2024年4月17日发(作者：高安小升初数学试卷及答案)
高考数学----辅助角与最值问题曲型例题讲解
【规律方法】第一类：一次辅助角:
asin
bcos
=
a
2
+
b
2
sin(
)
．（其中
tan
=
b
）
a
第二类：二次辅助角
asin
ω
xcos
ω
x
bcos
2
ω
xa,b
0
asin
ω
xcos
ω
x
bcos
2
ω
x
=
()
a
sin2
ω
x
b
cos2
ω
x+1=
22
()
a
2
+b
2
sin2
ω
x
b
(tan
=
b
)
22a
()
【典型例题】
41
（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数
f
(
x
)
=sinx+cosx
，当
x=
时，
例5．
55
f
(
x
)
取得最大值，则
cos
=
（
）
A．
17
17
B．
417
17
4
C．
7
1
D．
7
【答案】A
4
4117
4117
cos
=
sinx+cosx=sinx+
()
【解析】
f
(
x
)
=sinx+cosx=
，（其中，
555
5
17
17
17
sin
=
1
）
17
当
x=
时，
f
(
x
)
取得最大值，此时
+
=
17
cos
=cos
−
+2k
=sin
=
.
17
2
2
+
2
k
(
k
Z
)
，得到
=
2
−
+
2
k
(
k
Z
)
，
故选：A.
2
（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若
x
,
，则函数
例6．
43
f(x)=3sinxcosx+3sin
2
x
的值域为（
）
33
A．
0,
2
C．
[0,3]
3
B．
0,
2
D．
[0,3+3]
1
【答案】A
【解析】由题意，
33
f(x)=3sinxcosx+3sin
2
x=sin2x+(1−cos2x)
22
=3(
313
sin2x−cos2x)+
222
=3(cos
6
sin2x−sin
6
cos2x)+
3
2
3
=3sin(2x−)+
62
7
2
当
x
,
时，有
2x−
,
，
6
36
43
当
2x−
当
2x−
6
=
2
，即
x=
333
时，
f(x)
max
=f()=3+
；
=
3
322
6
=
2
7
2
，即
x=
时，
f(x)
min
=f()=0
.
63
3
33
即函数
f(x)
的值域为
0,
.
2
故选：A
π
（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若
x
0,
，则函数
例7．
2
f
(
x
)
=3sinxcosx+3sin
2
x
的值域为（
）
33
A．
0,
2
【答案】A
31−cos2x
【解析】
f
(
x
)
=sin2x+3
22
3
B．
0,
2
C．
0,3
D．
0,3+3
333π
3
=sin2x
−
cos2x+=3sin
2x
−
+
2226
2
π
π5π
π
x
0,
，
2x
−
−
,
，
6
66
2
2
当
2x
−
当
2x
−
ππ
3
1
=
−
，即
x=0
时，
f
(
x
)
min
=3
−
+=0
，
66
2
2
πππ
333
=
，即
x=
时，
f
(
x
)
=3+
，
=
max
623
22
33
故
f
(
x
)
的值域为
0,
，
2
故选：A.
2
（2022·全国·高三专题练习）函数
f
(
x
)
=3sin2x+2sinx
，若
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
=−3
，则
例8．
2x
1
−x
2
的最小值是（
）
A．
2
3
B．
4
C．
3
D．
6
【答案】D
2
【解析】函数
f
(
x
)
=3sin2x+2sinx
，
=3sin2x−cos2x+1
，
=2sin
2x−
+1
，
6
因为
2
x−
R
，则
sin
2x−
−1,1
6
6
所以
f
(
x
)
−1,3
，
因为
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
=−3
，
所以
f
(
x
1
)
，
f
(
x
2
)
一个为
f
(
x
)
的最大值，一个为最小值，
2x−=2k
−2x−=2k
+
11
1
6
1
622
(
k
1
,k
2
Z
)
，或
(
k
1
,k
2
Z
)
则
2x−=2k
+
2x−=2k
−
2222
6262
x=k
−x=k
+
11
11
63
(
k
1
,k
2
Z
)
，或
(
k
1
,k
2
Z
)
解得
x=k
+
x=k
−
2222
36
3
所以
2x
1
−x
2
=
(
2k
1
−k
2
)
−
2
5
（i），或
2x
1
−x
2
=
(
2k
1
−k
2
)
+
（ii）
36
对于（i），当
2k
1
−k
2
=1
时，
2x
1
−x
2
的最小值是
，
3
对于（ii），当
2k
1
−k
2
=−1
时，
2x
1
−x
2
的最小值是
综上，
2x
1
−x
2
的最小值是
故选：D
，
6
，
6
（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于
x
的方程
asinx+bcosx=2
有实数
例9．
解，则
(
a−1
)
+
(
b−1
)
最小值是______．
22
【答案】
6−42
π
22
【解析】
asinx+bcosx=a+bsin
x+
，
4
因为关于
x
的方程
asinx+bcosx=2
有实数解，
所以
a
2
+b
2
2
，即
a
2
+
b
2
4
，
则点
(
a,b
)
的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于
2
的同心圆，
222
设点
(
a,b
)
的轨迹方程为
x+y=r
(
r2
)
，
(
a−1
)
2
+
(
b−1
)
表示点
(
a,b
)
到点
(
1,1
)
距离的平方，
2
因为
1
2
+1
2
=24
，
22
所以点
(
1,1
)
在圆
x+y=4
内，
222
点
(
1,1
)
到圆
x+y=r
(
r2
)
上的点的最小值为
r−1+1=r−22−2
，
所以
(
a−1
)
+
(
b−1
)
最小值时
2−2
22
()
2
=6−42
.
故答案为：
6−42
.
（2022·全国·高三专题练习）函数
例10．
【答案】
−2
4
f
(
x
)
=
sinx
xx
的最小值为___________.
sin
4
+cos
4
44
【解析】
f
(
x
)
=
sinx
2
x
2
x
2
x
2
x
sin+cos−2sincos
44
44
2
=
1−
sinx
1
(
1−cosx
)
4
=
4sinx
cosx+3
，
设
4sinx
=t
，可得
4sinx+tcosx=3t
，可得
t
2
+16sin
(
x+
)
=3t
，
cosx+3
4
t
2
+16
，
sin
=
其中
cos
=
t
t
2
+16
，
因为
sin
(
x+
)
−1,1
，所以，
3tt
2
+16
，解得
−2t2
.
因此，
f
(
x
)
的最小值为
−2
.
故答案为：
−2
.
（2022·全国·高三专题练习）已知
x
2
−23xy+5y
2
=1
，
x,yR
，则
x
例11．
____.
【答案】
2
+y
2
的最小值为
3−7
2
【解析】因为
x
2
−23xy+5y
2
=x−3y+
解得
x=
()(
2
2y
)
2
=1
，所以令
x−3y=cos
,2y=sin
，
62
sin
+cos
,y=sin
，
22
22
6
2
222
x+y=sin
+cos
+sin
所以
2
2
=1+sin
+6sin
cos
=
36137
+sin2
−cos2
=+sin
(
2
−
)
.
22222
22
因为
−1sin
(
2
−
)
1
，所以
x+y
的最小值为
3−7
.
2
5
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