2024年1月5日发(作者：河北数学试卷高考真题分析)

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

第十三章 函数列与函数项级数

§1 一致收敛性

教学目标：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

教学建议：

(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

教学过程：

我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。

一、 函数列及其一致收敛性。

设

f1,f2,,fn, （1）

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。也可简记为：

{fn}或

fn，

n1,2,。

设x0E，将x0代入f1,f2,,fn,得到数列：

f1(x0),f2(x0),,fn(x0), （2）

若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点x0收敛，x0称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点x0发散。若函数列（1）在数集DE上每一点都收敛，则称（1）

1

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

在数集D上收敛。这时xD，都有数列{fn(x)}的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D上的一个函数，称它为函数列{fn}的极限函数。记作f。于是，有

limfn(x)f(x)，

xD，或

fn(x)f(x)(n)，xD。

n函数列极限的N定义 对每一个固定的xD，对0，N0（注意：一般说来N值的确定与和x的值都有关），使得当nN时，总有

fn(x)f(x)。

使函数列{fn}收敛的全体收敛点的集合，称为函数列{fn}的收敛域。

例1、 设fn(x)xn，n1,2,为定义在(,)上的函数列，证明它的收敛域是(1,1]，0,x1且有极限函数

f(x) （3）

1,x1证：任给0（不妨设1），当0x1时，由于fn(x)f(x)x，故只要取N(,x)ln，则当nN(,x)时，就有fn(x)f(x)。而当x0和x1时，则对任何正lnxn整数n，都有

fn(0)f(0)0，fn(1)f(1)0。

这就证得fn在(1,1]上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。

当x1时，则有x(n)，当x1时，对应的数列为1,1,1,1,它显然是发散的。所以函数列xn在区间(1,1]外都是发散的。

例2、定义在(,)上的函数列fn(x)nsinnx，n1,2,，由于对任何实数x，都有

nsinnxsinnx11sinnx0。所以函数列，故对任给的0，只要nN，就有的收nnnn敛域为无限区间(,)，函数极限f(x)0。

定义1、 设函数列fn与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当nN时，对一切的xD，都有

fn(x)f(x)

2

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

则称函数列fn在D上一致收敛于f，记作：

fn(x)

f(x)

(n)，

xD。

定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列fn在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在正数N，使得当n,mN时，对一切xD，都有

fn(x)f(x)。 （4）

证： [必要性] 设fn(x)

f(x)

(n)，xD，即对任给0，存在正数N，使得当nN时，对一切xD，都有

fn(x)f(x)于是当n,mN，由（5）就有

fn(x)fm(x)fn(x)f(x)f(x)fm(x)2。 （5）

22。

[充分性] 若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则，fn在D上任一点都收敛，记其极限函数为f(x)，xD。现固定（4）式中的n，让m，于是当nN时，对一切xD都有

fn(x)f(x)。由定义1，fn(x)

f(x)(n)，xD。

定理13.2 函数列fn在区间D上一致收敛于f的充要条件是：

limsupfn(x)f(x)0。 （6）

nxD证： [必要性] 若fn(x)

f(x)

(n)，xD。则对任给的正数，存在不依赖与x的正整数N，当nN时，有

fn(x)f(x)，

xD。

由上确界的定义，亦有

supfn(x)f(x)。

xD则有

limsupfn(x)f(x)0。

nxD [充分性] 由假设，对任给的0，存在正整数N,使得当nN，有

supfn(x)f(x)。 （7）

xD因为对一切xD，总有fn(x)f(x)supfn(x)f(x)。

xD故由（7）式得

fn(x)f(x)。于是fn在D上一致收敛于f。

3

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

例3、定义在[0,1]上的函数列

122nx,0x2n11fn(x)2n2n2x,x

n1,2, （8）

2nn10,nx1由于fn(0)0，故f(0)limfn(0)0。当0x1时，只要nnn1，就有fn(x)0，故在(0,1]上x有f(x)limfn(x)0。于是函数列（8）在[0,1]上的极限函数f(x)0，又由于

supfn(x)f(x)fn(1)n

(n)，

2nx[0,1]所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛。

二、 函数顶级数及其一致收敛性

设un(x)是定义在数集E上的一个函数列，表达式

u1(x)u2(x)un(x)，xE （9）

称为定义在E上的函数顶级数，简记为un(x)或un(x)。称

n1

Sn(x)uk(x)，

xE，n1,2, （10）

k1n为函数顶级数（9）的部分和函数列。

若x0E，数顶级数u1(x0)u2(x0)un(x0) （11）

收敛，既部分和Sn(x0)uk(x0)当n时极限存在，则称级数（9）在点x0收敛，x0称为k1n级数（9）的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点x0发散。若级数（9）在E某个子集D上每个点都收敛，则称级数（9）在点D上收敛，若D为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城D为级数（9）的收敛域。级数（9）在D上每一点x与其所对应的数项级数（11）的和S(x)构成一个定义在D上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作

u1(x)u2(x)un(x)S(x) ，xD，

4

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

即

limSn(x)S(x)，xD。

n也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。

例4、定义在(,)上的函数项级数（几何级数）

1xx2xn （12）

1xn的部分和函数为Sn(x)。故当x1时，

1x

S(x)limSn(x)n1。

1x1；当x1时，几何级数是发散的。

1x所以几何级数（12）在(1,1)内收敛于和函数S(x)定义2（函数项级数一致收敛性定义） 设Sn(x)是函数项级数un(x)的部分和函数列。n1若Sn(x)在数集D上一致收敛于函数S(x)，则称函数项级数un(x)在D上

n1一致收敛于函数S(x)，或称un(x)在D上一致收敛。

n1由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有

定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 函数项级数un(x)在D上一致收敛

对

n1于0，N，使得当nN时，对一切xD和一切正整数p，都有

Snp(x)Sn(x)，

即

un1(x)un2(x)unp(x)。

特别地，当p1时，得到函数项级数收敛的必要条件：

推论： 函数项级数un(x)在D上一致收敛的必要条件是函数列un(x)在D上一致收敛

n1于0。

设un(x)S(x)，xD，称Rn(x)S(x)Sn(x)为函数项级数un(x)的余项。

n1n1

5

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

定理13.4 函数项级数un(x)在D上一致收敛于S(x)

n1

limsupRn(x)limsupS(x)Sn(x)0。

nxDnxD例5、讨论几何级数rn在所给区间上的一致收敛性：（1）

[a,a](0a1)；（2）

(1,1)。

n0

三、 函数项级数的一致收敛性判别法

1．用定义；

2．柯西准则（定理13-3）；

3．定理13-4（必须已知和函数S(x)才可用此判别法）；

4．定理13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称M判别法或优级数判别法）

设函数项级数un(x)定义在数集D上，Mn为收敛的正项级数，若xD，有

n1n1

un(x)Mn，n1,2,，

则函数项级数un(x)在D上一致收敛。

n1注： （1）应用此判别法的关键是：从un(x)出发找到所需的Mn。

（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。

作业：P35 1，2，3，4，5，6．

6


更多推荐

函数,级数,收敛性,收敛,判别,序列,定义,对应