2024年3月13日发(作者：济源中招一模数学试卷)
中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习
类型一 数式规律
1.
我国战国时期提出了
“
一尺之棰，日取其半，万世不竭
”
这一命题，用所学知识来解
1
释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为
2
尺，第二天再折断一半，其
1
长为
4
尺，
…
，第
n
天折断一半后得到的木棍长应为
________
尺．
1
2
n
2.
如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第
9
行从左至右
第
5
个数是
________
．
第
2
题图
n
（
n
＋
1
）
，∴
2
41
【解析】由图形可知，第
n
行最后一个数为
1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
＝
第
8
行最后一个数为
8×9
2
＝
36
＝
6
，则第
9
行从左至右第
5
个数是
36
＋
5
＝
41.
3.
观察下列关于自然数的式子：
1
2
－
1
2
①
第一个式子：
4×
2
2
－
3
2
②
第二个式子：
4×
3
2
－
5
2
③
第三个式子：
4×
…
根据上述规律，则第
2019
个式子的值是
______
．
8075
【解析】∵
4×1
2
－
1
2
＝
3
①，
4×2
2
－
3
2
＝
7
②，
4×3
2
－
5
2
＝
11
③，
…
，
4n
2
－
(2n
－
1)
2
2019
－
1
＝
8075.
＝
4n
－
1
，∴第
2019
个式子的值是
4×
1111111
4.
将数
1
个
1
，
2
个
2
，
3
个
3
，
…
，
n
个
n
(n
为正整数
)
顺次排成一列：
1
，
2
，
2
，
3
，
3
，
11111
…
，
…
，
a
2
＝
2
，
a
3
＝
2
，
…
，
S
1
＝
a
1
，
S
2
＝
a
1
＋
a
2
，
S
3
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
，
…
，记
a
1
＝
1
，
3
，
n
，
n
，
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
n
，则
S
2019
＝
________
．
311
63
64
【解析】根据题意，将该数列分组，
1
个
1
的和为
1
，
2
个
2
的和为
1
，
3
个
3
的和
1
为
1
，
…
；∵
1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
63
＝
2016
个数，则第
2019
个数为
64
个
64
的第
3
个数，则
13
63
＋
3×
此数列中，
S
2019
＝
1×
64
＝
63
64
.
类型二 图形规律
5.
如图，在平面直角坐标系中，第一次将△
OAB
变换成△
OA
1
B
1
，第二次将△
OA
1
B
1
变
换成△
OA
2
B
2
，第三次将△
OA
2
B
2
变换成△
OA
3
B
3
，
…
，已知
A(1
，
3)
，
A
1
(2
，
3)
，
A
2
(4
，
3)
，
A
3
(8
，
3)
，
B(2
，
0)
，
B
1
(4
，
0)
，
B
2
(8
，
0)
，
B
3
(16
，
0)
．观察每次变换前后的三角形
的变化，按照变换规律，则点
A
n
的坐标是
________
．
第
5
题图
(2
n
，
3)
【解析】∵
A(1
，
3)
，
A
1
(2
，
3)
，
A
2
(4
，
3)
，
A
3
(8
，
3)
，
…
，∴纵坐标不变，为
3
，
横坐标都和
2
有关，为
2
，即点
An
的坐标是
(2
，
3)
．
6.
如图，
0)
，把正方形铁片
OABC
置于平面直角坐标系中，顶点
A
的坐标为
(3
，点
P(1
，
2)
在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转
90°
，第一
次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，
…
，则正方形铁片连续旋转
2019
次后，
点
P
的坐标为
________
．
nn
第
6
题图
(6058
，
1)
【解析】∵铁片
OABC
为正方形，
A(3
，
0)
，
P(1
，
2)
，∴正方形铁片
OABC
的边长为
3
，如解图第一个循环周期内的点
P
1
，
P
2
，
P
3
，
P
4
的坐标分别为
(5
，
2)
，
(8
，
1)
，
(10
，
1)
，
(13
，
2)
，
4
＝
504……3
，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加
12.
而
2019÷
12
＋
1
＝
6049
，纵坐标为
2
，所以点
P
2019
即
504
个循环周期后点
P
2016
的横坐标为
504×
的横坐标为
6049
＋
9
＝
6058
，纵坐标为
1.
故
P
2019
(6058
，
1)
．
第
6
题解图
7.
如图，在平面直角坐标系中，半径均为
1
个单位长度的半圆
O
1
，
O
2
，
O
3
，
…
，组成
π
一条平滑的曲线，点
P
从原点
O
出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
2
个单位长度，
则第
2019
秒时，点
P
的坐标是
________
．
第
7
题图
(2019
，－
1)
【解析】∵圆的半径都为
1
，∴半圆的周长＝
π
，以时间为点
P
的下标．观
察发现规律：
P
0
(0
，
0)
，
P
1
(1
，
1)
，
P
2
(2
，
0)
，
P
3
(3
，－
1)
，
P
4
(4
，
0)
，
P
5
(5
，
1)
，
…
，∴
P
4n
(4n
，
0)
，
P
4n
＋
1
(4n
＋
1
，
1)
，
P
4n
＋
2
(4n
＋
2
，
0)
，
P
4n
＋
3
(4n
＋
3
，
4
＝
504……3
，－
1)
．∵
2019÷
∴第
2019
秒时，点
P
的坐标为
(2019
，－
1)
．
8.
如图，已知菱形
OABC
的顶点
O(0
，
0)
，
B(2
，
2)
，若菱形绕点
O
逆时针旋转，每秒
旋转
45°
，则第
60
秒时，菱形的对角线交点
D
的坐标为
________
．
第
8
题图
(
－
1
，－
1)
【解析】∵菱形
OABC
的顶点
O(0
，
0)
，
B(2
，
2)
，∴
BO
与
x
轴的夹角为
45°
，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点
D
是线段
OB
的中点，∴点
D
的坐标是
(1
，
1)
，∵菱形绕点
O
逆时针旋转，每秒旋转
45°÷45°
，
360°
＝
8
，∴每旋转
8
秒，菱形的
8
＝
7……4
，∴第
60
秒时是把菱形绕点
O
对角线交点就回到原来的位置
(1
，
1)
，∵
60÷
45°
逆时针旋转了
7
周回到原来位置后，又旋转了
4
秒，即又旋转了
4×
＝
180°
，∴点
D
的对应点落在第三象限，且对应点与点
D
关于原点
O
成中心对称，∴第
60
秒时，菱
形的对角线交点
D
的坐标为
(
－
1
，－
1)
．
9.
如图，∠
MON
＝
60°
，作边长为
1
的正六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
，边
A
1
B
1
、
F
1
E
1
分别在
射线
OM
、
ON
上，边
C
1
D
1
所在的直线分别交
OM
、
ON
于点
A
2
、
F
2
，以
A
2
F
2
为边作正
六边形
A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
，边
C
2
D
2
所在的直线分别交
OM
、
ON
于点
A
3
、
F
3
，再以
A
3
F
3
为
边作正六边形
A
3
B
3
C
3
D
3
E
3
F
3
，
…
，依此规律，经第
n
次作图后，点
B
n
到
ON
的距离是
________
．
第
9
题图
3
n
－
1
3
【解析】由题可知，∠
MON
＝
60°
，设
B
n
到
ON
的距离为
h
n
，∵正六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的边长为
1
，∴
A
1
B
1
＝
1
，易知△
A
1
OF
1
为等边三角形，∴
A
1
B
1
＝
OA
1
＝
1
，
33
∴
OB
1
＝
2
，则
h
1
＝
2×
2
＝
3
，又∵
OA
2
＝
A
2
F
2
＝
A
2
B
2
＝
3
，∴
OB
2
＝
6
，则
h
2
＝
6×
2
＝
3
33
，同理可得：
OB
3
＝
18
，则
h
3
＝
18×
2
＝
93
，
…
，依此可得
OB
n
＝
2×3
n
－
1
，则
h
n
＝
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