2024年4月9日发(作者：高中的数学试卷怎么看全部)

一元二次方程的公共根与整数根

中考要求

内容

一元二次

方程

基本要求

了解一元二次方程的概

念，会将一元二次方程化

为一般形式，并指出各项

系数；了解一元二次方程

的根的意义

略高要求 较高要求

能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所

含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待

定系数的值

一元二次

方程的解

法

理解配方法，会用直接开

因式分解法解简单的数字

系数的一元二次方程，理

解各种解法的依据

能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程能利用根的判别式说明含有字母系

数的一元二次方程根的情况及由方

程根的情况确定方程中待定系数的

取值范围；会用配方法对代数式做

简单的变形；会应用一元二次方程

解决简单的实际问题

平方法、配方法、公式法、的根的判别式判别方程根的情况

例题精讲

公共根问题：

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值

和公共根．

整数根问题：

对于一元二次方程

ax

2

bxc0

(a0)

的实根情况，可以用判别式

b

2

4ac

来判别，但是对于一个含参

数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分

析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程

ax

2

bxc0

(a0)

有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴

b

2

4ac

为完全平方数；

⑵

bb

2

4ac2ak

或

bb

2

4ac2ak

，其中

k

为整数．

以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中

a

、

b

、

c

均为有理数)

方程的根的取值范围问题：

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

【例 1】 求

k

的值，使得一元二次方程

x

2

kx10

，

x

2

x(k2)0

有相同的根，并求两个方程的根．

【例 2】 ⒈ 设

a,b,c

为

ABC

的三边，且二次三项式

x

2

2axb

2

与

x

2

2cxb

2

有一次公因式，证明：

ABC

一定是直角三角形．(北京数学竞赛试题)

⒉ 三个二次方程

ax

2

bxc0

，

bx

2

cxa0

，

cx

2

axb0

有公共根．

⑴ 求证：

abc0

；

a

3

b

3

c

3

⑵ 求的值．

abc

【例 3】 试求满足方程

x

2

kx70

与

x

2

6x(k1)0

有公共根的所有的

k

值及所有公共根和所有相异

根．

【例 4】 三个二次方程

ax

2

bxc0

，

bx

2

cxa0

，

cx

2

axb0

有公共根．

a

3

b

3

c

3

(1)求证：

abc0

；(2)求的值．

abc

【例 5】 二次项系数不相等的两个二次方程

(a1)x

2

(a

2

2)x(a

2

2a)0

和

a

b

b

a

(b1)x(b2)x(b2b)0

(其中

a

，

b

为正整数)有一个公共根，求

b

的值．

ab

a

222

【例 6】

k

为什么实数时，关于

x

的方程

(6k)(9k)x

2

(11715k)x540

的解都是整数？

【巩固】 若关于

x

的方程

6k



9k

x

2

11715k

x540

的解都是整数，则符合条件的整数

k

的值有

_______个．


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方程,方法,范围,确定,取值