高中数学概率中的涂色问题

2024年4月7日发(作者：不及格的数学试卷照片初中)

二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略 与涂色问题

有关的试题新颖有趣

,

近年已经在高考题中出 现，其中包含着丰富

的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强 且灵活多变，因而这类问

题有利于培养学生的创新思维能力、 分析问题与观察问题的能力，

有利于开发学生的智力。本文拟 总结涂色问题的常见类型及求解方

法

一

.

区域涂色问题

1

、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色

问题的基本方法。

例

1

、用

5

种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分 涂

色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色， 则不

同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂

③

③

法，接着给③号涂色方法有

5

种方

③

法，再给

号涂色有

3

种，由于④

4

种方

号④与①、②不相邻，

②

因此④号有

4

种涂法，根

②

据分步计数原理，

不同的涂色方法有

5 4 3 4 240

根据共用了多少种颜色讨论， 分别计算出各种情形的 种

2

、

数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例

2

、四种不同的颜色涂在如图所示的

6

个区域，且相邻 两

个区域不能同色。

分析：依题意只能选用

4

种颜色， ②与⑤同色、

⑤

③与⑤同色、

要分四类：

（

1

）

④与⑥同色，则有

A

4

4

；

④

②与⑤同色、

（

4

2

） ③与⑤同色、

④与⑥同色，则有

A

4

；

（

②与④同色、

③与⑥同色，则有

A

4

4

；

3

）

（

4

）

② 与④同色，则有

A

4

4

；

（

5

） 所以根据加法原理得涂色方法总数为

③与⑥同色，则有

A

4

4

；

5

A

4

4

=12

例

3

、如图所示，一个地区分为

5

个行政区

2

域

5

现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，

现有

4

种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意

至少要用

3

种颜色

1）

当先用三种颜色时，区域

2

与

4

必须同色，

2）

区域

3

与

5

必须同色，故有

A

4

3

种；

3）

当用四种颜色时，若区域

2

与

4

同色，

4）

则区域

3

与

5

不同色，有

A

4

4

种；若区域

3

与

5

同色，

则区域

2

与

4

不同色，有

A

4

4

种，故用四种颜色时共 有

2

A

A

4

4

4

3

+2

种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有

A

4

4

=24+2 24=72

3

、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论， 从某两个 不相

邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的 种数，再用

加法原理求出不同涂色方法总数。

例

4

用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域

内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果 颜

色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题

分为三类：

1

）

四格涂不同的颜色，方法种数为

2

）

3

）

即只

2

1

有一组对角小方格涂相

同的颜色，涂法种数为

2C

5

1

A

4

2

；

5）

两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为

A

5

2

，

因此，所求的涂法种数为

A

5

2

2C

5

1

A

4

2

A

5

2

260

4

、 根据相间区使用颜色的种类分类

例

5

如图，

6

个扇形区域

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

，现给这

6

个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个

区域不得使用同一种颜色，现有

4

种不同的颜色可

A

1

解

（

1

）当相间区域

A

、

C

、

E

着同一种颜色时， 有

4

种着色方

法，此时，

B

、

D

、

F

各有

3

种着色方法， 此时，

B

、

D

、

F

各有

3

种着 故有

4 3 3 3 108

种方法。

（

2

）当相间区域

A

、

C

、

E

着色两不同的颜

色时， 有

C

3

2

A

4

2

种着色方法，此时

B

、

D

、

F

有

3 2 2

种着色方法，故共有

C

3

2

A

4

2

3 2 2 432

种着色方法。

（

3

）当相间区域

A

、

C

、

E

着三种不同的颜色时有

A

4

3

种

着色方法，此时

B

、

D

、

F

各有

2

种着色方法。此时共有

A

4

3

2

2 2 192

种方法。 故总计有

108+432+192=732

种方法。 说

明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递 推公来解

决。

如：如图，把一个圆分成

n（n 2）

个扇形，每个扇 形用

红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇

A

形

A

不同 色，有多

少种染色方法？

A1 A2

A

解：设分成

n

个扇形时染色方法为

a

n

种

A

（

2

（

1

2

）

）当分成

当

n=2

n

时

个扇形，如图，

A

1

、

A

2

有

A

4

=12

A

种，即

a

2

=12

A

4

1

与

A

2

不同色，

A

2

与

⑤

A

3

不

同

⑤

色，

L

，

A

n 1

与

A

n

不同色，共有

4 3

n 1

种染色方法， 但由于

A

n

与

A

1

邻，所以应排除

A

n

与

A

1

同色的情形；

A

n

与

A

1

同色时，可把

A

n

、

A

1

看

成一个扇形，与前

n 2

个扇形加在一起为

n 1

个扇形，此时 有

a

n 1

种染

色法，故有如下递推关系：

二

.

点的涂色问题

方法有：（

1

）可根据共用了多少种颜色分类讨论， （

2

）根据 相

对顶点是否同色分类讨论， （

3

）将空间问题平面化，转化 成区域

涂色问题。

例

6

、将一个四棱锥

S ABCD

的每个顶点染上一种颜色，并 使同一

条棱的两端点异色， 如果只有

5

种颜色可供使用， 那 么不同的染

色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种

颜色。

（

1

）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶 点

S

，

再从余下的四种颜色中任选两种涂

A

、

B

、

C

、

D

四 点，此时只

能

A

与

C

、

B

与

D

分别同色，故有

C

5

1

A

4

2

60

种方 法。

（

2

）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一 种颜色

染顶点

S

，再从余下的四种颜色中任选两种染

A

与

B

，由 于

A

、

B

颜

色可以交换，故有

A

4

2

种染法； 再从余下的两种颜色中 任选一种染

D

或

C

，而

D

与

C

，而

D

与

C

中另一个只需染与其相 对顶点同色即

可，故有

C

1

5

A

4

2

C

1

2

C

1

2

240

种方法。

（

3

）若恰用五种颜色染色，有

A

5

5

120

种染色法 综上所知，满

足题意的染色方法数为

60+240+120=420

种。

解法二：设想染色按

S

—

A

—

B

—

C

—

D

的顺序进行，对

S

、

A

、

B

染色，有

5 4 3 60

种染色方法。

由于

C

点的颜色可能与

A

同色或不同色， 这影响到

D

点颜 色

的选取方法数，故分类讨论：

C

与

A

同色时（此时

C

对颜色的选取方法唯一） ，

D

应与

A

（

C

）、

S

不同色，有

3

种选择；

C

与

A

不同色时，

C

有

2

种选择

的颜色，

D

也有

2

种颜色可供选择，从而对

C

、

D

染色有

1 3 2 2 7

种染

色方法。由乘法原理，总的染色方法是

60 7 420

A

D

解法三：可把这个问

题转化成相邻区域不同色问题：如图，

S

C

对这五个区域用

5

种颜色涂

色，有多少种不同的涂色方法

B

？

C

二

.

线段涂色问题

对线段涂色问题， 要注意对各条线段依次涂色， 主要方法有：

6）

根据共用了多少颜色分类讨论

7）

根据相对线段是否同色分类讨论。

例

7

、用红、黄、蓝、白四种颜色涂矩形

ABCD

的四条边，

每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色， 如果颜色

可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解法一：（

1

）使

用四颜色共有

A

4

4

种

;

（

2

）使用三种颜色涂色， 则必须将一组对边染成同

色，故有

C

1

4

C

2

1

A

3

2

种，

（

3

）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色， 有

A

4

2

种

因此，所求的染色方法数为

A

4

4

C

4

1

C

2

1

A

3

2

A

4

2

84

种 解法

二：涂色按

AB

－

BC

－

CD

－

DA

的顺序进行，对

AB

、

BC

涂色有

4 3 12

种涂色方法。

由于

CD

的颜色可能与

AB

同色或不同色，这影响到

DA

颜色

的选取方法数， 故分类讨论： 当

CD

与

AB

同色时， 这时

CD

对颜色的选取方法唯一，则

DA

有

3

种颜色可供 选择

CD

与

AB

不同色时，

CD

有两种可供选择的颜色，

DA

也有两种

可供选择的颜色，从而对

CD

、

DA

涂色有

1 3 2 2 7

种涂色方法。

由乘法原理，总的涂色方法数为

12 7 84

种

例

8

、用六种颜色给正四面体

A BCD

的每条棱染色， 要求

每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多 少种不同的涂

色方法？ 解：（

1

）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一 颜

色，而这三组间的颜色不同，故有

A

6

3

种方法。 （

2

）若恰用四种颜色

涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对

棱涂同色，但组与组之间不同色，故有

C

6

3

A

6

4

种方法。

（

3

）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种 颜色，

故有

C

3

1

A

6

5

种方法。

（

4

）若恰用六种颜色涂色，则有

A

6

6

种不同的方法。 综上，满足题意

的总的染色方法数为

A

6

3

C

3

2

A

6

4

C

3

1

A

6

5

A

6

6

4080

种。

三

.

面涂色问题

例

9

、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色， 将一个正方体 的

6

个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不 同的涂色方案

共有多少种？

分析：显然，至少需要

3

三种颜色，由于有多种不同情况，仍 应考虑

利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论 解：根据共用多少种不同

的颜色分类讨论 （

1

）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，

则上 底颜色可有

5

种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余

4

种颜

色中的某一种所涂面为左侧面，则其余

3

个面有

3

！种 涂色方案，根

据乘法原理

n

1

5 3! 30

（

2

）共用五种颜色，选定五种颜色有

C

6

5

6

种方法，必有两 面同

色（必为相对面） ，确定为上、下底面，其颜色可有

5

种选择，

再确定一种颜色为左侧面， 此时的方法数取决于右 侧面的颜色，

有

3

种选择（前后面可通过翻转交换）

n

2

C

6

5

5 3 90

；

（3）

共用四

种颜色

,

仿上分析可得

n

3

C

6

4

C

4

2

90

；

（4）

共用三种颜色

,

n

4

C

6

3

20

例

10

、四棱锥

P ABCD

，用

4

种不同的颜色涂在四棱锥的 各个

面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，

1

如右图，区域

1

、

2

、

3

、

4

相当于四个侧面，区域

5

相当于底面；

1

根据

2

共 用颜色多

少分类：

（

1

）最少要用

3

种颜色，即

1

与

3

同色、

2

与

4

同色， 此时

有

A

4

3

种；

（

2

）当用

4

种颜色时，

1

与

3

同色、

2

与

4

两组中只能有 一

组同色，此时有

C

2

1

A

4

4

；故满足题意总的涂色方法 总方法交总数为

A

4

3

C

1

2

A

4

4

72

用三种不同的颜色填涂如右图

3

3

方格中的

9

个区域，要求 每

行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有 （

D

）

A

、

48

、

B

、

24 C

、

12 D

、

6

“立几”中的计数问题求解策略 在近几年的高考试

题和各地模拟试题中频繁出现以“立几” 中的点、线、面的位置关系为

背景的计数问题，这类问题题型 新颖、解法灵活、多个知识点交织在一

起，综合性强，能力要 求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知

识，而且注重 对数学思想方法和数学能力的考查。现结合具体例子谈谈

这种 问题的求解策略。

1.

直接求解

例

1

：从平面 上取

6

个点，从平面 上取

4

个点，这

10

个点 最多可

以确定多少个三棱锥？

解析

:

利用三棱锥的形成将问题分成 平面上有

1

个点、

2

个点、

3

个点三类直接求解共有

C

1

6

C

4

3

C

6

2

C

4

2

C

6

3

C

1

4

194

个三棱锥

例

2:

在四棱锥

P-ABCD

中，顶点为

P

，从其它的顶点和各棱的 中点

中取

3

个，使它们和点

P

在同一平面上，不同的取法 有

A.40 B.

48 C. 56 D. 62

种 解析

:

满足题设的取法可以分成三类

（

1

）在四棱锥的每一个侧面上除

P

点外取三点有

4C

5

3

40

种不 同取

法；

2

）在两个对角面上除点

P

外任取

3

点，共有

2C

4

3

8

种不同取

法；

（

3

）过点

P

的每一条棱上的

3

点和与这条棱异面的棱的中点也 共

面，共有

4C

1

2

8

种不同取法

,

故共有

40+8+8=56

种 评注：这类问题应

根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类 标准，做到分类不重复、不

遗漏 。

2.

结合“立几”概念求解 例

3:

空间

10

个点无三点共线，其中有

6

个点共面，此外没有 任何四个点共面，则这些点可以组成多少个四棱

锥？ 解析

:

C

6

4

C

1

4

60

3.

结合“立几”图形求解 如果把两条异面直线看作“一对” ，那么六

棱锥 的棱和底面所有的

12

条直线中，异面直线有：

A. 12 B. 24 C.

36 D. 48 B

用正五棱柱的

10

个顶点中的

5

个顶点作四棱锥 的

5

个顶

点，共可得多少个四棱锥？ 分类：以棱柱的底面为棱锥的底面

2C

5

4

C

1

5

;

以棱柱的侧面为棱锥的底面

C

1

5

C

1

6

以棱柱的对角面为棱锥的底面

C

1

5

C

1

6

以图中

ADC

1

B

1

（

梯形

）

为棱锥的底面

2C

5

1

C

6

1

4.

构造几何模型求解 在正方体的

8

个顶点的所有连线

中，有多少对异面直线？ 与空间不共面的四点距离相

等的平面有多少个？

（

05

年湖北）以平面六面体

ABCD A

1

B

1

C

1

D

1

的任意三个

顶点为 顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则

这两个三角形不 共面的概率为

A.

367

B.

376

C.

192

D.

18

A

385 385 385 385

在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强

调的重要观念之一，在复习备考中，要把握好知识间的纵横联 系和综

合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的 网络化知识体

系。

1.

对于已知直线

a,

如果直线

b

同时满足下列三个条件

:

① 与 直线

a

异面

;

② 与直线

a

所成的角为定值

;

③ 与直线

a

的 距离为定值

d.

那么这样的直线

b

有

A. 1

条

B. 2

条

C. 3

条

D.

无数条

2.

如果一条直线与一个平面垂直

,

那么称此直线与平面构成一 个“正

交线面对”

.

在一个正方体中

,

由两个顶点确定的直线与 含有四个顶

点的平面构成的“正交线面对”的个数是

A. 48 B. 36 C. 24 D. 18

3.

设四棱锥

P-ABCD

的底面不是平行四边形

,

用平面 去截这个 四

棱锥

,

使得截面四边形是平行四边形

,

则这样的平面

A.

不存在

B.

只有

1

个

C.

恰有

4

个

D.

有无穷多个

4.

如图

,

点

P

1

,P

2

,L , P

10

分别是四面体的顶点或棱的中点

,

那么在 同一

平面上的四点组

P

1

,P

i

,P

j

,P

k

共有 个

5.

在正方体的一个面所在的平面内

,

任意画一条直线

,

则与它 异面的

正方体的棱的条数是

6.

正方体的

8

个顶点中任取

4

个不在同一平面上的顶点

P,Q,M,N

组

成 的 二 面 角 为

P MN Q

的 大 小 可 能 值 有 个

.

答案

1. D 2. B 3. D 4. 33 5. 4

或

6

或

7

或

8 6. 8

个