2024年3月10日发(作者：广东一模数学试卷2023原卷)

25.（本小题满分10分）已知抛物线

C

1

的函数解析式为

yaxbx3a(b0)

，若抛物线

C

1

经过点

(0,3)

，方程

2

ax

2

bx3a0

的两根为

x

1

，

x

2

，且

x

1

x

2

4

。

（1）求抛物线

C

1

的顶点坐标.

（2）已知实数

x0

，请证明：

x

11

≥

2

,并说明

x

为何值时才会有

x2

.

xx

（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线

C

2

，设

A(m,y

1

)

，

B(n,y

2

)

是

C

2

上的两

个不同点，且满足：

AOB90

，

m0

，

n0

.请你用含有

m

的表达式表示出△

AOB

的面积

S

，并求出

S

的

最小值及

S

取最小值时一次函数

OA

的函数解析式。

（参考公式：在平面直角坐标系中，若

P(x

1

,y

1

)

，

Q(x

2

,y

2

)

，则

P

，

Q

两点间的距离为

(x

2

x

1

)(y

2

y

1

)

）

（2.2012滨州）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax

2

+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）

三点．

（1）求抛物线y=ax

2

+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

22

0

(5.2012云南)23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=

的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式（关系式）；

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；

x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x

2

+bx+c

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请

说明理由．

(7.2012岳阳)26．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图

形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐

标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C

1

，把锅盖纵断面的抛物线记为C

2

．

（1）求C

1

和C

2

的解析式；

（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C

1

于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、

B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；

（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C

1

或C

2

上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q

的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．


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