自制几何模型

2024年3月19日发(作者：2018年七上数学试卷)

自制几何模型，领略数学之美

数学在我们眼里经常是枯燥、古板的。铺天盖地的公式，抽象的线条和坐标。

相信大多数人都曾为之头痛不已。今天我们放松一下，带大家一起来做个模

型，领略下数学之美。

材料：纸板(木板、塑料也行，加工难度要高一点)，胶水

工具：剪刀，刀片

首先下载这个模板(pdf格式)

将模板中的S状图形打印到纸上，你可以根据自己的需要控制打印的尺

寸。建议稍大一点，这样子虽然剪裁需要花费多一点时间，但是装配起来会容

易许多。

小心的将纸模上的S形裁剪下来。

然后以此为样板，从你准备的纸板或木板上裁剪出30个这样的S形下来。

这是个需要耐心和体力的活。如果刀子足够锋利的话，可以节省不少时

间。建议在裁剪过程中经常更换一下刀片。

凑足30块S形纸板以后，真正具有挑战性的工作才刚刚开始。

首先我们来观察一下这个成品的细节，注意看各个边角。每一块S形的交

汇处都是一样的：S形两端的平坦部分整齐的粘在一起。这还只是个基本原

则，还有很多迷宫般的细节要处理。

为了更好的理解这些细节，请注意观察下列几何图示。将整个模型的最外

端各点联合起来，其实是一个简单的12面体。

每个顶点其实也是三个接壤的五边形的共同顶点。随便选择三个这样的五

边形，就能确定下这么一个点，然后我们顺着这个点画一条直线，连接到其相

对的另一个顶点，连接两个相对顶点的这样一条线，就是我们要架设S形的轴

心线。如图：

如果我们画上多条这样的线会是什么样子呢?请看：

这样我们就很容易得到了多块S形的架设路径。但是，这些如上图所示，

这些线条是相交的。而实际中我们的S形都是各自独立完整的一块。怎么办?

解决之道就是将线条弯曲，以避免交叉。如下图：

12

画上多条线看看

从顶部来看，还可以看到一个完美的漩涡状图形：

我们把每一对顶点都连上线，完整的示意图就出现了。请注意，我们的每

个顶点都有三条这样的线。试试看就知道了。

去掉示意图的外皮，一个完美的几何模型出现了，看起来非常奥妙。

照着线条去组装你的纸板吧，感受那份渐渐显现的神奇。

下面还有几款制作精美的几何模型：

以下几款还包含部件设计图，你也可以仿制：

数学模型制作：竹签双曲面

数学模型制作：竹签双曲面 ——极客迷（）

制作时间:4小时

制作难度:★★☆☆☆

GEEK指数:★★☆☆☆

大家好~我们又见面了，我是George W. Hart(就是 3D打印机 一文中擅长

制作“拔丝”模型的大叔~)

这次我应邀在布鲁克海文国家实验室举办了一场数学教育讲座，讲座里我

试着让每个人都做出一个双曲面。下面的照片中可以看到尝试很成功，每个孩

子都很开心的拿着属于自己的双曲面。以下是双曲面为什么能这样做的原理，

以及竹签双曲面主要的制作过程。

1 工具和材料

● 胶带

○ 竹签

○ 橡皮筋

○ 厚卡纸

2 快速回忆双曲面

● 图中是一个双曲面(确切的说，是一个单叶双曲面截取出的一部分)，这

是一种平滑连续曲面，由双曲线绕其对称轴旋转生成。有趣的是，双曲面同时

也是直纹面的一种，也就是说，对于其表面上的任意一点，都可以找到两条过

这点并在双曲面上的直线(专业一点：直母线)。

● 这幅图中，我们可以看到每一点的两条直母线(一条红、一条蓝)是怎么

穿过这点并且还能处在双曲面上的：红色线段和蓝色线段经过点的方向不同。

● 我们准备用竹签来代表这些直母线，因为竹签并不像直线那样没有粗

细，我们还得注意把两条直母线的前后位置安排妥当，比如说红的在蓝的外

面。为了固定交点以及整个结构，我们用小橡皮筋来捆扎交点的位置，同时还

要用到一些胶带。

● 制作过程中我发现用粗一点的竹签会比较好，细的就太软了，会弯曲然

后带来各种影响。另外还需要用到一些厚卡纸。

3 开始上课啦

● 首先我们先要决定在每个方向上要用到多少根竹签，n根代表蓝色直母

线、n根代表红色的。

● 经过我试验，n取12到16就比较合适，如果你实在壮志凌云、甚至直

破云霄，最多试试n取20就行了。

● 裁下两条厚卡纸，用胶带粘成一条长的，然后在纸上扎n个孔。孔与孔

之间差不多像照片中那样，留1英寸的间距。

● 这条纸是用作暂时的固定，完成作品前就会去掉的。

● 现在把2n根签子两两用皮筋扎起来呈X形状，如果只有长皮筋的话可

能得多扎几圈。把扎好的X型一对竹签中的一根插在刚才准备好的纸条的n个

洞里。请注意这时不要随便把眼睛变成黑洞。

● 这时，要保持签子排列整齐不缠在一起也许会比较麻烦。像下图中的小

朋友这样把签子竖起来的尝试，不久以后就会给自己的小小人生增添些被称做

“烦恼”的佐料。最好还是把整个结构平放在桌子上。

● 不过敢于尝试摸索的做法还是值得称赞滴~

● 刚才我有提醒过你“签子尖头戳到手会疼的”么?

● 现在想一下刚才出现的红色和蓝色的图形，平放着把竹签归类后向两个

方向倾斜：穿过纸(红)的一个方向、没穿过纸(蓝)的另一个方向。

● 记得某一类要全部放在另一类的上面(或下面)。另外现在还不到做圆柱

的时候，千万别把它们竖起来呀。

● 在相邻竹签相互交叉的地方扎上皮筋(顶端、底端、中间)，再把三排皮

筋调整整齐。

● 确认三排皮筋都扎好后，把顶端和底端的皮筋往中间滑动，竹签之间就

会呈更大的角度。这也意味着出现了更多可以扎皮筋的地方，于是我们按前面

的方法再加一排皮筋。

● 当四排皮筋扎好时，把固定用的纸条撕掉也不会散架了。虽然看起来图

中少年是在表示“这货真的能当手风琴拉啊”，但是其实他是在检查手中半成

品的竹签是不是按照红、蓝的分类正确排列了。如果有失误的话，产生了像编

筐子一样上下交错的结构，竹签在合上时是并不齐的，就需要拿掉一些橡皮筋

重新排一下出错竹签的位置。

● 把你的手风琴卷成圆柱形，然后把两边用橡皮筋连接起来。这时也要小

心遵循你刚才所决定的红上蓝下或蓝上红下的体位呦~

● 你会发现这货真的弹性不错。

● 不失为一个有创意的化妆舞会造型。

● 它会自动弹成一个双曲面。(惊现野生小Luna - =)

● 一定程度上，每添加一排橡皮筋，这个双曲面的曲率就会增加一些。

● 如果要继续添加皮筋，只要把已经上好的皮筋整排往中间推，给新出现

的交叉点按红蓝排好位置，再扎上皮筋就可以。

● 要注意保持每排橡皮筋排列整齐。

4 潜伏的0.618

● 我发现当皮筋数差不多是n的2/3时，会呈现出一个顺眼的曲面。(吓~!

莫非是0.618/1 ?难道说这就是 1/1.618 ?)

● 这个是n=16的竹签双曲面，用了11排橡皮筋，也就是32根竹签和

176个橡皮筋。照这个算算你要用多少材料吧。