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2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
（1）已知集合 A
B {x | x x 2 0}，则 A
B=
{ 2,0,2} ，
(A)
考点：
分析：
解答：
故选：
点评：
2
（B）
0
（C） (D)
2
交集及其运算．
先解出集合 B，再求两集合的交集即可得出正确选项．
解：∵ A={﹣2，0，2}，B={x|x2 ﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴ A∩B={2}．
B
本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
1 3i
1 i
（2
）
()
（A）1 2i
考点：
分析：
解答：
故选：
点评：
（B） 1 2i （C）1-2i (D) 1-2i
复数代数形式的乘除运算．
分子分母同乘以分母的共轭复数 1+i 化简即可．
解：化简可得 ====﹣1+2i
B
本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．
f x
（3）函数
f x
p: f (x ) 0;q : x x
的极值点，则
0 0
x x0
处导数存在，若
在
()
是
（A） p 是 q 的充分必要条件
（B） p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件
（C） p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件
(D) p 既不是 q的充分条件，也不是 q 的必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
分析： 根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解答： 函数 f（x）=x3 的导数为 f\'（x）=3x2，由 f′（x0）=0，得 x0=0，但此时函数 f（x）单调递增，
无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若 x=x0 是 f（x）的极值点，则 f′（x0）=0 成立，即必
要性成立，故 p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件，
故选： C
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关
键，比较基础．
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（4）设向量
a,b
满足|
a+b|= 10
，|a-b|= 6，则 a· b= ()
（A）1 （B） 2 （C）3 (D) 5
考点： 平面向量数量积的运算．
分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论．
解答： ∵| + |=
∴分别平方得，
，| ﹣ |= ，
+2 ? + =10， ﹣2 ? + =6，两式相减得 4? ? =10﹣6=4，即 ? =1，
故选： A
点评： 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．
（5）等差数列 an
的公差为
2，若
2
(D)
成等比数列，则 an
的前
S
a
a
，a4
，
=
n
2 8
n 项
()
n n 1
（B）
n n 1
（C）
n n 1 n n 1
2 （A）
考点： 等差数列的性质．
分析： 由题意可得 a42=（a4﹣4）（a4+8），解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得．
解答： 由题意可得 a42=a2?a8，
即 a42=（a4﹣4）（a4+8），解得 a4=8，
∴a1=a4﹣3× 2=2，
∴Sn=na1+d，=2n+× 2=n（n+1），
故选： A
点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
如图， 网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是
某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6c m 的圆柱体
毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ()
17
27
（A
）
5 10
（B） 9 （C） 27
1
(D)
3
考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
分析： 由三视图判断几何体的形状， 通过三视图的数据求解几何体的
体积即可．
解答： 几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4，
组合体体积是： 32π?2+22π?4=34π．
底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为： 32π× 6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为： =．
故选： C．
点评： 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
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正三棱柱
ABC A1 B1C1
的底面边长为2，侧棱长为
3
， D为BC中点，则三棱锥
3
2
3
（C）1 （D）
2
A B1DC
的体积为()
1
（A）3
（B）
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权 有所分析： 由题意求出底面 B1DC1的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．
解答： ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长 ，为D为BC中点，
∴底面 B1DC1的面积： =，A 到底面的距离就是底面正三角形的高： ．
三棱锥 A﹣B1DC1的体积为： =1．
故选： C．
点评： 本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关 ．键（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的 x，t 均为2，则输出的 S= ()
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
考点： 程序框图．菁优网版权 有所分析： 根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
解答： 若 x=t=2，
则第一次循环， 1≤ 2 成立，则 M=，S=2+3=5，k=2，
第二次循环， 2≤ 2 成立，则 M=，S=2+5=7，k=3，
此时 3≤ 2 不成立，输出 S=7，
故选： D．
点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基 ．础x y 1 0
x y 1 0
（9）设x，y 满足的约束条件
x 3y 3 0
，则 z x 2y 的最大值为()
（ A）8 （B）7 （ C）2 （D）1
考点： 简单线性规划．
分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求
解答： 作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y=﹣，
z 的最大值．
平移直线 y=﹣，由图象可知当直线 y=﹣经过点 A 时，直线 y=﹣的截距最大，此时 z 最
大．由 ，得 ， 即 A（3，2），
此时 z 的最大值为z=3+2×2=7，
故选： B．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法
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2
（10）设F为抛物线
C : y 3x的焦点，过
F 且倾斜角为
30
3
（A）
3
30 的直线交于 C于 A,B
两点，则
AB
= ()
°
（B）6 （C）12
（D）
7
考点： 抛物线的简单性质．
分析： 求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长
公式求得 |AB| ．
解答： 由 y2=3x 得其焦点 F（ ，0），准线方程为 x=﹣ ．
（x﹣ ）． 则过抛物线 y2=3x 的焦点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y=tan30°（ x﹣ ）=
代入抛物线方程，消去y，得 16x2﹣ 168x+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则 x1+x2= ，
所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12
故答案为： 12．
点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难
点和关键．
（11）若函数 f (x) kx ln x 在区间（ 1，+ ）单调递增，则
（A）
, 2
（B）
, 1 2,
（ C）
k 的取值范围是()
1,
（D）
考点： 函数单调性的性质．
分析： 由题意可得，当 x＞1 时， f′（ x）=k﹣ ≥ 0，故 k﹣ 1＞0，由此求得 k 的范围．
解答： 函数 f（x）=kx﹣ lnx 在区间（ 1， +∞）单调递，增
∴当 x＞1 时， f′（ x）=k﹣ ≥ 0，∴ k﹣ 1≥ 0，∴ k≥ 1，
故选： D．
点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．
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（12）设点
M ( x0,1)，若在圆
（A）
2 2
O : x y 1
上存在点
N，使得
1,1
1 1
，
（B）
2 2
（C）
OMN
则
2 2
，
2, 2
2 2
（D）
°
x
的取值范围是
45 ,
0
()
考点： 直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
分析： 根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．
解答：由题意画出图形如图：
∵点 M（x0，1），
∴若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得∠ OMN=45° ，
∴圆上的点到 MN 的距离的最大值为 1，要使 MN=1，才能使得∠ OMN=45 ° ，
图中 M′显然不满足题意，当 MN 垂直 x 轴时，满足题意，
∴x0 的取值范围是 [﹣1，1]．
故选： A
点评： 本题考查直线与圆的位置关系， 直线与直线设出角的求法， 数形结合是快速解得本题的策略之一．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个考试考生都必须做答。第
22 题~
第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种，则他们选择相同颜色
运动服的概率为 _______.
考点： 相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
分析： 所有的选法共有 3× 3=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种，由此求得他们选择相
同颜色运动服的概率．
解答： 有的选法共有 3× 3=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种，
故他们选择相同颜色运动服的概率为 = ，
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故答案为： ．
点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
（14）函数 f (x) sin( x ) 2sin cos x 的最大值为 _________.
考点： 三角函数的最值．
分析： 展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．
解答： 解：∵ f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx
=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．
∴f（x）的最大值为 1．
故答案为： 1．
点评： 本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．
（15）已知函数 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称， f (0) 3 ，则 f ( 1) _______.
考点： 函数奇偶性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和对称性的性质，得到 f（x+4）=f（x），即可得到结论．
解答： 解：因为偶函数 y=f（x）的图象关于直线 x=2 对称，
所以 f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），
即 f（x+4）=f（x），
则 f（﹣1）=f（﹣ 1+4）=f（3）=3，
故答案为： 3
点评： 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性 f（x+4）=f（x）是解决
本题的关键，比较基础．
1
a1
=_________.
，则
,a 2
{ }
满a
（16）数列
n 1 2
a
足
1 a
n
n
考点： 数列递推式．
分析： 根据 a8=2，令 n=7 代入递推公式 an+1=
规律，
求出 a1 的值．
解答： 由题意得， an+1= ，a8=2，
，求得 a7，再依次求出 a6，a5 的结果，发现令 n=7 代入上式得， a8= ，解得 a7=；
令 n=6 代入得， a7= ，解得 a6=﹣1；
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令 n=5 代入得， a6= ，解得 a5=2；⋯
根据以上结果发现，求得结果按2， ，﹣1 循环，
∵8÷ 3=2⋯ 2，故 a1=
故答案为： ．
点评： 本题考查了数列递推公式的简，即用应单给 n 具体的值代入后求数列的项，属于基础题．
解答题：解答应写出文字说明过程或演算步 。骤（17）（本小题满分 12 分）
四边形ABCD的内角 A 与 C 互补， AB=1， BC=3,
（Ⅰ）求 C 和 BD ;
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积。
解：
（Ⅰ）由题设及余弦定理得
2
BD
C
BC
2
CD
2 2
BC CD
cos
13 12cos C ①
2
BD AB
2
A
DA
2 2
AB DA
cos
5 4cos C ②
cosC
1
，故
C 60 ,BD 7
由①，②得
2
（Ⅱ）四边形ABCD 的面积
S
1
2
AB DA sin A
1
2
BC CD sin C
(
1
2
1 2
1
2
3 2)sin 60
2 3
CD=DA=2.
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（18）（本小题满分 12 分）
如图，四凌锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 面
ABCD ， E 为 PD 的中点。
（Ⅰ）证明： PB // 平面 AEC ;
V
3，三棱锥
P ABD 的体积
3
，
（Ⅱ）设置 AP 1，AD
4
求 A 到平面 PBD的距离。
解：
（Ⅰ）设 BD 与 AC的交点为 O ，连接 EO
因为 ABCD为矩形，所以 O为 BD的中点，
又因为 E为 PD的中点，所以 EO//PB
EO 平面 AEC ， PB 平面 AEC ，
所以 PB // 平面 AEC
1 1
V S PA PA AB AD
（ⅡAB
）
ABD
3 6
3
3
V AB
4
，可得
2
由题设知
做 AH PB 交 PB 于 H
平面PAB ，所以 BC
3
6
由题设知 BC AH ，故 AH 平面PBC ，
PA AB
3 13
AH
PB 13
又
3 13
所以 A 到平面 PBC 的距离
13
为
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（19）（本小题满分 12 分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了
甲部门
4
9 7
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0 6
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0
6 6 5 5 2 0 0 8
6 3 2 2 2 0 9
10
3
4
5
50 位市民。根据这 50 位市民
乙部门
5 9
0 4 4 8
1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
0 1 1 2 3 4 6 8 8
7 0 0 1 1 3 4 4 9
1 2 3 3 4 5
0 1 1 4 5 6
0 0 0
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。
解：
（Ⅰ）由所给茎叶图知， 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第
故样本
中位数为 75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.
50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第
样本中位数为
所以该市的市民对乙部门品分的中位数的估计值是
25，26 位的是 75，75，66 68
25，26 位的是 66，68，故67.
5
50
该
8
2
，
67
（Ⅱ）由所给茎叶图知， 50 位市民对甲、乙部门的评分高于
比率分别为
市的市民对甲、乙部门的评分高于
90 的0.1,
50
0.16
，故90 的概率的估计值分别为 0.1，0.16.
（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以
大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、
评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同
样给分。）
（20）（本小题满分 12 分）
2 2
x
y
1
F1,F2
分别是椭圆 MF
设
2 2
（a>b>0）的左右焦点， M 是C x
轴垂直， 直线
1
上一点且
MF2 与
a b
C ：
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与 C 的另一个交点为 N。
3
（Ⅰ）若直线 MN 的斜率为 4 ，求 C 的离心率；
（Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N| ，求 a，b。
解：
b
2
（Ⅰ）根据
c a
2
b
2
及题设知
M (c,
3ac
), 2b
2
将
b
2 2
c
a
1 c
入
a c 代2
2b
2
得
3ac ，解a
, 2
去）2
a （舍1
故为
C 的离心率
2
（Ⅱ）由题意，原点(0,2) 是线段
O
为
F1F2
的中点， 轴，所以直线
2
MF2
// y
中点，b
故
a
4
即
，2 4
b a ①
由|MN | 5| F1N |得
| DF
1
| 2| F N |
1
设N
( x1
,y1)
，由题意知
y1
0
，
2( c x )
3
则
1
c
x
1
c
2y1
2
即
y
1
1
2
代入
9c
2
1
得
C 的方程，4a
2
1
②
b
2
9(a
2
4a) 1
将①1
及
c a
2
b
2
代入②得
4a
2
4a
解得
a 7,b
2
4a 28
，故
可编辑
1
与 y 轴的交点
MF
1
的MF D
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a 7,b 2 7
（21）（本小题满分 12 分）
3 2
已知函数
f (x) x 3x ax 2 ，曲线 y f (x) 在点（ 0,2）处的切线与
x轴交点的横坐标为
-2.
10可编辑
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（Ⅰ）求 a；
（Ⅱ）证明：当时，曲线
解：
2
（Ⅰ）
f x x x a
，
f (0) a
( ) 3 6
曲线 y f ( x) 在点（ 0，2）处的切线方程为 y ax 2
2
2
，所以 a
y f (x)与直线 y kx 2 只有一个交点。
由题设得
a
1
3 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）f (x) x 3x x
知，
2
3 2
设
g( x) f (x) kx 2 x 3x (1 k)x
4
由题设知 1 k 0
当 x 0
时，
(
2
g (x) 3x 6x 1 k
0
，g( x) 单调递增， g( 1) k 1 0, g(0) 4 ，所以 g(x)
0 在
,0] 有唯一实根。
3
x x
3
2
，则 g( x) h( x) (1 k)x
4
) 单调递增，所以
当 x 0 时，
h x
令
h(x)
( )
2
h (x) 3x 6x 3x( x 2),h( x)
在(
0, 2) 单调递减，在 (2,
g (x) h( x) h(2) 0
所以 g( x) 0 在(0, )没有实根
综上 g( x) 0 在 R由唯一实根，即曲线 y f (x) 与直线 y kx 2 只有一个交点。
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
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在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，
程为
2cos ,
[0, ]
2
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方11可编辑
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（Ⅰ）求 C 的参数方程；
（Ⅱ）设点
D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线
l : y 3x 2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确
定 D 的坐标。
解：
（Ⅰ） C 的普通方程为
(x 1)
2
y
2
1(0 y 1)
可得 C 的参数方程为
x 1 cost
y sin t
（t
为参数，
0 t ）
（Ⅱ）设 D(1 cost ,sin t) 由（Ⅰ）知 C 是以 G (1,0) 为圆心，线
与l 垂直，所以直线 GD与l 的斜率相同。
tan t 3,t
3
3 3
故为 D
(1 cos ,sin )
( , )
的直角坐标3
即
3 ，2 2
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为半径的上半圆，因为C 在点 D 处的切 1
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考查,本题,部门,利用
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