2024年3月9日发(作者：青岛会考数学试卷)
六年级上册思维训练
第一讲 分数的巧算
1
1111
例题1：计算：++++
42
56
72
90
110
11111111
分析：观察该式的特征，发现==-；==-；……因
42
67
67
56
7878
此可以把原式中的各数拆分成两个分数的差，使计算简便。
解：
1
1111
++++
42
56
72
90
110
1111111111
=-+-+-+-+-
6778899
1010
11
11
=-
611
5
=
66
537
554
×+×+×
27827
12
2427
例题2：计算：
分析：观察该式的特征发现，只要把后两个积的因数分子、分母互换，使每
个积中都有
5
这个因数，再按乘法分配律进行计算。
27
537
554
解：×+×+×
27827
12
2427
3
55754
=×+×+×
8
27
12
272724
3
754
=×（++）
8
12
2427
527
=×
2724
5
=
24
方法技巧：通过以上各题的解答，我们不难发现，在做较复杂的计算题时要
认真观察式中的运算结构和数字特点，进行适当拆分、结合，正确地运用学过的
运算定律和性质进行适当变形，使计算过程变得简单、易于口算。
练习：
1
1、
1
1111
90
+
110
+
132
+
156
+
182
2、
1
1012
+
1
1214
+
11
1416
+
1618
3、
111
18
+
54
+
108
+
1
180
+
1
270
4、
111111
50
+
150
+
300
+
500
+
750
+
1050
5、
4778
3
11
×
15
+
11
×
15
+
11
×
7
15
6、
63311
7
×
25
+
7
×
25
+
8
7
×
3
25
7、1
5
11
×
9
37
+
13
37
×
989
11
+
11
×
37
2
8、
1236123
12
×1-×+×
7
3
第二讲 盈 亏 问 题
例题1：植树小组种树，如果每人种5棵树，还剩下5棵树苗；如果每人种
6棵树，就缺少4棵树苗。这个植树小组有多少人？这批树苗一共有多少棵？
分析解答：已知每人种5棵，还剩下5棵树苗，也就是说树苗多出来了（盈）；
如果每人种6棵，就缺少4棵树苗，树苗不够了（亏）。一“盈”一“亏”相差（5+4）
棵，即如果按照第二种方法，可以比第一种办法多栽9棵。这是由于每人多种
（6-5）棵树苗。根据这两个差数的对应关系就可以求得植树小组的人数，然后
再求得树苗的棵数。
（5+4）÷（6-5）=9（人）
5×9+5=50（棵）
答：这个植树小组有9人，这批树苗一共有50棵。
例题2：给住校生安排宿舍，每个房间住5人，则缺27个床位；若每个房
间住7人，则空出9个房间。求住校生人数与房间数。
分析解答：题中条件有两层意思，即两种安排方法。解题的关键是先求出两
种安排相差的人数和每个房间多住的人数。
根据题意，每个房间住7人，则空出9个房间，若都住满，还需增加7×9=63
（人），两种安排相差27+63=90（人），这是因为每个房间多住7-5=2（人）。根
据这两个差数的对应关系就可以求出房间数，然后再求出住校生人数
（27+7×9）÷（7-5）=45（人）
5×45+27=252（人）
或7×（45-9）=252（人）
答：住校生有252人，房间有45个。
练习：
1、幼儿园给小朋友分苹果，如果每人分3个，多8个苹果；如果每人分5
个，那么就差52个苹果。小朋友有几人？苹果有多少个？
4
2、学校给住校的新生安排宿舍，每个房间住3人，则多出64人；每个房间
住5人，恰好安排好。房间有多少个？住校的新生有多少人？
3、学校买来羽毛球若干个，平均分给各班。如果每班分6个，还差24个；
如果每班4个，刚好分完。学校买来羽毛球多少个？有多少个班？
4、少先队员去植树，如果每人植5棵，还剩16棵；如果每人植7棵，还剩
4棵。参加植树的少先队员有多少人？共有树多少棵？
5、猴子分桃子。每只小猴分5个还多46个；每只小猴分9个，还多6个。
这堆桃子有多少个？小猴有多少只？
6、育新小学买来一批铅笔，奖给三好学生。如果每人奖5枝，则差2枝；
如果每人奖7枝，则差98枝。三好学生有多少人？学校共买铅笔多少枝？
7、学校买来一批新书。如果每人借5本，则少125本；如果每人借3本，
则少35本。借书的学生有多少人？买来的新书有多少本？
8、同学们去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，
还有2人留在岸上。问有多少个同学去划船？
5
第三讲 循 环 小 数
3
可以化成循环小数，请问这个循环小数的小数点后第2008位小
56
数上的数字是几？
3
分析：因为56=2×2×2×7，所以可以化成循环小数为0.053571428.前3
56
例题1：
位小数不循环，从第4位小数开循环，其循环长度为6，循环节内序号与数字的
对应关系为（1）→5，（2）→7，（3）→1，（4）→4，（5）→2，（6）→8。
3
=0.053571428
56
（2008-3）÷6=334……1
序号（1）所对应的数字是5。
答：第2008位上的数字是5。
解：
123456
，，，，，写成循环小数的形式。
777777
（2）观察分析这些循环小数的循环节，归纳出它们有哪些特点？
3
12
解（1）=0.142857 =0.285714 =0.428571
7
77
456
=0.571428 =0.714285 =0.857142
777
（2）主要特点可归纳如下三条：
①六个循环节中数字相同，仅仅是位置的推移。
②把每个循环节看成六位数，都能被9整除。
③每一个循环节的六个数字，由前三位数字组成的三位数加上后面的三位
数，和都是999，即142+857=285+714=428+571=…=999
练习：
1、写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立；
0.6+0.06+0.006+……=2006÷
2、请在小数1.1001203的某位数上加一个循环点，使新产生的循环小数尽
可能小。
例题2：（1）试分别将分数
6
252413
，，0.51，，是其中的6个。如果按从小
394725
到大的顺序排列，第4个数是0.51，如果按从大到小的顺序排列，第4个数是
。
1
4、把化成小数。（1）小数点后第27位是 。（2）小数点后第1001
7
位四舍五入，那么第1000位是 。
1
5、把化成小数后，小数点后面1001位各位上的数字和是多少？
81
9
6、把化成小数后，小数点后第100位上的数字是 。
14
a
7、真分数化成小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字
7
之和是2000，那么a的取值是多少？
a
8、真分数化成小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字
7
之和是2019，那么a= 。
3、有8个数；0.51，
7
第四讲 抓不变量解题
3
例题1：有两筐梨，乙筐是甲筐的，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙
5
7
筐的梨是甲筐的。甲、乙两筐梨共重多少千克？
9
分析：由于题中两筐梨的总重量没有变，我们把两筐梨的总重量看做“1”，则
59
，后来甲筐梨占总重量的。所以，5千克梨相
97
53
59
当于总重量的（-）。
53
97
59
即5÷（-）=80（千克）
53
97
答：甲、乙两筐梨共重80千克。
例题2：有两段布，一段布长40米，另一段布长30米，把两段布都用去同
3
样长的一部分后。发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的，每段
5
布用去多少米？
原来甲筐梨占总重量的
分析：题中两段布长度的差没有变。两段布用去前与用去后的长度差都是
32
40-30=10（米）。10米相当于长的一段布所剩米数的1-=，所以长的一段布
55
2
所剩的米数是10÷=25（米）。用去40-25=15米。
5
3
40-（40-30）÷（1-）=15（米）
5
答：每段布用去15米。
练习：
1
1、学校一年级原来有少先队员是非少先队员的，后来又有39名同学加入
3
7
了少先队组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的。一年级有学生多少人？
8
1
2、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的，后来从合格产品中
19
又发现2个不合格产品，这时算出产品合格率是94%。合格产品共有多少个？
8
3、六（1）班参加数学兴趣小组的人数是没有参加数学兴趣小组的
又有6人加入了数学兴趣小组，这样参加的人数是未参加人数的
多少人？
4、学校红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的
时红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的
少瓶？
3
5、阅览室看书的同学中，女同学占，从阅览室走出4位女同学后，看书
5
5
的同学中，女同学占，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？
9
6、有两根绳子，一根长80米，另一根长40米。如果从两根绳上各剪去同
2
样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的，两根绳各剪去多少米？
7
5
7、今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的时，儿子多少岁？
12
8、仓库里原来存的大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，
3
仓库里所剩下的大米袋数是面粉的，仓库里原有大米和面粉各多少袋？
4
4
。后来又买进60瓶红墨水，这
9
1
，后来
2
4
。这个班共有
5
6
。这个学校现有红、黑墨水的总数是多
11
9
第五讲 倒推法解题
1
例题1：筑路队修一条路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下
5
的
2
，还剩500米，这段路全长多少米？
7
分析：从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1-
25
=，第一天修后
77
51
余下500÷=700米，如果第一天正好修全长的，还余下700+100=800米，
75
144
这800米占全长的1-=，这段路全长是800÷=1000米。
555
21
列式：[500÷（1-）+100]÷（1-）=1000（米）
75
答：这段路全长1000米。
11
例题2：有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给
35
甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
分析：从最后结果出发倒推，甲、乙两桶油共有24×2=48千克，当乙桶没
11
有倒出给甲桶时，乙桶内有油24÷（1-）=30千克。这时甲桶只有48-30=18
55
11
千克，而甲桶已倒出了给乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1-）=27千克，
33
乙桶原有的油为48-27=21千克
11
甲：[24×2-24÷（1-）]÷（1-）=27（千克）
53
乙：24×2-27=21（千克）
答：甲桶原有油27千克，
乙桶原有油21千克。
练习：
23
1、修一条路，第一天修了全长的又16米，第二天修了余下的，还剩
54
41米，公路全长多少米？
21
2、一堆煤，上午运走，下午运的比余下的还多6吨，最后剩下14吨还
73
没有运走，这堆煤原有多少吨？
10
1
3、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的又2公顷，第二天耕的比余
3
1
下的多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？
2
11
4。、一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下的少2吨，还
23
剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？
11
5、小华拿出自己邮票的给小刚，小刚再从自己现有的画片中拿出给小
54
华，这时两人各有画片12张。原来两人各有画片多少张？
11
6、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲。这
54
时他们各有90元，他们原来各有多少元？
11
7、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，
44
这时两桶油各有90千克，原来甲、乙两桶各有多少千克油？
11
8、有一筐桔子，小明和弟弟第一天吃了，第二天吃了余下的，第三天
33
1
又吃了余下的，筐里还有8个，原来筐里有多少个桔子？
3
11
第六讲 圆 的 面 积
例题1：求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
思路导航：如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成一个1/4圆的面积，
如图示。
6
2
×3.14×
1
=28.26（平方厘米）
4
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。
例题2：求图1中阴影部分的面积（单位：厘米）。
（1） （2）
思路导航：阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图2
所示），从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的
一半。
3．14×4×
2
1
-4×4÷2÷2=8.56(平方厘米)
4
答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习：
1、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
12
2、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
3、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
4、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
5、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
6、如图所示，直径BC=8厘米，AB=AC,D为AC的中点，求阴影部分的面积。
7、如图所示，AB=BC=8厘米，求阴影部分的面积。
8、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆周分成相等的两段弧，
阴影部分（1）与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
13
第七讲 浓 度 问 题
例题1：有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%，需要再加
入多少克糖？
思路导航：根据题意，在7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的
质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据
原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质
量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中的水的质量：600×（1-7%）=558（克）
现在糖水的质量：558÷（1-10%）=620（克）
加入糖的质量：620-600=20（克）
答：需要再加入20克糖。
例题2：一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克
浓度为35%的农药加多少千克水，才能配成1.75%的农药800千克？
思路导航：把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。
在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。
800千克1.75%的农药中含纯农药的质量为
800×1.75%=14（千克）
含14千克纯农药的35%的农药质量为
14÷35%=40（千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为
800-40=760（千克）
答：用40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为
1.75%的农药800千克。
练习：
1、现在有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加
糖多少克？
14
2、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度为20%，需加盐多少千克？
3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升的
纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升的溶
液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？
4、在20%的盐水中加入10千克水，浓度为15%。再加入多少千克盐，浓度
为25%？
5、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥。现有含氨16%的氨水30千克，配制
时需加水多少千克？
6、仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水
量降低到80%。现在这批水果的质量是多少千克？
7、一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再
用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？
8、在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫
酸溶液就可以配制成25%的硫酸溶液？
15
第八讲 鸡兔同笼问题
例题1：现有5元、2元、1元的三种人民币500张，共计1400元。已知5
元和1元的张数相同。问这三种人民币各有多少张？
分析解答：因为5元和1元的张数相同，看成一种（5+1）元的。假设500
张都是2元的，共有2×500=1000（元），比实际1400元少400元。这是因为
把5元和1元的都当做2元计算了。拿2张2元换成5元和1元各1张，每换
2张多5+1-2×2=2（元），因此5元和1元的各有400÷2=200（张）。2元人
民币有500-200×2=100（张）。
综合算式：（1400-2×500）÷（5+1-2×2）
=200（张）……（5元和1元各有的张数）
500-200×2=100（张）……（2元张数）
答：5元和1元人民币各有200张，2元人民币有100张。
例题2：小明计算20道数学竞赛题，做对一道题得5分，做错一道题倒扣3
分，结果小明得了60分。问他做对了几道题？
分析解答：做对一道竞赛题可得5分，如果小明20道竞赛题全对，可得5
×20=100（分），实际他只得了60分，少得了100-60=40（分），这说明小明
做错了一部分题。做错一题不仅得不到5分，反而要倒扣3分，也就是做错一
题少得5+3=8（分），由此可求出小明做错的题目数是40÷8=5（道），做对了
20-5=15（道）。
综合算式：20-（5×20-60）÷（5+3）=15（道）
答：小明做对了15道题。
练习：
1．鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只？
2．鸡兔同笼，共有头48个，脚132只，求鸡和兔各有多少只？
16
3．一个饲养组一共养鸡、兔78只，共有200只脚，求饲养组养鸡和兔各多
少只？
4．鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？
5．小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名
买了多少张？
6．小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各
买了多少张？
7．小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194
分，求两种硬币各有多少枚？
8．三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10
元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗？
17
综合练卷（一）
1、
11111
2、++++
42870130
208
12
，第二天看了余下的，第二天
45
比第一天多看了15页，这本书共有多少页？
4、某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的25%，第二车间的
3
人数是第三车间的。已知第一车间比第二车间少40人，三个车间一共有多少
4
人？
1
5、学校六年级三个班植树，一班植树的棵数占三个班总棵数的，二班与三班
5
植树棵数的比是3：5，二班比三班少植树40棵，这三个班各植树多少棵？
6、牛的头数比羊的头数多25%，羊的头数比牛的头数少百分之几？
1
111
+++…+
35
5779
9799
3、小红三天看完一本书，第一天看了全书的
18
7、小红的彩笔枝数是小刚的
12
，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的，
23
两人原来各有彩笔多少枝？
43
7
8、的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数？
61
9
9、一杯糖水，其中糖占25%，再放入15克水后，糖占20%，这杯糖水中糖有多
少克？
71
10、三（1）班上学期男生占，这学期转进6名女生后，男生就只占了，这
2
13
个班现有女生多少人？
11、甲、乙、丙、丁四个筑路工人共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其
111
他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，
234
丁队筑了多少米？
12、求阴影部分的面积（单位：厘米）
4
4
13、两个圆的周长和是94.2厘米，已知大圆的半径是小圆半径的4倍，求这两
个圆的面积各是多少平方厘米？
19
1
14、一桶油，第一次用去它的，第二次比第一次多用去20kg，还剩16kg，这
5
桶油有多少千克？
15、一张桌子32元，一把椅子13元。现买桌子和椅子共40件，付款786元。
问买桌子多少张？椅子多少把？
16、鸡和兔共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。问：鸡、兔各
有多少只？
17、有鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡、兔各有多少只？
18、用25根长度分别为8米和5米的两种规格的管子铺一段170米的管道，两
种管子各用多少根最合理？
19、有浓度是10%的盐水500克，放了一天，水份蒸发掉50克，这时盐水的浓
度是多少？
20、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥，现有含氨20%的氨水30千克，配制时需
要加水多少千克？
20
六年级下册思维训练
第一讲 最大最小问题
例题1：a和b是小于100的两个不同的自然数，求
ab
的最大值。
ab
思路导航：根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能的小。所以b=1；
由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所求的分数再添两个分数单位就等于
1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99。
ab9919849
的最大值是==
ab99110050
ab49
答：的最大值是
ab50
例题2：有甲、乙两个两位数，甲数的
最多是多少？
思路导航：甲数∶乙数=
22
∶=7∶3，甲数是7份，乙数是3份。由甲是两
37
22
等于乙数的。这两个两位数的差
73
位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的
差是14×（7-3）=56。
答：这两个两位数的差最多是56。
练习：
1、设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求
2、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a>b，求
ab
的最小值。
ab
xy
的最大值。
xy
21
xy
3、x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x>y，①求的最
xy
xy
大值；②求的最小值。
xy
4、有甲、乙两个两位数，甲数的
是多少？
5、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的
两数的和最小是多少？
6、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时
分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排
多少工人？
7、连续7个偶数的和是196，这七个数中最小的一个偶数是多少？
8、长方体的所有棱长之和为48厘米，当长方体的长、宽、高分别为多少时，
体积最大？
51
恰好等于乙数的，那么甲、乙
64
34
等于乙数的。这两个两位数的差最多
105
22
第二讲 行 程 问 题
2
小时后，离乙地还有96千米，
5
已知它4小时可行完全程，两地的距离是多少？
23
分析解答：由题意可知，行96千米需4-2=1（小时）。因为速度一定，
55
3
22
时间的比即为路程的比，由此求出剩下的路程为全程的1÷4=，再用96÷即
5
55
例题1：一辆汽车从甲地开往乙地，行驶2
可求解
解：96÷[（4-2
2
）÷4]
5
3
=96÷[1÷4]
5
2
=96÷
5
=240（千米）
答：两地的距离是240千米。
2
想一想：96÷（4-2）×4正确吗？
5
例题2：甲、乙两车从相距470千米的两城相向而行，甲车每小时行38千
米，乙车每小时行40千米，乙车先出发2小时，甲车才出发，甲车开出几小时
后与乙车相遇？
分析解答：先从470千米里去掉乙车单独行2小时的路程，然后按“相遇时
间=相遇路程÷速度和”求解。
解：（470-40×2）÷（38+40）
=390÷78
=5（小时）
答：甲车开出5小时后与乙车相遇。
练习：
1、龟兔赛跑，全程2000米，龟每分爬25米，兔每分跑325米；兔自以为
能得第一，途中睡了一觉，结果龟到在终点时，兔离终点还有700米，兔睡了几
分？
2、客货两车从甲、乙两地同时相向而行，客车行全程要3小时，货车每小
时行60千米，行了72千米遇上客车，求甲、乙两地距离？
23
3、美羊羊开车去看音乐会，以每小时12千米的速度，2小时可以到达。车
行了15分后，发现忘带入场劵，以原速返回家，这时，它以每小时多少千米的
速度才能按时到达？
4、一辆汽车从甲地开往乙地，每分行525米，预计40分钟到达，但行到一
半路程时，汽车发生故障，用5分钟修理完毕。如果仍需在预定时间到达，行驶
余下的路程每分需比原来快多少？
5、甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲每小时行12千米，乙每小时
行10千米，两人在距中点3千米处相遇。A、B两地相距多少千米？
6、一辆轿车和一辆时速比它慢20千米的卡车，分别从甲、乙两地同时相对
1
开出，行驶2小时后，两车还相距全程的，轿车这时已到中点，求两地距离。
6
7、两列火车，甲车长60米，每秒行10米，乙车长40米，每秒行15米，
两车从相遇到离开需要几秒？
8、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米，
甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5
千米的地方与乙车相遇，甲车每小时行多少千米？
24
第三讲 工 程 问 题
实际生活中，经常遇到这样一类问题：“某一件工作中，甲单独完成需要若干
天，乙单独完成需要若干天，问甲、乙合做这件工作，需要多少天完成。”这一类
问题，我们称之为工程问题。工程问题中有三个基本量，一个是工作量，另外两
个分别是工作效率和工作时间。
工作量=工作效率×时间。
这一关系式是工程问题的基本关系式。
例题1：有一项工作，单独做甲需要6天完成，乙需要30天完成。（1）甲、
乙合做需要几天完成？（2）如果甲先做了3天，乙才参加，乙参加进来后几天
完成这项工作？（3）如果甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，完成
这项工作用了几天时间？
解：（1）因甲单独做6天完成这项工作，所以甲的工作效率为
工作效率为
1
30
111
+=。
6
30
5
1
，同样乙的
6
甲、 乙两人合做的工作效率就应为
1
所以甲、乙合做需要的天数为1÷=5（天）
5
11
（2）甲先做3天，完成的工作量为×3，剩余工作量为1-×3。甲、乙
66
111111
合做完成剩余工作所用的时间应为（1-×3）÷（+）=÷=2（天）
66
30
252
（3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天。可以这样考虑：假设甲不休
息，那么甲、乙
17
两人完成的总的工作量为1+=，因此完成这件工作所花费的时间应为
66
111355
（1+）÷（+）==5（天）。
66
30
6
6
例题2：甲、乙两台不同的拖拉机合耕一块地共需要10小时。在共同工作
了4小时后，甲拖拉机发生故障，由乙单独又耕了18小时才完成。甲、乙两台
拖拉机单独耕这块地各需要多少小时？
25
分析：题目要求甲、乙两台拖拉机单独耕这块地所需要的时间，实际上是要
1
求甲、乙两台拖拉机工作效率。由已知条件知甲、乙两台拖拉机工作效率和为，
10
因此只需先求出乙的工作效率。为此，我们将工作时间分为两阶段考虑，第一阶
段为甲、乙合耕，第二阶段为乙单独耕，设法利用已知条件求出乙的工作效率。
解：因甲、乙合耕10小时可完成，所以甲、乙两台拖拉机工作效率的和为
1
1÷10=。
10
142
甲、乙合耕了4小时，完成的工作量为×4==，
10105
23
剩下工作量为1-=。
55
31
剩下工作由乙18小时完成，所以乙的工作效率为÷8=。
5
30
111
甲的工作效率为-=。
10
30
15
1
因此乙单独耕这块地需要1÷=30（天）
30
1
甲单独耕这块地需要1÷=15（天）
15
练习：
1、有一桶水，小明一人可饮14天，若和小丽同饮可饮用10天。若小丽独
自一人可饮用几天？
2、甲、乙两队挖河，甲队单独挖8天可完成，乙队单独挖12天可完成。现
在两队同时挖几天后乙队调走，余下的甲队3天完成。乙队挖了多少天？
3、有一条公路，甲队修10天可完成，乙队修12天可完成，丙队修15天可
完成。现在三队合修，但中途甲队调到另外的工地，结果共花了6天才把公路修
完。甲队调走后，乙、丙两队又合修了多少天？
26
4、某工程由甲单独做40天，再由乙单独接着做15天可以完成。如果甲、
乙两人合做需要30天完成。现在甲先单独做20天，然后再由乙单独接着做，还
需要多少天才能完成？
5、一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要12天完成。已知这
项工程先由甲队做了若干天，然后由乙队继续完成，从开始到完成共用了14天。
那么甲队先做了几天？
6、有甲、乙两件工作，小张单独完成甲工作需10天，单独完成乙工作要
15天。小王单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要20天。如果两人合作完
成这两项工作，最少需要多少天？
11
，乙、丙
66
3
1
两人接着加工1小时，又完成了，甲、丙又合做了2小时，完成了。剩下
3
20
7、加工一批零件，甲、乙两人合做1小时，完成了这批零件的
的任务，甲，乙，丙三人合做还要多少小时？
8、一个水池有两根进水管和一根出水管。进水管甲12小时可将水池注满水，
进水管乙20小时可将水池注满水，出水管15小时可将小池的水放完。三管同时
打开，多少小时可以将水池注满水？
27
第四讲 圆柱与圆锥
例题1：有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端
有一个圆柱形的直孔，如图所示。圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这
个零件按触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
分析：这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意
圆孔内的表面，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度
不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，
我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱体的底面。
解：涂漆面积为：
8
3.14×（）
2
+3.14×8×12+3.14×6×7
2
=3.14×（32+96+42）
=3.14×170
=533.8（平方厘米）
答：涂油漆面积是533.8平方厘米。
例题2：在一只底面直径是40厘米的圆柱形水缸里，有一个直径是10厘米
的圆锥形铸件完全浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米。求铸件的高。
分析：这道题关键是要理解下降部分水的体积，就是铸件的体积。
解：（1）下降部分水的体积：
40
2
3.14×（）×0.5=628（立方厘米）
2
（2）铸件的高：
10
628×3÷[3.14×（）
2
]=24（厘米）
2
答：铸件的高是24厘米。
练习：
1、如图所示的一个零件，上端是一个高为8厘米，底面半径为2厘米的圆
柱体；下端是一个高为3厘米的圆锥体。求这个零件的体积。
28
2、如图所示是一个棱长为40厘米的正方体形零件，它的上、下两个面各有
一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。
3、有两个圆柱形的油桶，形体相似（即底面半径与高的比值相同），尺寸如
图所示。两个油桶都装满了油，如果小的一个装了3千克油，问大的一个装了几
千克油？
4、一个圆柱体的侧面积是8平方厘米，底面半径是2厘米。它的体积是多
少立方厘米？
5、一个底面直径为20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径
是9厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降
多少厘米？
6、一个圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如图所示。
已知一个剖面的面积是100平方厘米，半圆柱的体积为301.44立方厘米。求原
来钢材的侧面积。
7、用直径为20厘米的圆钢，锻造长300厘米、宽100厘米、厚5厘米的长
方体钢板，应截取圆钢多长？（精确到0.1厘米）
8、如图所示，求这一物体的体积。（单位：厘米）
29
第五讲 比例的应用
例题1：飞机4小时共飞行1760千米，用同样的速度从甲城飞往乙城，共
飞行7小时，甲、乙两地相距多少千米？
分析解答：因为
正比例。
解：设甲、乙两城相距x千米。
1760x
=
7
4
4x=1760×7
x=3080
答：甲、乙两城相距3080千米。
例题2：一列火车从甲城开往乙城每小时行50千米，4.8小时可以到达。如
果速度加快20%，可以提前几小时到达？
分析解答：因为“速度×时间=路程（一定），所以火车行驶的速度和时间成反”
比例。
解：设可以提前x小时到达
[50×（1+20%）]×（4.8-x）=50×4.8
50×1.2×(4.8-x)=50×4.8
4.8-x=4
x=0.8
答：可以提前0.8小时到达。
练习：
1、一个施工队安装一条长660米的水管，前6天安装了264米，照这样计
算，装好这条水管还要多少天？
2、某车间用电锯把一根长4米的圆钢锯成80厘米一段，需要40分种，如
果改锯成50厘米一段，需要多长时间？
30
路程
=速度，已知飞机飞行的速度一定，所以路程和时间成
时间
3、某食堂买来一批煤，原计划每天用4.5吨，可以用24天，实际每天比原
计划节约0.9吨，实际可以用多少天？
4、某橡胶厂要生产10800双胶鞋，原计划25天完成，革新技术后，每天的
工作效率提高了25%，这样可比原计划提前多少天完成？
5、一间教室，如果用边长是0.3米的方砖铺地，需要800块，如果改用边
长0.4米的方砖铺，可以少用多少块？
6、装订一批作业本，每本20页，可以装订300本。如每本30页，可以装
订多少本？
7、一列火车从甲地到乙地需要8小时，当速度提高25%时，从甲地到乙地
要几小时？
8、用同样的砖铺地，铺18平方米要用砖618块。如果铺24平方米，要用
砖多少块？
31
32
第六讲 牛 顿 问 题
1.什么是牛顿问题？
17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普通算术》的书，书中有这样一
个“牛吃草”的问题：
1
有三片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快。它们的面积是3亩，
3
10亩，24亩。12头牛4星期吃完第一片场原有的和4星期内新长出的草；21
头牛9星期吃完第三片牧场原有的和9星期内新长出来的草。问多少头牛18星
期才能吃完第三片牧场原来的和18星期新长出来的草？
像这样涉及到三种数量：原有的草、新长出来的草、牛吃掉的草的应用题，
称为牛顿问题。
牛顿问题不仅可以用“牛吃草”的形式来反映，还可以用其他形式来反映（如
“漏水”、“检票进站”等）。
2.牛顿问题的计算公式
吃草的总量包括两部分：（1）原有草量，（2）在吃草时间内新长出来的草
量。
吃草的总量=牛头数×星期数×一头牛每星期吃草量
例题1：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快，这片青草供10头牛吃，
可以吃20天；供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃多少天？
分析：牛吃草问题中的总量包括两个部分：（1）原有草量（不变），（2）在
牛吃草的时间内新长出的草量（随时间变化）。解题的关键要求原有草量和一天
新长出的草量。
10头牛20天吃的草量=原有草量+20天新长草量
15头牛10天吃的草量=原有草量+10天新长草量
比较这两组数量关系式，就很容易求出每天新长出的草量和原有草量。
解：设一头牛一天吃的草量为“1”。
10头牛20天吃的草量：1×10×20=200
15头牛10天吃的草量：1×15×10=150
（20-10）天内新长出的草量：200-150=50
每天新长出的草量：50÷（20-10）=5
原有草量：200-5×20=100
100÷（1×25-5）=5（天）
33
答：这片草给25头牛吃，可以吃5天。
例题2：某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每
分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一
个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票后多
少分钟就没有人排队？
分析：题目中“已有排队的人”，相当于“原有的草”，“每分钟来10人”相当于“新
长出的草”。用“牛吃草”问题的思路就很容易解决问题
解：25×8-10×8=120（人）
120÷（25×2-10）=3（分钟）
答：只要3分钟就没有人排队。
练习：
1、有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，21头牛8天可以将草吃完。若
放16头牛，几天可以吃完？
2、牧场上的一片牧草，可供27头牛吃6周，也可供23头牛吃9周。如果
牧草每天匀速生长，且每头牛每天的吃草量相同，那么这片牧草可供21头牛吃
几周？
3、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内。发现漏洞时已进入了一
些水，如果用12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5个人淘水，要10小时
才能淘完。现在要2小时淘完，需要多少人？
4、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活
300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，
那么地球最多能养活多少人？
34
5、一片草地，如果9头牛吃，12天吃完所有的草；如果8头牛吃，16天吃
完所有的草。现在，开始只有4头牛，从第7天起又增加了若干头牛，再用6
天吃完所有的草。问增加了多少头牛？
6、一片牧场上的青草到处长势一样，只知70头牛24天把草吃完，30头牛
60天把草吃完。如果要96天把草吃完，牛的头数应该是多少？
7、某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数量是固定
的。一个入口每分钟可以进入10个游客。如果开放4个入口20分钟就没有人排
队。现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？
8、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从
开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检
票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
35
第七讲 抽屉原理问题
例题1：某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部
分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。
应用抽屉原理，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件
以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
例题2：一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有
10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木
块？
分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至
少有3件物品，根据抽屉原理，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少
要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
练习：
1、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，
才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书？
2、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷
子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？
3、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任
意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？
36
4、证明：在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
5、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，
那么至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？
6、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有
相同的点数?
7、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，
他们是同年同月出生的？
8、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄
三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的？
37
第八讲 逻辑推理问题
例题1：假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别
为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
解：由满6向空5倒，剩1升，把这1升倒5里，然后6盛满，倒5里面，
由于5里面有1升水，因此6只能向5倒4升水，然后将6剩余的2升，倒入空
的5里面，再灌满6向5里倒3升，剩余3升
例题2：周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。一天，周雯来到化验室做作业。
做完后想出去玩。“等等，妈妈还要考你一个题目，”她接着说，“你看这6
只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。你能只动1只玻璃
杯，就使盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗？”爱动脑筋的周雯，是学校里有名
的“小机灵”，她只想了一会儿就做到了。请你想想看，“小机灵”是怎样做的？
解：设杯子编号为ABCDEF，ABC为满，DEF为空，把B中的水倒进E中即可。
练习：
1、A，B，C，D四人中只有一人体育未达标，当有人问他们是谁体育未达标
时，A说：“是B”，B说：“是D”，C说：“不是我”，D说：“B说错了”。
如果这四句话中只有一句是对的，那么体育未达标的是谁？
解：C 。提示：B与D的话刚好相反，所以肯定一对一错，又因为只有一句话是对的，所
以A，C说的都错了，所以体育未达标的是C。
2、小光的电脑开机密码是一个五位数，它由五个不同的数字组成．小伟说：
“它是73152．”小华说：“它是15937．”小丽说：“它是38179．”小光说：
“谁说的某一位上的数字与我的密码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这位数
字．现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字．”这个密码是____ 。
解：75139。提示：因为他们每人都猜对了两个数字，所以三人共猜对六个数字.又因为密码
是五位数，所以三个人所猜的三个数中必有某位的数被两人猜对，而其他位上的数字只有
一人猜对，由观察知第三个数字是1，当小伟猜对1和2时，小华和小丽分别猜对5，3和
3，1即密码为35132，与密码由五个不同数字构成矛盾，所以小伟猜对7和1，小华猜对了
5和3，小丽猜对了1和9.所以这个密码是75139.
38
3、某校五年级的三个班举行羽毛球混合双打表演，每班男、女生各出一名，
男生是甲、乙、丙，女生是A、B、C．规定同班的男、女生不能配对，且每场比
赛中配对的选手各不相同．已知：第一盘：“甲和A”对“丙和B”；第二盘：
“丙和C”对“甲和某班女生”．那么，乙的同班女生是_____ 。
解：B。提示：由第一盘知，甲和A配对过，由第二盘知某班女生不可能是C，由于每场比
赛中配对的选手各不相同，所以某班女生是B.因为甲和丙都可以和B配对，所以B是乙的
同班女生。
4、小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学
校，并分别获得一、二、三等奖．已知：
(1)小强不是甲校选手；
(2)小明不是乙校选手；
(3)甲校的选手不是一等奖；
(4)乙校的选手得二等奖；
(5)小明不是三等奖．
解：甲校；三等奖。提示：由(2)、(4)知小明得的不是二等奖，由(5)知小明得的不是三等奖，
所以小明得的是-等奖，由(3)、(4)知小明是丙校的，由(1)知小强是乙校的，所以小勇是甲校
的，他得的是三等奖.
5、小白兔、小黑兔、小灰兔在商场各买了一条裙子，三条裙子的颜色分别
是白色、黑色、灰色。回家的路上，一只小兔说：“我想了好久白裙子，今天可
算是买到了！”说到这，她好像发现了什么，惊喜地对同伴们说：“今天我们可
真有意思！白兔没有买白裙子，黑兔没有买黑裙子，灰兔没有买灰裙子。”小黑
兔说：“真是这样的，你要是不说，我还真没注意到呢！”你能判断出小白兔、
小黑兔、小灰兔各买了什么颜色的裙子吗？
6、某商品的编号是一个三位数，现有5个三位数：874,765,123,364,925。
其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是
多少？
39
7、某班44人，从A、B、C、D、E五位候选人中选班长。A得选票23张，B
得选票占第二位，C、D得票相同，E的选票最少，只得了4票。那么B得选票多
少张？
8、A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在
为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，E赛了几盘？
40
综合练卷（二）
1、一件工作，若单独完成，甲需10小时，乙需15小时，丙需20小时，现由3
人合作，中途甲因事停工了几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时？
2、服装厂加工一批服装，原计划25天完成，工作了5天后，工效提高了25%，
这批服装全部加工完用多少天？
1
3、一个服装厂为赶制一批工作服，前10天完成了总任务的，由于改进了技术，
3
以后的工作效率比原来提高了25%，这样，完成全部任务，能比原计划提前几天？
4、一间教室，如果用边长是0.3米的方砖铺地，需要800块，如果改用边长0.4
米的方砖铺，可以少用多少块？
5、甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲和乙速度的比是6:5，当甲走到离
1
中点还有的地方，这时乙离中点还有多远？
3
6、学校原来存有一批煤，用去的比总数的40%少10吨，又运进130吨，这时学
校里的存煤量与原来存煤量的比是7:5，学校原来存煤多少吨？
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7、一个圆柱形水桶，底面直径是40厘米，里面盛有80厘米深的水，现将一个
1
底面周长为62.8厘米的圆锥形铁块沉浸在水桶之中，水面比原来上升了，求
16
圆锥形铁块的高是几厘米？
8、一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积比圆锥的体积大36立方厘米，圆
柱体和圆锥体的体积各是多少立方厘米？
9、给定1997个连续的自然数，已知其中最小数与最大数的平均值是1997，那
么最大数等于多少？
10、小明家的闹钟每小时快4分。星期日早上8点整，小明将此钟对准后就回姥
姥家去了，从姥姥家回来，一看闹钟是下午6点40分，问小时下午回到家标准
时间是几点？
11、一只闹钟每小时慢4分，在标准时间5点整时对准，现在标准时间是12点
整，问多少分后，这只闹钟才走到12点？
12、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。若5人淘水，8小
时可以淘完；10人淘水，3小时可以淘完。如果要求2小时淘完，需要多少人淘
水？
13、一个蓄水池，每分流入4立方米水。如果打开5个水龙头，150分可把水池
水放空；如果找开8个水龙头，90分可把水池水放空。现在打开13个水龙头，
问要多少时间才能把水池水放空？
42
14、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点距中点320米。已
5
知甲的速度是乙的速度的，甲每分钟行800米，求A、B两地的路程？
6
15、甲、乙两人，甲的步行速度是乙的1.4倍，两人分别从A、B两地同时出发，
相向而行，0.5小时后相遇，如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？
16、A、B、C三个足球队进行一次比赛，每两个队赛一场，按规则每胜一场得2
分，平一场得1分，负一场得0分，现在已知：
（1）B队一球未进，结果得1分。
（2）C队进一球，失2球，并且胜了一场
求A队结果得几分？
17、布袋里有4种不同颜色的球每种都有10个，最少取出多少个球，才能保证
其中一定有3个球的颜色一样？
18、某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、
书法和英语，每人可参加1个，2个，3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几
名学生参加的项目完全相同？
19、从1至30中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3
的倍数？
20、某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本
的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书？
（每种书最多买一本）
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