2019年全国初中数学竞赛试题及答案

2024年4月9日发(作者：2018年升考数学试卷)

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填

入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

ab

ab

的值为（ ）．

20， 10

，则

bc

bc

110

1121210

（A） （B） （C） （D）

21

211111

a

1

ab

b

201210

解：

D

由题设得．



c1

bc

1

11

1

b10

1

2

2．若实数a，b满足

aabb20

，则a的取值范围是 （ ）．

2

（A）a≤

2

（B）a≥4 （C）a≤

2

或 a≥4 （D）

2

≤a≤4

1．若

解．C

因为b是实数，所以关于b的一元二次方程

bab

2

2

1

a20

2

的判别式

＝(a)41(a2)

≥0,解得a≤

2

或 a≥4．

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=

23

，BC=

422

，CD＝

42

，则AD边

的长为（ ）．

（A）

26

（B）

46

（D）

226

（第3题）

1

2

（C）

46

解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，

F．

由已知可得

BE=AE=

6

，CF＝

22

，DF＝2

6

，

（第3题）

于是 EF＝4＋

6

．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

222

AD

(46)(6)(224)

＝

226

．

4．在一列数

x

1

，x

2

，x

3

，

……中，已知

x

1

1

，且当k≥2时，

x

k

x

k1

14





k1







k2









4



4











（取整符号



a



表示不超过实数

a

的最大整数，例如



2.6



2

，



0.2



0

），则

x

2010

等于（ ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解：B

由

x

1

1

和

x

k

x

k1

14









k1



k2





可得













4



4





x

1

1

，

x

2

2

，

x

3

3

，

x

4

4

，

x

5

1

，

x

6

2

，

x

7

3

，

x

8

4

，

……

因为2010=4×502+2，所以

x

2010

=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，

－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P

1

，点P

1

绕点B旋转180°得点P

2

，

点P

2

绕点C旋转180°得点P

3

，点P

3

绕点D旋转180°得点P

4

，……，重复操作依次得到点P

1

，P

2

，…，

则点P

2010

的坐标是（ ）．

（A）（2010，2） （B）（2010，

2

）

（C）（2012，

2

） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点

P

1

，

P

2

的坐标分别为（2，0），（2，

2

）．

（ b

2

)

，其中

a

2

2,b

2

2

． 记

P

2

a

2

，

根据对称关系，依次可以求得：

（第5题）

P

3

(4a

2

，－2－b

2

)

，

P

4

(2a

2

，4b

2

)

，

P

5

(a

2

，2b

2

)

，

P

6

(4a

2

，b

2

)

．

令

P

6

(a

6

,b

2

)

，同样可以求得，点

P

，即

P

，

10

的坐标为（

4a

6

,b

2

）

10

（

42a

2

,b

2

）

由于2010=4



502+2，所以点

P

2010

的坐标为（2010，

2

）．

二、填空题

6．已知a＝

5

－1，则2a

3

＋7a

2

－2a－12 的值等于 ．

解：0

由已知得 (a＋1)

2

＝5，所以a

2

＋2a＝4，于是

2a

3

＋7a

2

－2a－12＝2a

3

＋4a

2

＋3a

2

－2a－12＝3a

2

＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，

小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿

车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为

a，b，c

（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

10



ab



S

， ①

15



ac



2S

， ②

x



bc



S

． ③

由①②，得

30

．

（bc）S

，所以，x=30． 故

t3010515

（分）

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），

C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的

两部分，则直线l的函数表达式是 ．

解：

y

（第8题

（第8题）

111

x+

33

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF

；连接

CE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线

l

把矩形ABFO分

成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，

过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线

MN

即为所求的直线

l

．



2k+b3，

设直线

l

的函数表达式为

ykxb

，则



5kb2，



1



k，



111



3

解得



,故所求直线

l

的函数表达式为

yx+

．

33



b

11

.



3



9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN

于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则

AE



．

AD

解：

51

2

见题图，设

FCm,AFn

．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

ABAFAC

．

又因为 FC＝DC＝AB，所以

mn(nm)，

即

(

2

2

（第9题）

n

2

n

)10

，

mm

解得

n51n51



，或



（舍去）．

m2m2

又Rt△

AFE

∽Rt△

CFB

，所以

AEAEAFn



ADBCFCm

5151

AE

， 即=．

22

AD

10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若

n

的最小值

n

0

满足

2000n

0

3000

，

则正整数

k

的最小值为 ．

解：

9

因为

n1

为

2，， 3 ，k

的倍数，所以

n

的最小值

n

0

满足

n

0

1



2，， 3 ，k



，

其中



2，，

3 ，k

的最小公倍数．

3 ，k



表示

2，，

由于



2，， 3 ， 8



840， 3 ， 9



2520，



2，，

3



2，，， 10



2520， 3 ， 11



27720

，



2，，

因此满足

2000n

0

3000

的正整数

k

的最小值为

9

．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别

是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ．

tanPAD

EF

BC

（第11题）