b(ab4)0

2

．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且

PQ//MN

BAN45

．

（）求、的值；

1

a

b

（）如图，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点

22

A

AN

CC

，过作交于点，若，求的度数；

CDACBCD20

PQ

D

BAC

（）若灯射线先转动秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达

330

BB

A

BQ

之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行

A

?

241//

．如图，，点、分别在、上，点在直线、之间，且

ABFABAB

CDCDCD

E

O

EOF100

．

（）求的值；

1

BEOOFD

（）如图，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出

22

MN∠OFCN

BEO

M

EMNFNM

的值；

（）如图，在内，；在内，

33

EG

AEO

AEGmOEG

FH

DFO

DFHmOFH

，直线分别交、分别于点、，且

MNEGN

FHM

FMNENM50

，直接写出的值．

m

25“”

．综合与实践课上，同学们以一个直角三角形和两条平行线为背景开展数学活动，如

图，已知两直线，且是直角三角形，，操作发现：

a,b

a//b,ABC

BCA90

（）如图．若，求的度数；

11

148

2

（）如图，若的度数不确定，同学们把直线向上平移，并把的位置改

22

A30,1

a

2

变，发现，请说明理由．

21120

（）如图，若，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请

33∠A=30°

AC

BAM

1

2

写出与的数量关系并说明理由．

1

2

【参考答案】试卷处理标记，请不要删除

***

一、选择题

1B

．

解析：

B

【详解】

因为，所以，因为与是对顶角，

AB∥DF∠D+∠DEB=180°∠DEB∠AEC

所以，所以﹣．故选．

∠DEB=100°∠D=180°∠DEB=80°B

2D

．

解析：

D

【解析】

分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断

.

详解：延长到

DCH

∵AB∥CDEF∥CD

，

∴∠ABC+∠BCH=180°

∠ABC=∠BCD

∠CE+∠DCE=180°

∠ECH=∠FEC

∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC

∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.

故选

D.

点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相

等，同旁内角互补，同位角相等

.

3B

．

解析：

B

【详解】

试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（）不正确；

1

同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（）不正确；

2

平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（）正确；

3

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（）不正确；

4

过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（）不正确

5.

故选

B.

4B

．

解析：

B

【分析】

记顶点为，顶点为，顶点为，过点作，由平行线的性质可得

∠1A∠2B∠3CBBD∥l

1

∠3+∠DBC=180°∠ABD+(180°∠1)=180°∠3+∠2+(180°∠1)=360°

，－，由此得到－，再结合

已知条件即可求出结果．

【详解】

如图，过点作，

BBD∥l

1

∵

l//l

12

，

∴BD∥l

12

∥l

，

∴∠3+∠DBC=180°∠ABD+(180°∠1)=180°

，－，

∴∠3+∠DBC+∠ABD+(180°∠1)=360°∠3+∠2+(180°∠1)=360°

－，即－，

又，

∵∠2+∠3=216°

∴216°+(180°∠1)=360°

－，

∴∠1=36°

．

故选：．

B

【点睛】

本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线性质是解题的关键．

5C

．

解析：

C

【分析】

利用平行线的性质，可证得，利用已知可证得，求出的度数，进

∠2=∠3∠1+∠3=90°∠3

而求出的度数．

∠2

【详解】

解：如图

∵a//b

∴∠2=∠3

，

∵∠1+∠3=180°-90°=90°

∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°

∴∠2=65°

．

C

故选．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，灵活运用两直线平行、同位角相等是解答本题的关键．

“”

6D

．

解析：

D

【分析】

分别任选其中两个条件作为已知，然后结合平行线的判定与性质，证明剩余一个条件是否

成立即可．

【详解】

解：如图所示：

（）当，则，故，则；

1①∠1=∠2∠3=∠2DB∥EC∠D=∠4

当，故，则，可得：，

②∠C=∠D∠4=∠CDF∥AC∠A=∠F

即可证得；

①②③

（）当，则，故，则，

2①∠1=∠2∠3=∠2DB∥EC∠D=∠4

当，故，则，故可得：，

③∠A=∠FDF∥AC∠4=∠C∠C=∠D

即可证得；

①③②

（）当，故，则，

3③∠A=∠FDF∥AC∠4=∠C

当，则，故，则，可得：，

②∠C=∠D∠4=∠DDB∥EC∠2=∠3∠1=∠2

即可证得

②③①.

故正确的有个．

3

故选：．

D

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握并熟练运用平行线的判定与性质是解题关

键．

7A

．

解析：

A

【分析】

根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然

AA=5AA=5AB=AB-AA=7-5=2ABAB

11221111212

后根据所求得出数字变化规律，进而得出（）求出即可．

AB=n+1×5+2n

n

【详解】

解：，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形

∵AB=71ABCDAB5

ABCD

1111

，

第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，

2ABCDAB5ABCD…

1111112222

∴AA

112211112

=5AA=5AB=AB-AA=7-5=2

，，，

∴AB

111221

=AA+AA+AB=5+5+2=12

，

∴AB

2

的长为：；

5+5+7=17

∵AB

12

=2×5+2=12AB=3×5+2=17

，，

∴AB

n

=n+1×5+2=2022

（），

解得：．

n=403

故选：．

A

【点睛】

此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出，

AA=5

1

AA=5

12

是解题关键．

8D

．

解析：

D

【分析】

①AEBD

由可得进而得到，结合即可得到结论；

BDEAEF

∥

，

BEAF

BC

②③

由得出，结合即可得解；由平行线的性质和

AB//CD

AFQFQP

FQPQFP

内角和定理判断即可；根据角平分线的性质求解即可；

④

【详解】

∵

BDEAEF

，

∴AEBD

∥

，

∴

BEAF

，

∵

BC

，

∴

EAFC

，

∴①

AB//CD

，结论正确；

∵

AB//CD

，

∴

AFQFQP

，

∵

FQPQFP

，

∴

AFQQFP

，

∴

FQ

平分，结论正确；

AFP

②

∵

AB//CD

，

∴

EFAFDC

，

∵

EFAFDC10

比的余角小，

∴

EFA40

，

∵

BEAF

，，

EFAEEAF180

∴③

BE180EFA140

，结论正确；

∵

FM

为的平分线，

EFP

111

∴

MFPEFPEFAAFP

，

222

∵

AFQQFP

，

1

∴

QFPAFP

，

2

1

∴

QFMMFPQFPEFA20

，结论正确；

④

2

故正确的结论是；

①②③④

故答案选

D

．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键．

9C

．

解析：

C

【分析】

根据题意画出示意图，延长交于点，根据折叠的性质和四边形的内角和进行分析

FPABQ

解答．

【详解】

解：根据题意，延长交于点，可画图如下：

FPABQ

∵

AB∥CD

∴

CFQPQE

∵

将射线沿折叠，射线沿折叠，

EA

EPFP

FC

∴

CFPPFM,MEPPEQ

，

∵

FPEPQEPEQ,EMFM

，

如第一个图所示，在四边形中，，

FPEM

PFMMEPFPE36090

得：，

2FPE270

∴

FPE135

．

如第二个图所示，在四边形中，，

FPEM

PFMMEPFPE360(36090)90

得：，

2FPE90

∴

FPE45

．

故选：．

C

【点睛】

本题考查的知识点是平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角、四边形的内角和等知

识．关键是利用平行线的性质以及四边形内角和进行解答．

10B

．

解析：

B

【分析】

已知和分别平分和，根据角平分线分定义可得

BEDF∠ABF∠CDE∠ABE=

2

∠ABF

，

∠CDF=∠CDEEEMABFFNABEMFN

2

；过点作，点作，即可得，由平

//////

AB//CD//

行线的性质可得，，，，由此可得

∠ABE=∠BEM∠MED=∠EDC∠ABF=∠BFN∠CDF=∠DFN

∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE

2

，

∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +∠CDE 2∠BED-∠BFD=48°2

2

，又因，即可得

（

22

∠ABF+∠CDE-∠ABF +∠CDE=48°∠CDE=32°.

）（），由此即可求得

【详解】

∵BEDF∠ABF∠CDE

和分别平分和，

∴∠ABE=∠ABF∠CDF=∠CDE

22

，，

过点作，点作，

EEMABFFNAB

////

11

11

1

1

1

1

∵

AB//CD

，

∴EMFN

AB//CD//

//

，

∴∠ABE=∠BEM∠MED=∠EDC∠ABF=∠BFN∠CDF=∠DFN

，，，，

∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE

2

，

∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +∠CDE

2

，

∵2∠BED-∠BFD=48°

，

∴2∠ABF+∠CDE-∠ABF +∠CDE=48°

（）（），

22

∴∠CDE=32°.

故选

B.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键

.

11

1

1

二、填空题

11

．或

【分析】

根据题意可分两种情况，若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的

①

度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出

等量关系求解即可得出结论；若点运动到下方，根据

②

解析：或

120



【分析】

根据题意可分两种情况，若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出

①

E

l

1



CBD

的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由

BAC

5

BAE:CAE

，，列出等量关系求解即可得出结论；若点

BAEBACCAE

②

E

2

43604

37



运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和

l

1



CBD

平行线的性质，计算出的度数，再由，列出

BAC

BAE:CAE

BAEBACCAE

等量关系求解即可得出结论．

【详解】

解：如图，若点运动到上方，

El

1

5

2

AC//BD

，

CBDACB



，

BC

平分，

ABD

ABD2CBD2



，

BAC180ABD1802



，

又，

BAE:CAE

(BACCAE):CAE

5

，

2

5

，

2

5

2

(1802CAE):CAE



CAE120

解得；

18024





5

3

1

2

如图，若点运动到下方，

El

1

AC//BD

，

CBDACB



，

BC

平分，

ABD

ABD2CBD2



，

BAC180ABD1802



，

又，

BAE:CAE

(BACCAE):CAE

5

，

2

5

2

(1802CAE):CAE



CAE

5

，

2

解得．

18023604



5

7

1

2

综上的度数为或．

CAE

120



故答案为：或．

120



【点睛】

43604

37

43604

37





本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，

同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．

129

．

【分析】

根据平移的特点，可直接得出、、的长，利用－可得出的

ACDEADEC=BCBEEC

长，进而得出阴影部分周长．

【详解】

∵AB=3cmBC=4cmAC=2cm△ABCBC

，，，将沿方向平

解析：

9

【分析】

根据平移的特点，可直接得出、、的长，利用－可得出的长，进而

ACDEADEC=BCBEEC

得出阴影部分周长．

【详解】

∵AB=3cmBC=4cmAC=2cm△ABCBCacm

，，，将沿方向平移

∴DE=AB=3cmBE=acm

，

∴EC=BCBE=(4a)cm

－－

∴=2+3+(4a)+a=9cm

阴影部分周长－

故答案为：

9

【点睛】

本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出－．

EC=BCBE

13

．或或

【分析】

分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．

【详解】

解：有三种情形：如图中，当时．

①1AD∥BC

∵AD∥BC ∴∠D∠BCD30°

，＝＝，

∵∠ACE+∠E

解析：或或

30

120

165

【分析】

分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．

【详解】

解：有三种情形：如图中，当时．

①1AD∥BC

∵AD∥BC ∴∠D∠BCD30°

，＝＝，

∵∠ACE+∠ECD∠ECD+∠DCB90°

＝＝，

∴∠ACE∠DCB30°

＝＝．

②2AD∥CE

如图中，当时，

∠DCE∠D30°∠ACE90°+30°120°

＝＝，可得＝＝．

③2AD∥BEBCADM

如图中，当时，延长交于．

∵AD∥BE ∴∠AMC=∠B=45°

，，

∴∠ACM180°-60°-45°75°

＝＝，

∴∠ACE75°+90165°

＝＝，

∠ACE30°120°165°

综上所述，满足条件的的度数为或或．

30°120°165°

故答案为或或．

【点睛】

本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会

用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．

141028

．或

【分析】

作出图形，分两三角形在点的同侧时，设与相交于点，根据两

①OCDOBE

直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相

∠CEO=∠B

邻的两个内角的和列式求出，然

∠DOE

解析：或

1028

【分析】

作出图形，分两三角形在点的同侧时，设与相交于点，根据两直线平行，

①OCDOBE

同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式

∠CEO=∠B

求出，然后求出旋转角，再根据每秒旋转列式计算即可得解；两三角形

∠DOE∠AOD10°②

在点的异侧时，延长与相交于点，根据两直线平行，内错角相等可得

OBOCDE

∠CEO=∠B∠DOE

，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然

后求出旋转角度数，再根据每秒旋转列式计算即可得解．

10°

【详解】

解：两三角形在点的同侧时，如图，设与相交于点，

①O1CDOBE

∵AB∥CD

，

∴∠CEO=∠B=40°

，

∵∠C=60°∠COD=90°

，，

∴∠D=90°-60°=30°

，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°

，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°

旋转角，

∵10°

每秒旋转，

∴100°÷10°=10

时间为秒；

②O2BOCDE

两三角形在点的异侧时，如图，延长与相交于点，

∵AB∥CD

，

∴∠CEO=∠B=40°

，

∵∠C=60°∠COD=90°

，，

∴∠D=90°-60°=30°

，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°

，

∴270°+10°=280°

旋转角为，

∵10°

每秒旋转，

∴280°÷10°=28

时间为秒；

综上所述，在第或秒时，边恰好与边平行．

1028CDAB

故答案为或．

1028

【点睛】

本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出

图形更形象直观．

15

．【解析】

试题分析：过作，则根据平行公理及推论可知，然后可证明得

BBE∥ml∥BE

到，因此可求得

∠1+∠2=∠ABC=45°∠2=20°.

故答案为：

20.

解析：【解析】

试题分析：过作，则根据平行公理及推论可知，然后可证明得到

BBE∥ml∥BE

∠1+∠2=∠ABC=45°∠2=20°.

，因此可求得

故答案为：

20.

16

．（上式变式都正确）

【分析】

过点作，过点作，可得出（根据平行于同一直线的两条直线互相平行），

EF

根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即

可得出答案．

【详解】

解：如图

解析：（上式变式都正确）



90

【分析】

过点作，过点作，可得出（根据平行于同一

EF

EM//ABFN//AB

AB//EM//FN//CD

直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代

换、等式的性质即可得出答案．

【详解】

解：如图所示，过点作，过点作，

EF

EM//ABFN//AB

∵

AB//CD

，

∴

AB//EM//FN//CD

，

∵

AB//EM

，

∴

ABEBEM

，

∵

EM//FN

，

∴

MEFEFN

，

∵

NF//CD

，

∴

NFCFCD

，

∴

ABEEFNNFCBEMMEFFCD

，

∴

ABEEFCBEFFCD

，

∵

ABE



，

FCDCFE



，，且，



BEEF

∴



90

，

故答案为：．



90

【点睛】

题目主要考察平行线的性质及等式的性质，作出相应的辅助线、找出相应的角的关系是解

题关键．

172x

．

【分析】

（）由长方形的对边是平行的，得到＝＝，根据三角形外角的

1∠BFE∠DEF30°

性质得到＝＝，由对顶角的性质得到＝＝

∠EGB∠BFE+∠DEF60°∠FGD′∠EGB

60°

，即

解析：

2x

【分析】

（）由长方形的对边是平行的，得到＝＝，根据三角形外角的性质得到

1∠BFE∠DEF30°

∠EGB∠BFE+∠DEF60°∠FGD′∠EGB60°∠GFC′

＝＝，由对顶角的性质得到＝＝，即可得到＝

180°∠FGD′120°

﹣＝；

（）由长方形的对边是平行的，设＝＝，根据三角形外角的性质得到

2∠BFE∠DEFx∠EGB

＝＝，由对顶角的性质得到＝＝，由折叠可得＝

∠BFE+∠D′EF2x∠FGD′∠EGB2x∠MGF

∠D′GF2x∠PGFx∠GPE

＝，由角平分线的定义得到＝，再根据三角形外角的性质得到，从而

求解．

【详解】

解：（）由折叠可得＝＝，

1∠GEF∠DEF32°

∵

长方形的对边是平行的，

∴∠DEG∠FGD′

＝，

∴∠DEG∠GFE+∠DEF64°

＝＝，

∴∠FGD′∠EGD64°

＝＝，

∴x30∠GFD′64°

当＝度时，的度数是．

故答案为：；

64

（）＝＝．

2∠GPE2∠GEP2x

由折叠可得＝，

∠GEF∠DEF

∵

长方形的对边是平行的，

∴∠BFE∠DEFx

设＝＝，

∴∠EGB∠BFE+∠D′EF2x

＝＝，

∴∠FGD′∠EGB2x

＝＝，

由折叠可得＝＝，

∠MGF∠D′GF2x

∵GP∠MGF

平分，

∴∠PGFx

＝，

∴∠GPE∠PGF+∠BFE2x

＝＝，

∴∠GPE2∠GEP2x

＝＝．

故答案为：＝．

∠GPE2x

【点睛】

本题考查翻折变换的性质、平行线的性质，熟悉掌握相关知识点并准确识图，理清翻折前

后重叠的角是解题的关键．

18131

．

【分析】

过点作，根据平行线的性质求出即可．

CCH∥MN∠NEC

【详解】

解：过点作，

CCH∥MN

∵

，

∴CH∥PQ

，

∴

，

∵

，

∴

，

∵CH∥MN

，

∴,

∴

故答案为：．

131

解析：

131

【分析】

过点作，根据平行线的性质求出即可．

CCH∥MN∠NEC

【详解】

解：过点作，

CCH∥MN

∵

MN//PQ

，

∴CH∥PQ

，

∴

HCBBGF26

，

∵

ACB75

，

∴

ACH49

，

∵CH∥MN

，

∴,

CENACH49

∴

AEN180CEN131

故答案为：．

131

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当作平行线，根据平行线的性质进行推理

计算．

193

．

【分析】

（）根据平行线的性质即可得到答案；

1

（）根据平行线的性质得到：，又因为

2∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°

∠AEF=∠AEC+∠GEF∠AEC148°

，可得＜，

解析：

3

【分析】

（）根据平行线的性质即可得到答案；

1

（）根据平行线的性质得到：，又因为

2∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°

∠AEF=∠AEC+∠GEF∠AEC148°

，可得＜，即可判断是否正确；

（）根据翻转的性质可得，又因为，根据平行线性质即可得到

3∠GEF=∠C′EF∠C′EG=64°

∠BGE=∠C′EG=64°

，即可判断是否正确；

（）根据对顶角的性质得：，根据平行线得性质即可得：

4∠CGF=∠BGE=64°∠BFD=180°-

∠CGF

即可得到结果．

【详解】

解：（），，

1∵∠EFB=32°

AE//BG

∴∠C′EF=∠EFB=32°

，故本小题正确；

（），，

2∵AE∥BG∠EFB=32°

∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°

，

∵∠AEF=∠AEC+∠GEF

，

∴∠AEC148°

＜，故本小题错误；

（），

3∵∠C′EF=32°

∴∠GEF=∠C′EF=32°

，

∴∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°

，

∵AC′∥BD′

，

∴∠BGE=∠C′EG=64°

，故本小题正确；

（），

4∵∠BGE=64°

∴∠CGF=∠BGE=64°

，

∵

DF//CG

，

∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°

，故本小题正确．

故正确的为：（）（）（）共个，

1343

故答案为：．

3

【点睛】

本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的

关键．

20①②③④

．

【分析】

根据余角的概念和同角的余角相等判断；根据的结论判断；根据平行

①①②

线的判定定理判断和，即可得出结论．

③④

【详解】

解：，，

∵∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

，

解析：

①②③④

【分析】

根据余角的概念和同角的余角相等判断；根据的结论判断；根据平行线的判定定

①①②

理判断和，即可得出结论．

③④

【详解】

解：，，

∵∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

，

故正确；

①

∵∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°

，

故正确；

②

∵∠2=30°

，

∴∠1=60°=∠E

，

∴AC∥DE

，

故正确；

③

∵∠2=45°

，

∴∠3=45°=∠B

，

∴BC∥AD

，

故正确；

④

故答案为：．

①②③④

【点睛】

本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解

题的关键．

三、解答题

11

211255°3

．（）见解析；（）；（）

180



22

【分析】

（）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

1

（）如图，过点作，当点在点的左侧时，根据，

2①2

F

FE//ABABC50

B

A

ADC60

，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；

BFD

②3

如图，过点作，当点在点的右侧时，，，根据

F

EF//AB

B

A

ABC



ADC



平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．

BFD

【详解】

解：（）如图，过点作，

11

E

EF//AB

则有，

BEFB

AB//CD

，

EF//CD

，

FEDD

，

BEDBEFFEDBD

；

（）如图，过点作，

2①2

F

FE//AB

有．

BFEFBA

AB//CD

，

EF//CD

．

EFDFDC

．

BFEEFDFBAFDC

．

即，

BFDFBAFDC

BFDF

平分，平分，

ABC



ADC

1

1

FBAABC25

，，

FDCADC30

2

2

BFDFBAFDC55

．

答：的度数为；

BFD

55

②3

如图，过点作，

F

FE//AB

有．

BFEFBA180

BFE180FBA

，

AB//CD

，

EF//CD

．

EFDFDC

．

BFEEFD180FBAFDC

．

即，

BFD180FBAFDC

BFDF

平分，平分，

ABC



ADC

11

11

FBAABC



，，

FDCADC



22

22

11

BFD180FBAFDC180



．

22

11

答：的度数为．

BFD

180



22

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．

2212

．（）证明见解析；（）补图见解析；当点在上时，；当

C

AG

2AHBCBG90

点在上时，．

C

DG

2AHBCBG90

【分析】

（）过点作，根据平行线的性质即可求解；

1

G

GE//MN

（）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．

2

CC

AG

DG

H

HF//MN

【详解】

（）证明：如图，过点作，

1

G

GE//MN

∴

MAGAGE

，

∵

MN//PQ

，

∴

GE//PQ

．

∴

PBGBGE

．

∵

BGAD

，

∴

AGB90

，

∴

MAGPBGAGEBGEAGB90

．

（）补全图形如图、图，

223

猜想：或．

2AHBCBG902AHBCBG90

证明：过点作．

H

HF//MN

∴

1AHF

．

∵

MN//PQ

，

∴

HF//PQ

∴

2BHF

，

∴

AHBAHFBHF12

．

∵

AH

平分，

MAG

∴

MAG21

．

如图，当点在上时，

3

C

AG

∵

BH

平分，

PBC

∴

PBCPBGCBG22

，

∵

MN//PQ

，

∴

MAGGDB

，

2AHB2122MAGPBGCBG

GDBPBGCBG

90CBG

即．

2AHBCBG90

如图，当点在上时，

2

C

DG

∵

BH

平分，

PBC

∴

PBCPBGCBG22

．

∴

2AHB2122MAGPBGCBG90CBG

．

即．

2AHBCBG90

【点睛】

本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出

平行线，找出角与角之间的数量关系．

231230°31582.5

．（），；（）；（）秒或秒

a3

b1

【分析】

（）解出式子即可；

1

a3bab40



（）根据，用含的式子表示出，根据（）中给出的条件得出方程式

2t2

PQ//MN

BCA

2

BCD90BCA901802t2t9020







，求出的值，进而求出

t

BAC

的度数；

（）根据灯的要求，，在这个时间段内可以转次，分情况讨论．

3Bt<150A3

【详解】

解：（）．

1

|a3b|(ab4)0

2

又，．

|a3b|0

(ab4)0

2

a3

，；

b1

（）设灯转动时间为秒，

2

A

t

如图，作，而

CE//PQ

PQ//MN,

PQ//CE//MN,

ACECAN1803tBCECBDt

，，

BCACBDCANt1803t1802t



，

ACD90

，

BCD90BCA90180(2t)(2t)9020



，

t55

CAN1803t



，

BAC451803t3t13516513530







（）设灯转动秒，两灯的光束互相平行．

3

A

t

依题意得

0t150

①

当时，

0t60

t



233

两河岸平行，所以

两光线平行，所以

2130t

所以，

13

即：，

3t30t

解得；

t15

②

当时，

60t120

两光束平行，所以

2330t



两河岸平行，所以

12180

13t180

所以，，

3t18030t180

解得；

t82.5

③①

当时，图大概如所示

120t150

3t360t30

，

解得（不合题意）

t195150

综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行．

t15

82.5

【点睛】

这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出

方程是解题的关键．

5

241 240°3

．（）；（）的值为；（）．

BEODFO260

EMNFNM

3

【分析】

（）过点作，可得，利用平行线的性质可求解；

1OOG∥ABAB∥OG∥CD

（）过点作，过点作，由角平分线的定义可设，

2MMK∥ABNNH∥CD∠BEM=∠OEM=x

∠CFN=∠OFN=y∠BEO+∠DFO=260°x-y=40°

，由可求，进而求解；

（）设直线与交于点，与交于点，根据平行线的性质即三角形外角的性

3FKEGHFKABK

质及，可得，结合

FMNENM50

KFDAEG50

AEGnOEG，DFKnOFK，BEODFO260

，可得

11

AEGAEG180KFDKFD100，

nn

即可得关于的方程，计算可求解值．

nn

【详解】

证明：过点作，

OOG∥AB

∵AB∥CD

，

∴AB∥OG∥CD

，

∴

BEOEOG180，DFOFOG180，

∴

BEOEOGDFOFOG360，

即

BEOEOFDFO360，

∵∠EOF=100°

，

∴∠

BEODFO260

；

（）解：过点作，过点作，

2MMK∥ABNNH∥CD

∵EM∠BEOFN∠CFO

平分，平分，

设

BEMOEMx，CFNOFNy，

∵

BEODFO260

∴

BEODFO2x1802y260，

∴x-y=40°

，

∵MK∥ABNH∥CDAB∥CD

，，，

∴AB∥MK∥NH∥CD

，

∴

EMKBEMx，HNFCFNy，KMNHNM，

∴

EMNFNMEMKKMN（HNMHNF）

xKMNHNMy

=x-y

=40°

，

EMNFNM

的值为；

40°

（）如图，设直线与交于点，与交于点，

3FKEGHFKABK

∵AB∥CD

，

∴

AKFKFD，

∵

AKFEHKHEKEHKAEG，

∴

KFDEHKAEG，

∵

EHKNMFENM50，

∴

KFD50AEG，

即

KFDAEG50，

∵FK∠DFO

AEGnOEG，DFKnOFK．

在内，

1

∴

CFO180DFKOFK180KFDKFD

，

n

1

AEOAEGOEGAEGAEG，

n

∵

BEODFO260，

∴

AEOCFO100，

11

∴

AEGAEG180KFDKFD100，

nn



1

即



1(KFDAEG)＝80，



n



1

∴



150＝80，



n

解得．

n

经检验，符合题意，

5

故答案为：．

3

5

3

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．

25142°23∠1=∠2

．（）；（）见解析；（），理由见解析

【分析】

（）由平角定义求出，再由平行线的性质即可得出答案；

1∠3=42°

（）过点作．由平行线的性质得，，则

2BBD∥a∠2+∠ABD=180°∠1=∠DBC∠ABD=∠ABC-

∠DBC=60°-∠1

，进而得出结论；

（）过点作，由角平分线定义得，，由平

3C CP∥a∠CAM=∠BAC=30°∠BAM=2∠BAC=60°

行线的性质得，，，即可得出结论．

∠1=∠BAM=60°∠PCA=∠CAM=30°∠2=∠BCP=60°

【详解】

解：（），，

1∵∠1=48°∠BCA=90°

∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°

，

∵a∥b

，

∴∠2=∠3=42°

；

（）理由如下：

2

过点作．如图所示：

BBD∥a2

则，

∠2+∠ABD=180°

∵a∥b

，

∴b∥BD

，

∴∠1=∠DBC

，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1

，

∴∠2+60°-∠1=180°

，

∴∠2-∠1=120°

；

（），理由如下：

3∠1=∠2

过点作，如图所示：

C CP∥a3

∵AC∠BAM

平分

∴∠CAM=∠BAC=30°∠BAM=2∠BAC=60°

，，

又，

∵a∥b

∴CP∥b∠1=∠BAM=60°

，，

∴∠PCA=∠CAM=30°

，

∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°

，

又，

∵CP∥a

∴∠2=∠BCP=60°

，

∴∠1=∠2

．

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、

角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质

是解题的关键．