2008年江苏高考数学原创压轴题

2023年11月14日发(作者：凉山小学数学试卷题型分值)

2008年江苏高考数学原创压轴题

2008年将是不平静的一年，除了奥运会的举办等国际国内的大事以外，就数牵动千百万家庭的高考

了，特别是江苏的高考，是进入新课程后的第一次高考，全新的课程标准、全新的教学方法、全新的高

考模式、全新的录取形式，所以必然出现全新的高考命题模式.通过认真学习《高中数学课程标准》、

《江苏省课程标准教学要求》等纲领性文件，反复研读了2005、2006、2007三年高考江苏卷的试卷评

析报告,下面给出几个原创题，供高三师生参考，权当抛砖引玉.

1.如果复数是实数，则实数m=____________________.

mi1mi



2



解： 展开后，“原始项”共四项，但是我们并 不关心实部项，虚部项为：



mi1mi

2



mmii1m10

23

，只需即可，所以.

m1

【命题意图】考查复数的运算和相关基本概念的理解.过去复数在《选修Ⅱ》中，《选修Ⅰ》没有复

数，所以，近几年江苏一直不讲复数，因此，复数成了新内容．

2.设表示不大于的最大整数，集合，，则

[x]x

Ax|x2[x]3Bx|28AB



_________________.

解：不等式的解为，所以.



2x





1

8

1

B(3,3)

28

x

3x3

8



x2[x]3

2



若，则，所以只可能取值.

xAB



[x]3,2,1,0,1,2





3x3

若，则，没有实数解；若，则，解得；

[x]2

x32[x]0[x]1x1

x1

若，则，没有符合条件的解；若，则，没有符合条件的解；

[x]0

x3[x]1x5

若，则，有一个符合条件的解.

[x]2

x7x7

因此，.

AB1,7

2

22

22



【命题意图】此题是一元二次方程根分布问题，涉及指数不等式的解法，函数与方程思想，分类讨论

思想等.数学的精华在于数学思想方法，思考问题的支撑点也是数学思想方法，只有理解了数学思想方法，

才算真正学明白了数学.

3.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．测得

ABBD

C

BCD15，，BDC30CD30

00

米，并在点测得塔顶的仰角为

C

A

60

0

，则塔高AB= _____ .

stansin30tan60sin30







解：由原解答得（米）

AB156





sin()





sin1530





【命题意图】在2007年的课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷

更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.

4.若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为 .

x,y



22



axby1





a,b

22



xy10



解：因为的整数解为：，

xy101,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1



所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了唯一的有

24

8

序数对，所以有序数对的数目为.



a,ba,b

32

【命题意图】本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要

结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征.是较难问题.

5.若数列{a}的通项公式a＝，记，试通过计算，

nn

1

f(n)2(1a)(1a)(1a)f(1)

12n

(n1)

2

f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝ ．



31413



解：∵ ，，

f(1)21a21f(2)2(1a)(1a)1



112





2

2

2332



11









415n2





f(3)f(2)1a1f(n)

，∴归纳猜想得.



3



3164n1





【命题意图】考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用.此题涉及属探索性问题，考生可根据特殊情

形归纳概括一般性结论.

6.已知三个正数满足.

a,b,c

abc

(1)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率；

a,b,c



912



,,a,b,c



101010

(2)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率.

a,b,c(0,1)a,b,c

分析:在(1)中的取值是有限可数的，可用列举法解决；(2)中的取值是无穷的,得用几何概

a,b,ca,b,c

型的方法求解.

2

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解:(1)若能构成三角形，则.

a,b,c

abc,c

4

10

432

,abc

.共1种；时，①若

101010

5432

,a,cb

.共2种；②若时.

10101010

6

同理时，有3+1=4种；

c

10

7

c

时，有4+2=6种；

10

8

c

时，有5+3+1=9种；

10

9

c

时，有6+4+2=12种.

10

于是共有1+2+4+6+9+12=34种.

下面求从中任取的三个数()的种数：



①若，有7种；，有6种；，，，则

a,,b,c,,bbc

912



,,



a,b,c

abc



101010

12393494

1010101010101010

5989

c,,b,c

，有5种；……； ，有1种.

10101010

故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.

234

时，有6+5+4+3+2+1=21种；时，有5+4+3+2+1=15种；时，有同理，

aaa

101010

567

4+3+2+1=10种；时，有3+2+1=6种；时，有2+1=3种；时，有1种.

aaa

101010

这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.

∴能构成三角形的概率为.

a,b,c

3417

4824



0abc1





(2).能构成三角形的充要条件是

a、、bc



abc





0c1





在坐标系内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴

aOb

影部分的面积与图中正方形的面积比即可.又，于是所要求的概率为

SP.

阴影

1

11

2

122

【命题意图】统计、概率对于现代社会（经济发达）越来越显得重要，也是学生由确定性数学向不

确定性（随机性）数学的一个转变，有着基本的重要性，考查是必然

的．

7.请认真阅读下列程序框图：

已知程序框图中的函数关系式为，程

xfxf(x)

ii

(1)

4x2



x1



序框图中的D为函数的定义域，把此程序框图中所输出的数组

fx



x

i

成一个数列.

{}

x

n

（理科考生请完成下列各题）

（1）若输入，请写出数列的所有项；

x{x}

0n

49

65

（2）若输出的无穷数列是一个常数列，试求输入的初始值的值；

{}

xx

n0

（3）若输入一个正数时，产生的无穷数列满足：，都有，试求正数

x{x}xx

0nnn1

nN*





（文科考生请完成下列各题）

（1）若输入，请写出输出的所有数；

xx

0i

49

65

（2）若输出的所有数都相等，试求输入的初始值的值.

xx

i0

解：（1）当时，

x

0

所以输出的数列为…………………（3分）

49



49111111

xfxfxf1

123

，，



65

65191955



x

0

的取值范围.

111

，，

1

195

（2）数列是一个常数列，则有

{}

xxxxx

n12n0

即，解得：

xf(x)

00



4x2

0



x1或x2

00

x1

0



所以输入的初始值为1或2时输出的为常数列.

x

0

(3)由题意知 ，因，

xf(x)x

n1nn





4x2

n



x0

0

x1

n



4

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，有： 得

x4x2x(x1)

nnnn

0

4x2

n





x

n

x1

n



即，即

要使，都有，须，解得：，

所以当正数在(1，2)内取值时，所输出的数列对任意正整数n满足

x3x20

nn

2

(x2)(x1)0

nn

nN*

aa(x2)(x1)01x2

n1n000





x{x}xx

0nnn1





（文科）解：（1）当 时，，所以

x

0

49



49111111

xfxfxf1

123

，，



65



65191955

输出的数为，要使输出的数都相等，即

111

，，

1

xxf(x)x

iii1i1





195

(2)此时有 ，即=，解得或，所以输入初始值或

xf(x)xxx1x2x1

1000000

4x2

0



x1

0



x2x

0i

时，输出的数均相等.

【命题意图】算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中，有很丰富的层次递进的素材，而在算法

的具体实现上又可以和信息技术相联系，因此，算法与函数，数列等知识的融合，有利于培养学生理性

精神和实践能力，是实施探究性学习的良好素材.

8.已知二次函数直线（其中t为常数）；.若直线与

f(x)axbxc,l:yt8t:2l,l

112

lx

2

函数的图象以及，y轴与函数的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

fx



lfx

1



（Ⅰ）求a、b、c的值

（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数的解析式；

St



（Ⅲ）若问是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有两

g(x)6lnxm,yfxygx



个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

22





c0





a1







2

解：（I）由图形知：，



a8b8c0b8



,解之得：



4acb



2

c0









16





4a

∴函数的解析式为

fxf(x)x8x



2

2





yt8t



2

（Ⅱ）由得



x8xt(t8)0,xt,x8t,

2





yx8x



12

2

∵0≤t≤2，∴直线l与的图象的交点坐标为（

1

fx,8)



ttt

由定积分的几何意义知：

S(t)[(t8t)(x8x)]dx[(x8x)(t8t]dx





222

0t

12



22

440x8xx8x

2232

ttt



(t8t)x()()(t8t)x1016

32

3332032



0t

（Ⅲ）令



()()()86ln.

xgxfxxxxm

因为x＞0，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数

fxgx



2

12



(x)x8x6lnxm

2

的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

62x8x62(x1)(x3)

2









(x)2x8(x0)

xxx

当x∈（0，1）时，是增函数；





(x)0,(x)

当x∈（1，3）时，是减函数





(x)0,(x)

当x∈（3，+∞）时，是增函数





(x)0,(x)

当x=1或x=3时，





(x)0

∴



(x)极大值为(1)m7;(x)极小值为(3)m6ln315

又因为当x→0时，



(x)

当

x时，(x)



所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须



(x)0







(1)0(3)0



,或







(3)0(1)0





m70m6ln3150



即，



,或

m6ln3150m70





6

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∴m=7或

m156ln3.

∴当m=7或时，函数与函数的图象有且只有两个不同交点.

m156ln3.

fxgx



【命题意图】对江苏来说，与以往不同的是，增加了正弦、余弦、指数、对数的导数，还有积的导

数，商的导数．对理科另外还有求形如的复合函数导数以及定积分．

f(axb)

高校教师熟悉微积分，历来是命题的热点（江苏2003年21题就很难），加上新增加许多函数的导数，

2008年大题考导数，定积分的可能性极大．