2023年11月14日发(作者：高等数学试卷分析论文怎么写)
数列与不等式专题
一．高考说明剖析
江苏省2005年高考数学考试大纲，对于
《不等式》一章的考试内容及考试要
求为：(1）理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法
证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤
│a│+│b│。对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数
列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的
前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解
决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公
式，并能解决简单的实际问题。
这同江苏省2004年高考数学考试大纲对这两部分
内容的要求完全一样。据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思想之
一。
传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、
直线和平面、圆锥曲线。而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、
不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。这是总的格局，
再细化一下，看2004年高考关于不等式、数列的试题配置：江苏省2004年高考
数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题(数列
为第20题，不等式为第22题)。其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都在
不同程度上体现了数列与不等式的重点地位。由此可以看出，不等式和数列是传
统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的是：数列、不
等式也是《新课标》必修模块5的内容。因此，我们有理由相信：不等式、数列
内容仍将是今年高考考查的重点。
二．高考试题研究
例1．(2004年江苏高考20题)
设无穷等差数列{a}的前n项和为S。
nn
3
⑴若首项a＝，公差d＝1，求满足＝(S)的正整数k；
1k
2
S
k
2
2
⑵求所有的无穷等差数列{a}，使得对于一切正整数k都有＝(S)成立。
nk
S
k
2
2
学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。其中，第二句话具有
高等数学的语言味道。
例2．(2004年江苏高考22题)
已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对于任意的实数x、x，都有λ(x－x)
1212
2
≤(x－x)[f(x)－f(x)]和｜f(x)－f(x)｜≤｜x－x｜，其中λ是大于0的常数。
12121212
设实数a、a、b满足f(a)＝0和b＝a－λf(a)。
00
(Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b≠a，使得f(b)＝0；
000
(Ⅱ)证明：(b－a)≤(1－λ)(a－a)；
00
222
(Ⅲ)证明：[f(b)]≤(1－λ)[f(a)]。
222
本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得分度极低，
区分度极差。从某种意义上讲，经过直觉判断后95％学生可放弃解答本题。
例3．(2004年全国高考数学试卷二19题)
数列{a}的前n项和为S，已知a＝1，a＝S(n＝1，2，3，…)。证
nn1n+1n
S
n
明：⑴数列{}是等比数列；⑵S＝4a。
n
n+1n
S
n
解答本题，有两个方面的素养必须具备，一是正确理解符号{}的意义，二
n
是把握项与和的关系（消项留和）。
例4．(2004年北京高考18题)
x11
f(x)是定义在[0，1]上的增函数，f(x)=2f( )且f(1)＝1，在每个区间( ， ］
222
ii-1
(i=1，2，3，…)上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
111
⑴求f(0)及f( )、f( )的值，并归纳出f( )(i=1，2，3，…)的表达式；
242
i
⑵略
解答本题必须具有识别数列模式的能力。
例5．(2004年北京高考20题)给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于
50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150
且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这
组数之和的差r与所有可能的其它选择相比是最小的，r称为第一组的余差；然
11
后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，
这里的余差为r；如此继续构成第三组(余差为r)、第四组(余差为r)、…，直至
234
第N组(余差为r)把这些数全部分完为止。
N
⑴判断r，r，…，r的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
12N
⑵当构成第n(n＜N)组后，指出余下每个数与的r的大小关系，并证明r＞
nn-1
150n－L
；
n－1
⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11（本题是理科试题最后一题）。
阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需
要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能；第1小题多数学生可以做出来，不
难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。
n＋2
n
三．高考命题展望
回顾2004年江苏省高考数学试卷，并纵观别的省份的高考数学试卷，都有
一个共同的特点，就是一改近几年高考数学试卷难度偏大，体现了对学生分层要
求（全体学生的要求，多数学生的要求，少数学生的要求），让每个学生都有成
功感。
江苏省2004年高考数学试卷与2003年高考数学试卷相比，难易程度明显降
低，相对来说是比较平妥的。但有一点未变，这就是突出考查主干知识和基本能
力。这是因为主干知识和基本能力是支撑知识体系的主要内容，高考时必须保持
较高的比例予以考查，并达到必要的深度，以保证高考目标的实现。
2005年的高考考试大纲对于不等式、数列的要求同2004年要求完全一样。
根据上述三点，我们对2005年高考数学命题展望如下：
1．贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平
贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平，最后的诠释是高考试题。如2004
年北京高考数学试题第19题。
例6．某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB＝5km，BC＝3km，在列车
运行时刻表上，规定列车8点整从A站出发，8时07分到达B站并停车1分钟，
8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从A站正点出发，在B站并停留
1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间
与时刻表上的相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
⑴分别写出列车在B、C两站的运行误差；
⑵要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围。
本题以解不等式等基本知识，考查学生应用数学知识分析问题和解决问题的
能力。本题具有一定的生活背景和文化背景，而且其数学模型是一个简明的绝对
300480
值不等式模型，解决问题的关键是确立时间误差分别为｜－7｜和｜－
vv
300480
11｜，进而得出不等式：｜－7｜和｜－11｜≤2。本题作为应用题，它的
vv
阅读量较小，测试的阶梯明显，第一问检测学生的数学建模能力，第二问检测学
生的数学解模能力。估计学生解答此题的第一个障碍是题意的理解，第二个障碍
是用数学的术语、符号表达问题，极有可能在列表达式时出现单位错误, 第三个
障碍是不会解不等式,或解解不等式时分类不全,乱分类。
2．考查学生的数学探究能力
《普通高中数学课程标准》指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，
是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学教学使学生掌握数学的
基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实
事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识
世界。
例7(2005北京春季高考第20题)
现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a，a，a，a，a，a，其中a
0123450
＝0。为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T＝a
0
n
＋a＋a＋a＋a＋a，x＝，y＝(a＋a＋…＋a)，作函数y＝f(x)，使其图象
12345nn01n
5
为逐点依次连接点P(x，y)(n＝0，1，2，…，5)的折线。
nnn
（ 1）求f(0)和f(1)的值；
（2）设PP的斜率为k(n＝1，2，3，4，5)，判断k，k，k，k，k的
n-1nn12345
大小关系；
（3）证明：当x∈(0，1)时，f(x)＜x；
（4）求由函数y＝x与y＝f(x)的图象所围成图形的面积S（用a，a，a，
123
a，a表示）。
45
本题以数字为研究对象，波及的知识点多，这点对于学生来说，具有一定的
挑战性。但更具有值挑战性的是，学生要有勇气、毅力和探究能力。
3．适度综合
由学习和教学的特点，只能将结构完整的蕴含着深刻思想的有着内在联系的
知识网络，人为地加以分割成条、块，而后，按一定的顺序，渐次展开进行教学。
但在应用中，往往需要将知识综合 ，需要数学思想指导，需要数学方法支撑，
才能够解决问题，支离破碎的知识是不行的（有用捕捉，有关提取，有效整合）。
不等式与函数、数列、二项式定理、解析几何等知识的综合，数列与函数、
方程、不等式、解析几何等的综合，既有天然的因素，也有人工的成份。试题渗
透归纳猜想、类比联想、等价转化、分类讨论等重要的数学思想，试题难度一般
均属中等以上。例如2004年上海高考数学试卷的第22题。
例8．(2004年上海高考22题)
设P(x，y)，P(x，y)，…，P(x，y)(n≥3，n∈N)是二次曲线C上的点，
111222nnn
且a＝｜OP｜，a＝｜OP｜，…，a＝｜OP｜构成了一个公差为d(d≠0)
1122nn
222
的等差数列，其中O是坐标原点。记S＝a＋ a＋…＋a。
n12n
x
2
2
(文)⑴若C的方程为－y＝1，n＝3，点P(3，0)且S＝162，求点P的坐
9
133
标；(只需写出一个)
⑵ 若C的方程为y＝2px(p≠0)，点P(0，0)，对于给定的自然数n，证明：
2
1
(x＋p)、(x＋p)、(x＋p)、…、(x＋p)成等差数列；
123n
2222
xy
22
⑶若C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点P(a，0)，对于给定的自然数n，当
ab
22
1
公差d变化时，求S的最小值。
n
本题在二次曲线与数列的交汇点设计试题，题型新颖，解法多样。
四．高考复习建议
关于数列与不等式这部分内容的复习，提几点建议，一家之言，仅供大家参
考：
1．注重双基，降低难度，突出主干知识。
比如数列中对a与S符号的理解： 2004年江苏省高考数学试卷的第20题，
nn
考查了学生对符号的理解。学生明白＝f(n)意义标准是：⑴数列｛a｝第n项
S
k
2
n
就是f(n)；⑵数列｛a｝第n项与其序号n的对应关系就是f。类似的还有符号
n
x（i=0，1，2，…）。
i
关于a与S之间的关系，江苏省近两年的高考数学试题虽均没涉及，我们
nn
也不能掉以轻心，应给予足够地重视。在给a与S的关系的前提下，是消a还
nnn
是消S要灵活，比如：上面的例3，2004年全国高考数学试卷二19题。又比如，
n
11
已知数列{a}的各项都是正数，且前n项和S满足S＝(a＋)，求{a}的通项
nnnnn
2a
n
公式以及前n项和公式。
对于递推数列，特别是递推数列与概率的综合问题，我们要给予重视。有人
玩硬币走跳棋的游戏。棋盘上有第0站，第1站，第2站，……，第100站。一
枚棋子开始在第0站。已知硬币出现正反面的概率都是0.5，棋手每掷一次硬币，
若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第
99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到
1
第n站的概率为P。（1）求PPP；（2）求证：P－P＝－（P－P）；
n012 nn1n1n2
，，－－－
2
（3）求玩该游戏获胜的概率。
再如不等式与相关函数的单调性之间的关系。⑴不等式与二次函数：已知f(x)
＝x＋(b－1)x＋c，若f(x)＝f(x)＝0，x－x＞1。①证明：b＞2(b＋2c)；②若
22
1212
实数e＜x，试比较e＋be＋c与x的大小。
11
2
⑵不等式与三次函数：已知函数f(x)＝x－13x＋40x在区间[a，＋∞)上有
32
201313
反函数，则a的最小值是A．8 B． C． D．
323
⑶不等式与抽象函数：若函数f(x)满足对任意的m、nR，都有f(m＋n)＝
∈
f(m)＋f(n)－1，且x＞0时恒有f(x)＞1。①证明：f(x)在R上是增函数；②若f(3)
＝4，解不等式f(a＋a－5)＜2
2
关于放缩法，放缩法虽不是高中教学的重点，但它却是高考的热点，这是因
为放缩法证明不等式是高等数学中比较常用的方法，它的思想是逼近，掌握几种
简单地放缩技巧是必要的。其实不等式的好多性质就体现了放缩。
2．重视挖掘不等式、数列与新增加内容的诸如平面向量、导数、概率的联
系，体现课改理念。
比如，例8(2004年上海高考22)就是挖掘了数列与解析几何之间的联系而设
计的一道高考数学试题。我们还要没要注意从不等式与平面向量、不等式与导数、
数列与概率等方面去设计新题型。
3．发展“智商”，提高“情商”。知识、逻辑、策略和经验，是数学解题的
几件“必须品”，任一方面的失误都会导致失分。目前的教学要特别注意让学生
总结经验，反思策略，经得起考试。切实做到简单题目不粗心，复杂运算敢“碰
硬”；能够估算的地方就不精确计算，能够取特例或极端化处理的地方就不作一
般性推演，能够借助直觉判断的地方就不拘泥于逻辑推理。
4．学会取舍。高三数学复习的最终目的是要使学生在即将到来的高考中能
过关斩将，考出优异的成绩。但是我们也应该看到，并不是每一个学生都能考出
140多分这样的优异成绩，甚至120分这样的较好成绩也考不了，因此在复习中，
要有所取舍。具体地说，一是教师要对《考纲》理解透彻，研究深入，把握到位，
明确复习重点，教师把握好“教什么”与 “不教什么”；二是教师讲解要体现
层次性，让大部分学生学有新意，学有收获；三是练习检测及其讲评，针对性要
强，使学生的知识和方法，模糊地清晰起来，缺位地填补起来，杂乱地条理起来，
孤立地联系起来。作为学生则表现在：复习既要全面又要有重点；考试既要多做，
又要量力。这就要求学生，要调整好心态，从容面对高考，减少 “会而不对”
或“对而不全”等现象发生，做到表达准确，书写规范，力争多得分，少失分。
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