椭圆的相关知识点

2024年3月21日发(作者：必修三数学试卷分析)

椭圆的相关知识点

第一篇：椭圆的基本概念和性质

1.椭圆的定义

椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长

（长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。

2.椭圆的方程

椭圆的标准方程为

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别

为长半轴和短半轴的长度。椭圆的一般方程为

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为

常数。

3.椭圆的对称性

椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分

别为横向和纵向）。椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于

圆心对称。

4.椭圆的几何性质

椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=pi

ab$。其中，$e=sqrt{1-frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，

$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。

椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为

短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中

点。

椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则

椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。

5.椭圆的应用

椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中

有广泛的应用。例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电

子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的

椭球形等等。

第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程

1.椭圆的参数方程

对于椭圆的标准方程

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示

为参数方程：

$$

begin{cases}

x=acostheta

y=bsintheta

end{cases}

$$

其中，$theta$ 为参数，表示

$overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。

2.椭圆的焦点坐标

椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离

为 $c=sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短

轴的长度。焦点的坐标为 $(pm c, 0)$。

3.椭圆的切线方程

椭圆上一点 $P$ 的切线方程可以通过求出该点处的导数

（斜率）来得到。设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，则其切

线方程的斜率为 $k=-frac{b^2x_0}{a^2y_0}$。将该点处的

斜率代入点斜式（或解析式）即可得到该点处的切线方程。

例如，对于椭圆 $frac{x^2}{9}+frac{y^2}{4}=1$ 上

的点 $(2sqrt{3},sqrt{7})$，其切线方程为：

$$

y-sqrt{7}=-frac{2sqrt{3}}{sqrt{7}}(x-2sqrt{3})

$$

4.椭圆的其他性质

除了上述基本的椭圆性质之外，我们还可以通过一些变

换和推导来得到椭圆的其他性质。例如，我们可以将椭圆逆时

针旋转 $theta$ 度，得到旋转后的椭圆标准方程。同样可以

通过矩阵变换来得到椭圆的一般方程。此外，我们还可以通过

分类讨论来求解椭圆与直线的交点。