专题10 空间向量与立体几何-2023年高考数学真题题源解密(全国卷)(原

2024年4月14日发(作者：南通二附数学试卷答案)

2023

年高考数学真题题源解密（全国卷）

专题

10

空间向量与立体几何

目录一览

①

2023

真题展现

考向一

空间几何体的表面积和体积

考向二

三视图

考向三

点线面的位置关系

考向四

空间中的夹角问题

②

真题考查解读

③

近年真题对比

考向一

空间几何体的表面积和体积

考向二

三视图

考向三

点线面的位置关系

考向四

空间中的夹角问题

④

命题规律解密

⑤

名校模拟探源

⑥

易错易混速记

考向一

空间几何体的表面积和体积

一、单选题

1

．（

2023·

全国乙卷理数第

8

题）已知圆锥

PO

的底面半径为

3

，

O

为底面圆心，

PA

，

PB

为圆锥的母线，

AOB120

，若

VPAB

的面积等于

93

，则该圆锥的体积为（

）

4

A

．



B

．

6



C

．

3



D

．

36



2

．（

2023·

全国甲卷文数第

10

题）在三棱锥

PABC

中，

VABC

是边长为

2

的等边三角形，

PAPB2,PC6

，则该棱锥的体积为（

）

A

．

1B

．

3

C

．

2D

．

3

3

．（

2023·

全国甲卷理数第

11

题）已知四棱锥

P



ABCD

的底面是边长为

4

的正方形，

PCPD3,PCA45

，则

VPBC

的面积为（

）

A

．

22

B

．

32

C

．

42

D

．

62

二、填空题

4

．（

2023·

全国甲卷文数第

16

题）在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB4,O

为

AC

1

的中点，若该正方体的棱

与球

O

的球面有公共点，则球

O

的半径的取值范围是

．

三、解答题

5

．（

2023·

全国乙卷文数第

19

题）如图，在三棱锥

PABC

中，

AB



BC

，

AB2

，

BC22

，

PBPC6

，

BP,AP,BC

的中点分别为

D,E,O

，点

F

在

AC

上，

BFAO

．

(1)

求证：

EF

//

平面

ADO

；

(2)

若

POF120

，求三棱锥

PABC

的体积．

6

．（

2023·

全国甲卷文数第

18

题）如图，在三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

A

1

C

平面

ABC,ACB90

．

(1)

证明：平面

ACC

1

A

1



平面

BB

1

C

1

C

；

(2)

设

ABA

1

B,AA

1

2

，求四棱锥

A

1

BB

1

C

1

C

的高．

考向二

三视图

一、单选题

1

．（

2023·

全国乙卷文数第

3

题

/

理数第

3

题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的

边长为

1

，则该零件的表面积为（

）

A

．

24B

．

26C

．

28D

．

30

考向三

点线面的位置关系

一、单选题

1

．（

2023·

全国乙卷理数第

9

题）已知

VABC

为等腰直角三角形，

AB

为斜边，

△ABD

为等边三角形，若二

面角

CABD

为

150

，则直线

CD

与平面

ABC

所成角的正切值为（

）

A

．

1

5

B

．

2

5

C

．

3

5

D

．

2

5

二、填空题

2

．（

2023·

全国乙卷文数第

16

题）已知点

S,A,B,C

均在半径为

2

的球面上，

VABC

是边长为

3

的等边三角

形，

SA

平面

ABC

，则

SA

．

3

．（

2023·

全国甲卷理数第

15

题）在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

E

，

F

分别为

AB

，

C

1

D

1

的中点，以

EF

为

直径的球的球面与该正方体的棱共有

个公共点．

考向四

空间中的夹角问题

一、解答题

1

．（

2023·

全国乙卷理数第

19

题）如图，在三棱锥

PABC

中，

AB



BC

，

AB2

，

BC22

，

PBPC6

，

BP

，

AP

，

BC

的中点分别为

D

，

E

，

O

，

AD5DO

，点

F

在

AC

上，

BFAO

.

(1)

证明：

EF//

平面

ADO

；

(2)

证明：平面

ADO

平面

BEF

；

(3)

求二面角

DAOC

的正弦值

.

2

．（

2023·

全国甲卷理数第

18

题）如图，在三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

A

1

C

底面

ABC

，

ACB90,AA

1

2

，

A

1

到平面

BCC

1

B

1

的距离为

1

．

(1)

证明：

A

1

CAC

；

(2)

已知

AA

1

与

BB

1

的距离为

2

，求

AB

1

与平面

BCC

1

B

1

所成角的正弦值．

【命题意图】

1.空间几何体

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示

的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

3.空间向量及其运算

(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

4.空间向量的应用

(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.

(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).

(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几

何问题中的应用.

【考查要点】

高频考点：面面角，垂直关系的证明；

中频考点：体积、球及球的切接，线线角、线面角；

低频考点：平行关系的证明。

【得分要点】

（1）简单几何体和组合几何体是培养学生空间想象能力的一个很好的载体，可以单独考查，如几何体的识

别，距离和截面面积的计算；也可以与体积、表面积结合考查，重点考查简单几何体的表面积或体积，一

般为小题，多为低档题．球与简单几何体的切接问题或与之有关的最值问题，题型为选择题或填空题，这

是一类重点问题，有时难度相对较大。

（2）小题形式多考查平行与垂直的判定与性质，多为基础题，对于截面问题的考查，难度则有提升；解答

题，第一小题多为证明线线、线面、面面垂直与平行；第二问，多数是利用空间向量的相关知识解决空间

角的问题，为中档题。

考向一

空间几何体的表面积和体积

一、单选题

1

．（

2022·

全国乙卷文数第

9

题

/

理数第

9

题）已知球

O

的半径为

1

，四棱锥的顶点为

O

，底面的四个顶点

均在球

O

的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）

A

．

1

3

B

．

2

1

C

．

3

3

D

．

2

2

2

．（

2022·

全国甲卷文数第

10

题

/

理数第

9

题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

2π

，侧面积分别为

S

甲

和

S

乙

，体积分别为

V

甲

和

V

乙

．若

A

．

5

B

．

22

C

．

10

V

S

甲

=2

，则

甲

=

（

）

S

乙

V

乙

D

．

510

4

3

．

B

，

C

是半径为

1

的球

O

的球面上的三个点，（

2021·

全国甲卷理数第

11

题）已知

A

，且

ACBC,ACBC1

，

则三棱锥

OABC

的体积为（

）

A

．

2

12

B

．

3

12

C

．

2

4

D

．

3

4

二、解答题

4

．（

2022·

全国乙卷文数第

18

题）如图，四面体

ABCD

中，

ADCD,ADCD,ADBBDC

，

E

为

AC

的中点．

(1)

证明：平面

BED

平面

ACD

；

(2)

设

ABBD2,ACB60

，点

F

在

BD

上，当

△AFC

的面积最小时，求三棱锥

FABC

的体积．

5

．（

2022·

全国甲卷文数第

19

题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所

示：底面

ABCD

是边长为

8

（单位：

cm

）的正方形，

VEAB,VFBC,VGCD,VHDA

均为正三角形，且它们所在

的平面都与平面

ABCD

垂直．

(1)

证明：

EF//

平面

ABCD

；

(2)

求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

6

．（

2021·

全国乙卷文数第

18

题）如图，四棱锥

P



ABCD

的底面是矩形，

PD

底面

ABCD

，

M

为

BC

的

中点，且

PBAM

．

（

1

）证明：平面

PAM

平面

PBD

；

（

2

）若

PDDC1

，求四棱锥

P



ABCD

的体积．

7

．（

2021·

全国甲卷文数第

19

题）已知直三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，侧面

AA

1

B

1

B

为正方形，

ABBC2

，

E

，

F

分别为

AC

和

CC

1

的中点，

BFA

1

B

1

.

（

1

）求三棱锥

FEBC

的体积；

（

2

）已知

D

为棱

A

1

B

1

上的点，证明：

BFDE

.

三、填空题

8

．（

2021·

全国甲卷文数第

14

题）已知一个圆锥的底面半径为

6

，其体积为

30



则该圆锥的侧面积为

.

考向二

三视图

一、单选题

1

．（

2022·

全国甲卷文数第

4

题

/

理数第

4

题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方

形的边长为

1

，则该多面体的体积为（

）

A

．

8B

．

12C

．

16D

．

20

2

．（

2021·

全国甲卷文数第

7

题

/

理数第

6

题）在一个正方体中，过顶点

A

的三条棱的中点分别为

E

，

F

，

G

．该正方体截去三棱锥

AEFG

后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（

）

A．

B

．

C

．

D

．

二、填空题

1

．（

2021·

全国乙卷文数第

16

题）以图

①

为正视图，在图

②③④⑤

中选两个分别作为侧视图和俯视图，

组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为

可）．

（写出符合要求的一组答案即

考向三

点线面的位置关系

一、单选题

1

．（

2022·

全国乙卷文数第

7

题

/

理数第

7

题）在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

E

，

F

分别为

AB,BC

的中点，

则（

）

A

．平面

B

1

EF

平面

BDD

1

C

．平面

B

1

EF//

平面

A

1

AC

B

．平面

B

1

EF

平面

A

1

BD

D

．平面

B

1

EF//

平面

AC

11

D

考向四

空间中的夹角问题

一、单选题

1

．（

2022·

全国甲卷文数第

9

题

/

理数第

7

题）在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，已知

B

1

D

与平面

ABCD

和平面

AA

1

B

1

B

所成的角均为

30

，则（

）

A

．

AB2AD

C

．

ACCB

1

B

．

AB

与平面

AB

1

C

1

D

所成的角为

30

D

．

B

1

D

与平面

BB

1

C

1

C

所成的角为

45

2

．（

2021·

全国乙卷文数第

10

题

/

理数第

5

题）在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

P

为

B

1

D

1

的中点，则直线

PB

与

AD

1

所成的角为（

）

A

．

π

2

B

．

π

3

C

．

π

4

D

．

π

6

二、解答题

3

．（

2022·

全国乙卷理数第

18

题）如图，四面体

ABCD

中，

ADCD,ADCD,ADBBDC

，

E

为

AC

的中点．

(1)

证明：平面

BED

平面

ACD

；

(2)

设

ABBD2,ACB60

，点

F

在

BD

上，当

△AFC

的面积最小时，求

CF

与平面

ABD

所成的角的正

弦值．

4

．（

2022·

全国甲卷理数第

18

题）在四棱锥

P



ABCD

中，

PD

底面

ABCD,CD∥AB,ADDCCB1,AB2,DP3

．

(1)

证明：

BDPA

；

(2)

求

PD

与平面

PAB

所成的角的正弦值．

5

．（

2021·

全国乙卷理数第

18

题）如图，四棱锥

P



ABCD

的底面是矩形，

PD

底面

ABCD

，

PDDC1

，

M

为

BC

的中点，且

PBAM

．

（

1

）求

BC

；

（

2

）求二面角

APMB

的正弦值．

6

．（

2021·

全国甲卷理数第

19

题）已知直三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，侧面

AA

1

B

1

B

为正方形，

ABBC2

，

E

，

F

分别为

AC

和

CC

1

的中点，

D

为棱

A

1

B

1

上的点．

BFA

1

B

1

（

1

）证明：

BFDE

；

（

2

）当

B

1

D

为何值时，面

BB

1

C

1

C

与面

DFE

所成的二面角的正弦值最小

?

我们通过比较近三年的高考题可以发现，对于空间向量与立体几何的考查在素养要求的层级上有所提高，

但难度不会提升太多，多为基础性、综合性题目。理科数学对创新能力的要求有所提高，所以预计2024年

的高考，会加强对创新能力的考查，但总体基调不会发生太大变化。

一、单选题

1

．（

2023·

江苏镇江三模）一个圆台的上底面半径为

1

，下底面半径为

2

，高为

2

，以该圆台的上底面为底

面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（

）

A

．

11

π

3

B

．

10

π

3

C

．

4π

D

．

3π

2

．（

2023·

北京三模）已知

a,b

是两条不同的直线，



,



是两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）

A

．若

a∥



,ab

，则

b



B

．若

a



,ab

，则

b

P

C

．若

a



,b



,a∥



,b∥



，则



∥



D

．若

abA,a∥



,b∥



,a∥



,b∥



，则



∥



3

．（

2023·

安徽安庆三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址

.

如

图所示的是一个陀螺立体结构图

.

已知，底面圆的直径

AB12cm

，圆柱体部分的高

BC=6cm

，圆锥体部分

的高

CD4cm

，则这个陀螺的表面积（单位：

cm

2

）是（

）



C

．



1081213



π

A

．

1441213π



D

．



1082413



π

B

．

1442413π

4

．（

2023·

江苏无锡三模）已知

m

，

n

是空间中两条不同的直线，



，



，



是空间中三个不同的平面，则

下列命题中错误的是（

）

A

．若

m//



，

m//n

，则

n//



B

．若

m



，



//



，则

m



C

．若

m



，

n



，

mn

，则







D

．若







，







，







l

，则

l



5

．（

2023·

河南开封三模）某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为

36

，则图中

x

的值为（

）

A

．

2B

．

3

3

C

．

3D

．

22

6

．（

2023·

广东梅州三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：

“

毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳

.”

毡帐

是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔

.

如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为

4

，侧面积为

15



，圆柱的侧面积为

18



，则该毡帐的体积为（

）

A

．

39π

B

．

18π

C

．

38π

D

．

45π

7

．（

2023·

河北衡水三模）已知球

O

的半径为

2

，三棱锥

OABC

底面上的三个顶点均在球

O

的球面上，

BAC

A

．

2π

，

BC3

，则三棱锥体积的最大值为（

）

3

B

．

1

3

1

4

C

．

2

1

D

．

2

2

8

．（

2023·

四川成都三模）如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为

1

，则该

几何体的体积为（

）

A

．

2

3

B

．

1C

．

4

3

D

．

4

9

．（

2023·

山东潍坊

·

三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：

“

今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末

为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？

”

大致意思是：

“

有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现

从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？

”

按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（

）（注：

1

丈

10

尺）

A

．

11676

立方尺

C

．

38927

立方尺

B

．

3892

立方尺

D

．

38927

立方尺

3

10

．（

2023·

河南三模）如图，该几何体为两个底面半径为

1

，高为

1

的相同的圆锥形成的组合体，设它的

体积为

V

1

，它的内切球的体积为

V

2

，则

V

1

:V

2



（

）

A

．

2:3

B

．

22:3

C

．

3:2

D

．

2:1

11

．（

2023·

河北衡水三模）在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

M

是线段

C

1

D

1

（不含端点）上的动点，

N

为

BC

的中点，则（

）

A

．

BDAM

C

．

MN//

平面

A

1

BD

B

．平面

A

1

BD

平面

AD

1

M

D

．

CM//

平面

A

1

BD

12

．（

2023·

河南

·

襄城三模）已知三棱锥

PABC

中，

PA

平面

ABC

，

AB4

，

AC4

，

BC42

，

PA6

，

D

为

PB

的中点，则异面直线

AD

与

PC

所成角的余弦值为（

）

A

．

215

15

B

．

53

12

C

．

5

14

D

．

9

13

13

．（

2023·

广东广州三模）已知克列尔公式：对任意四面体，其体积

V

和外接球半径

R

满足

6RVp



paa

1



pbb

1



pcc

1



，其中

p

1



aa

1

bb

1

cc

1



，

a

，

a

1

，

b

，

b

1

，

c

，

c

1

分别为四面体的三

2

组对棱的长

.

在四面体

ABCD

中，若

ABCDACBD2

，

AD2BC1

，则该四面体的外接球的表面

积为（

）

5

A

．

π

2

B

．

3π

7

C

．

π

3

D

．

5π

14

．（

2023·

福建福州三模）如图，在圆台

OO

1

中，

OO

1

3

，点

C

是底面圆周上异于

A

、

B

的一点，

AC2

，点

D

是

BC

的中点，

l

为平面

O

1

AC

与平面

O

1

OD

的交线，则交线

l

与平面

O

1

BC

所成角的大小为

（

）

A

．

π

2

B

．

π

3

C

．

π

6

D

．

π

4

15

．（

2023·

四川

·

成都三模）如图，已知正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为

1

，

E,F

分别是棱

AD

，

B

1

C

1

的中

点．若点

P

为侧面正方形

ADD

1

A

1

内（含边界）的动点，且

B

1

P//

平面

BEF

，则

B

1

P

与侧面

ADD

1

A

1

所成角的

正切值最大为（

）

A

．

2B

．

1C

．

5

2

D

．

5

16

．（

2023·

河南

·

襄城三模）如图

1

，在

VPBC

中，

PABC

，

AMPB

，

BC6

，

PA4

，沿

PA

将

VPAB

折起，使得二面角

B



PA



C

为

60°

，得到三棱锥

PABC

，如图

2

，若

AMPC

，则三棱锥

PABC

的外

接球的表面积为（

）

A

．

32π

B

．

36π

C

．

64π

D

．

80π

17

．（

2023·

上海虹口三模）已知圆锥

SO

（

O

是底面圆的圆心，

S

是圆锥的顶点）的母线长为

5

，高为

1

，

P

､

Q

为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：

①

三角形

SPQ

面积的最大值为

2

；

②

三棱锥

OSPQ

体积的最大值为；

③

四面体

SOPQ

外接球表面积的最小值为

9π

．

以上所有正确结论的个数为（

）

A

．

0

2

3

B

．

1C

．

2D

．

3

18

．（

2023·

河北张家口三模）风筝又称为

“

纸鸢

”

，由中国古代劳动人民发明于距今

2000

多年的东周春秋时

期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源

.

如图，是某高一年上级学生制作的

一个风筝模型的多面体

ABCEF,D

为

AB

的中点，四边形

EFDC

为矩形，且

DFAB,ACBC2,



ACB120



，当

AEBE

时，多面体

ABCEF

的体积为（

）

A

．

26

3

B

．

6

3

C

．

3

3

D

．

6

19

．（

2023·

云南三模）如图，已知半径为

r

、母线长为

l

的圆锥

SO

的侧面展开图是半圆，在其内部作一个

半径为

r

0

、母线长为

l

0

的内接圆柱

PO

（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），若

圆柱

PO

的侧面积与圆锥

SO

的侧面积之比为

l

3

，则



（

）

l

0

4

A

．

43

3

B

．

23

3

C

．

23

D

．

43

20

．（

2023·

河南三模）设正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为

1

，点

E

是棱

A

1

B

1

的中点，点

M

在正方体的表

面上运动，则下列命题：

3

①

如果

AMBD

1

，则点

M

的轨迹所围成图形的面积为；

2

②

如果

B

1

M

∥

平面

AEC

1

，则点

M

的轨迹所围成图形的周长为

35

；

2

③

如果

EM

∥

平面

D

1

B

1

BD

，则点

M

的轨迹所围成图形的周长为

22

；