2024年1月5日发(作者：2021年济南中考数学试卷)

概率论主要内容

第一章 随机事件与概率

主要内容：

一．事件的运算：交、并、补等

二．概率的性质：加法公式等

三．三种概型：古典概型、几何概型、伯努利概型

古典概型，满足有限性（样本点总数有限）、等可能性，计算概率用样本点个数之比；

几何概型，满足有限性（样本空间测度有限）、等可能性，计算概率用测度之比；

伯努利概型，满足两种结果、相互独立，概率不变，计算概率用伯努利定理，

kkP{X=k}=Cnp(1−p)n−k,k=0,1,L,n。

四．条件概率及其三个公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式

乘法公式，事件积的概率等于一个事件的概率乘以另一事件的条件概率；

全概率公式，用于一个结果可在多种原因下发生，根据原因求结果，

P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)；

i=1n贝叶斯公式，用于一个结果可在多种原因下发生，结果发生了，问原因，

P(Bk|A)=P(Bk)P(A|Bk)∑P(B)P(A|B)iii=1n。

五．事件独立性

重点：

条件概率及其三个公式；事件独立性。

第二章 随机变量及其分布

主要内容：

一．三类变量：离散、连续、混合

离散随机变量，全部可能取值为有限个或可列无限个，分布函数为阶梯形函数，一般用概率函数刻画，求概率时用概率函数求和；

连续随机变量，分布函数为连续函数且不可导的点最多只有可列无限个，一般用密度函数刻画，求概率时用密度函数积分；

混合随机变量，分布函数不连续也不是阶梯形函数且不可导的点最多只有可列无限个，只能用分布函数刻画，求概率时用斯蒂阶积分。

二．三个函数：概率函数、密度函数、分布函数

概率函数，P{X=xk}=pk,k=1,2,L，基本性质-非负性、正则性，适用于离散随机变量；

密度函数，p(x)，基本性质-非负性、正则性，适用于连续随机变量；

分布函数，F(x)=P{X≤x}，基本性质-单调性、正则性、右连续性，适用于所有随机变量。

三．十种重要分布：二项、泊松、超几何、几何、负二项、均匀、指数、正态、伽玛、贝塔

记住它们概率函数或密度函数、实际背景、期望与方差、相互之间的对照关系。

四．数字特征：期望、方差与标准差、切比雪夫不等式

以及矩、分位数、变异系数、偏度、峰度（了解）

期望E(X)，反映平均值，离散用取值与概率乘积之和、连续用取值与密度乘积的积分、混

合用取值关于分布函数的斯蒂阶积分，期望具有线性性质E[af(X)+bg(X)]=aE[f(X)]+bE[g(X)]。

方差Var(X)=E[X−E(X)]2，反映波动程度，方差的计算公式Var(X)=E(X2)−[E(X)]2，方差具有平方性质及常数方差等于0，Var(aX+b)=a2Var(X)。标准差Var(X)。

切比雪夫不等式，给出分散概率的上限与集中概率的下限

ε2ε2五．随机变量函数的分布：离散、连续

离散情形，若是一一对应，直接将X的取值换成函数Y=g(X)的取值；若不是一一对应，将重复取值合并，对应概率相加；

连续情形，一般函数用分布函数法，FY(y)=P{Y=g(X)≤y}=∫p(x)dx，关键是求解不等式P{|X−E(X)|≥ε}≤g(x)≤yVar(X)，P{|X−E(X)|<ε}≥1−Var(X)g(X)≤y；严格单调函数用密度函数法，pY(y)=pX[h(y)]⋅|h′(y)|，其中x=h(y)是y=g(x)的反函数。

重点：

求概率：离散用求和、连续用积分、混合用斯蒂阶积分

重要分布：记住六种分布的概率或密度函数、实际背景、期望与方差

求期望方差：离散用求和、连续用积分、混合用斯蒂阶积分

随机变量函数的分布：连续情形下，一般函数的分布函数法与严格单调函数的密度函数法


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