2014考研数学二真题答案

2024年2月14日发(作者：洪江市中考数学试卷真题)

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1１．当x0时，若ln(12x)，(1cosx) 均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）

（A）(2,) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)

【详解】

12121

ln(12x)~2x，是阶无穷小，(1cosx)~1x是阶无穷小，由题意可知2121122所以的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）．

2．下列曲线有渐近线的是

（A）yxsinx （B）yxsinx（C）yxsin2112 （D）yxsin

xx【详解】对于yxsin应该选（C）

1y1，可知lim1且lim(yx)limsin0，所以有斜渐近线yx

xxxxxx3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在[0,1]上（ ）

（A）当f\'(x)0时，f(x)g(x) （B）当f\'(x)0时，f(x)g(x)

（C）当f(x)0时，f(x)g(x) （D）当f(x)0时，f(x)g(x)

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然g(x)f(0)(1x)f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f(x)0时，曲线是凹的，也就是f(x)g(x)，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x，则F(0)F(1)0，且F\"(x)f\"(x)，故当数学(二)试题 第1页 (共10页)

f(x)0时，曲线是凹的，从而F(x)F(0)F(1)0，即F(x)f(x)g(x)0，也就是f(x)g(x)，应该选（D）

xt27,4．曲线 上对应于t1的点处的曲率半径是（ ）

2yt4t1（Ａ）1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510

50100y\"(1y\'2)3，曲率半径R【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式

K1．

K221dxdydy2t42d2yt本题中3，

2t,2t4，所以1，22tdtdtdx2ttdxt对应于t1的点处y\'3,y\"1，所以K应该选（C）

5．设函数f(x)arctanx，若f(x)xf\'()，则limx0y\"(1y\'2)311010，曲率半径R11010．

K2x2（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）211 （Ｃ） （Ｄ）

3231133，（2）x0时,arctanxxxo(x)．

231x【详解】注意（1）f\'(x)由于f(x)xf\'()．所以可知f\'()1f(x)arctanxxarctanx2，，

22xx1(arctanx)13x(xx)o(x3)2xarxtanx13．

lim2limlim3x0xx0x(arctanx)2x03x2u0及6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足xy2u2u20，则（ ）．

2xy

（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

数学(二)试题 第2页 (共10页)

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在2u2u2u2uuu内部存在驻点(x0,y0)，也就是，由0，在这个点处A2,C2,Bxyyxxyxy条件，显然ACB0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．

所以应该选（A）．

27．行列式0aba000b0cd0c00d2等于

（A）(adbc) （B）(adbc) （C）adbc （D）adbc

【详解】

222222222a0ba0ba00bababa0d0b0c0adbc(adbc)2

0cd0cdcdc0dc0dc00d应该选（B）．

8．设1,2,3均是三维向量，则对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件

【详解】若向量1,2,3线性无关，则

0ab010（1k3，2l3）(1,2,3)01(1,2,3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等kl于2，所以向量1k3，2l3一定线性无关．

100而当10,21,30时，对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关，但0001,2,3线性相关；故选择（A）．

数学(二)试题 第3页 (共10页)

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1dx ．

2x2x59．1【详解】111dx1x1113．

dxarctan|()2222428x2x5(x1)4210．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f\'(x)2(x1),x0,2，则f(7) ．

【详解】当x0,2时，f(x)2(x1)dxx22xC，由f(0)0可知C0，即f(x)x22x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)f(1)f(1)1．

11．设zz(x,y)是由方程e2yzxy2z【详解】

设F(x,y,z)e2yzxy2z7确定的函数，则dz|11 ．

,422712yz2yz，Fx1,Fy2ze2y,Fz2ye1，当xy时，42z0，FyFz1z111x，，所以dz|11dxdy．

,Fz2xFz2y222212．曲线L的极坐标方程为r，则L在点(r,)为 ．

【详解】先把曲线方程化为参数方程,处的切线的直角坐标方程22xr()coscos，于是在处，x0,y，22yr()sinsindysincos22||，则L在点(r,),处的切线方程为y(x0)，即dx2cossin2222y2x2.

213．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度(x)x2x1，则该细棒的质心坐标x ．

11(x2xx)dx1100【详解】质心坐标x1．

11225200(x)dx0(x2x1)dx31x(x)dx132数学(二)试题 第4页 (共10页)

14．设二次型f(x1,x2,x3)x1x22ax1x34x2x3 的负惯性指数是1，则a的取值范围是 ．

【详解】由配方法可知

2f(x1,x2,x3)x12x22ax1x34x2x322(x1ax3)(x22x3)(4a)x由于负惯性指数为1，故必须要求

4a0，所以a的取值范围是2,2．

222223

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限limxx1(t(e1)t)dt1x2ln(1)x．

21t【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

x1x2ln(1)x1111limx2(o()x22xx2xx2xlimx1(t(e1)t)dt21tlimx1(t(e1)t)dtx21tlim(x(e1)x)x21x

16．（本题满分10分）

已知函数yy(x)满足微分方程xyy\'1y\'，且y(2)0，求y(x)的极大值和极小值．

【详解】

解：把方程化为标准形式得到(1y)222dy1x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx可得方程通解为：1312yyxx3C，由y(2)0得C，

333即1312yyxx3．

333dy1x2d2y2x(1y2)22y(1x2)20，得x1，且可知2 令；

223dx1ydx(1y)当x1时，可解得y1，y\"10，函数取得极大值y1；

当x1时，可解得y0，y\"20，函数取得极小值y0．

数学(二)试题 第5页 (共10页)

17．（本题满分10分）

设平面区域D(x,y)|1x2y24,x0.y0．计算xsin(x2y2)Dxydxdy

【详解】由对称性可得

xsin(x2y2)22Dxydxdysin(x2y2)dxd1(xy)sin(xy)Dxy2dxdyDxy2

12sin(xy2)dxd122320drsinrdrD11418．（本题满分10分）

设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(excosy)满足2zx22zx2xy2(4zecosy)e．f(0)0,f\'(0)0，求f(u)的表达式．

【详解】

设uexcosy，则zf(u)f(excosy)，

zf\'(u)excosy2zx,x2f\"(u)e2xcos2yf\'(u)excosy;

zyf\'(u)exsiny,2z2x2xy2f\"(u)esinyf\'(u)ecosy；

2zx2z2xy2f\"(u)ef\"(excosy)e2x2

由条件2z2zx2xx2y2(4zecosy)e，

可知

f\"(u)4f(u)u

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

f(u)C2u1eC2u2e其中C1,C2为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为y*14u．

故非齐次方程通解为f(u)C2u1eCe2u124u．

数学(二)试题 第6页 (共10页)

若

将初始条件f(0)0,f\'(0)0代入，可得C111,C2．

1616所以f(u)的表达式为f(u)19．（本题满分10分）

12u12u1eeu．

16164设函数f(x),g(x)在区间a.b上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1，证明：

（1）

0（2）

bxag(t)dtxa,xa,b；

f(x)dxf(x)g(x)dx．

abaag(t)dta【详解】

（1）证明：因为0g(x)1，所以即0xa0dxg(t)dt1dtxa,b．

aaxxxag(t)dtxa,xa,b．

（2）令F(x)xaf(u)g(u)duaag(t)dtxaf(u)du，

x则可知F(a)0，且F\'(x)f(x)g(x)g(x)fag(t)dt，

a因为0xag(t)dtxa,且f(x)单调增加，

所以faxag(t)dtf(axa)f(x)．从而

xF\'(x)f(x)g(x)g(x)fag(t)dtf(x)g(x)g(x)f(x)0，

xa,b

a也是F(x)在a,b单调增加，则F(b)F(a)0，即得到

20．（本题满分11分）

设函数f(x)aag(t)dtbaf(x)dxf(x)g(x)dx．

abx,x0,1，定义函数列

1xf1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x))，,fn(x)f(fn1(x)),

设Sn是曲线yfn(x)，直线x1,y0所围图形的面积．求极限limnSn．

n【详解】

xf1(x)xxxf1(x),f2(x)1x，f3(x),，

x1x1f1(x)12x13x11x数学(二)试题 第7页 (共10页)

利用数学归纳法可得fn(x)x.

1nxSn10x1111ln(1n)fn(x)dxdx(1)dx(1)，

01nxn01nxnn1ln(1n)limnSnlim11．

nnn21．（本题满分11分）

已知函数f(x,y)满足f2(y1)，且f(y,y)(y1)2(2y)lny，求曲线f(x,y)0所成的y图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积．

【详解】

由于函数f(x,y)满足f2(y1)，所以f(x,y)y22yC(x)，其中C(x)为待定的连续函数．

y2又因为f(y,y)(y1)(2y)lny，从而可知C(y)1(2y)lny，

得到f(x,y)y2yC(x)y2y1(2x)lnx．

令f(x,y)0，可得(y1)(2x)lnx．且当y1时，x11,x22．

曲线f(x,y)0所成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积为

225V(y1)2dx(2x)lnxdx(2ln2)

11422222．（本题满分11分）

æ1-23-4öç÷设矩阵A=ç01-11÷，E为三阶单位矩阵．

ç120-3÷èø（1） 求方程组AX0的一个基础解系；

（2） 求满足ABE的所有矩阵B．

【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

1234123412341001A0111011101110102，

1203130431000013得到方程组AX0同解方程组

数学(二)试题 第8页 (共10页)

x1x4x22x4

x3x4312得到AX0的一个基础解系1．

31x1x2（2）显然B矩阵是一个43矩阵，设Bx3x4对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下：

y1y2y3y4z1z2

z3z4123410012(AE)011101001120300104001001234101110100100013141001由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

341001101031101

126121313141x121y161z111x212y232z212，，cccx113y423z133，

3331y01z01x0444即满足ABE的所有矩阵为

2c112c1B13c1c1其中c1,c2,c3为任意常数．

23．（本题满分11分）

6c232c243c2c21c312c3

13c3c311证明n阶矩阵11100111002与相似．

1100n数学(二)试题 第9页 (共10页)

11【详解】证明：设A

11100111002，．

B1100n分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

11EA111111(n)n1，

1所以A的n个特征值为1n,23n0；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~0；

0EB0102(n)n1

00n所以B的n个特征值也为1n,23n0；

对于n1重特征值0，由于矩阵(0EB)B的秩显然为1，所以矩阵B对应n1重特征值0的特征向量应该有n1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且B~0

01100111002与相似．

1100n11从而可知n阶矩阵1数学(二)试题 第10页 (共10页)