2024年2月1日发(作者：河北廊坊中考数学试卷)
最短路径问题 »
知识定位
讲解用时：5分钟
A、 适用范围：人教版初二，基础较好；
B、 知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题， 最值问题不仅使学生难以理解， 也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的 “将军 饮马问题”。
知识梳理
讲解用时：20分钟
两点之间线段最短
C
D
A
B
E
A地到B地有3条路线A-C-D-B, A-B, A-E-B，那么选哪条路线最近呢? 选A-B，因为两点之间，直线最短
--- _ _
两点在一条直线异侧
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位
久负盛名的学者，名叫海伦.有一天， 位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边 I饮马，然后到 B地•到河边什么地方饮 马可使他所走的路线全程最短？
两点在一条直线同侧
作法：
1、 作B点关于直线L的对称点B\'
2、 连接AB\'交直线L于点C;
3、 点C即为所求.
证明：在直线L上任意选一点C\'
（点C不与C重合），连接AC、 BC、B\' C\'.
在厶AB\' C\'中，
AC +B\' C\' > AB\'
••• AC +BC > AC+BC
所以AC+BC最短.
【例题1】
已知点A,点B都在直线I的上方，试用尺规作图在直线I上求作一点P,使得
PA+PB勺值最小，则下列作法正确的是（ ）
【答案】D
【解析】根据作图的方法即可得到结论.
解：作B关于直线I的对称点，连接这个对称点和 A交直线I于P,则PA+PB勺 值最小，
••• D的作法正确，
故选：D.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的 关键.
教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习1.1】
如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站, 向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
管道最短的是（ ）
【答案】D
【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.
解：作点P关于直线L的对称点P\',连接QP交直线L于M
根据两点之间，线段最短，可知选项 D铺设的管道，则所需管道最短.
故选：D.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间,
最短”.由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别.
教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【练习1.2
］
如图，A、B在直线I的两侧，在直线I上求一点P,使|PA-PB|的值最大.
B
【答案］见解析
【解析］作点A关于直线I的对称点A\'，则PA=PA，因而|PA- PB|=|PA\'
-PB|，则当A\', B、P在一条直线上时，|PA- PB |的值最大.
解：作点A关于直线I的对称点A\'，连A B并延长交直线I于P.
线段
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是作图-轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答 此题的关键.
教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题 •
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【例题2】
如图，A、B在直线I的同侧，在直线I上求一点
巳使厶PAB的周长最小.
【答案】
【解析】由于△ PAB的周长=PA+AB+P，而AB是定值，故只需在直线I上找一 点P,使PA+PB最小.如果设A关于I的对称点为A\',使PA+PB最小就是使PA +PB最小.
解：作法：作A关于I的对称点A\'，
连接A B交I于点P.
则点P就是所要求作的点；
理由：在I上取不同于P的点P\',连接AP、BP .
••• A和A关于直线I对称，
••• PA=PA，P\' A=P
A，
而 A \' P+BP^
A P\' +BP
••• PA+BR
AP\' +BP
••• AB+AP+BRAB+AP +BP
即厶ABP周长小于△ ABP周长.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的 和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.
教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间 线段最短进行解题•
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习2.1
］
(I)如图①，点A、B在直线I两侧，请你在直线I上画出一点P,使得PA+PB 的值最小；
(U)如图②，点E、F在直线I同侧，请你在直线I上画出一点P,使得PE+PF 的值最小；
(川)如图③，点MN在直线I同侧，请你在直线I上画出两点OP,使得0P=1cm 且MO+OP+P的值最小.
(保留作图痕迹，不写作法)
«
• E
圍①
【答案］见解析
图②
【解析］(I )图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即 为所求作的点；
(II )图2,作E关于直线的对称点，连接FE\'即可；
(III )图③，画出图形，作N的对称点N\',作NQ/直线I
， NQ=1cm连接MQ
得出点0即可.
解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点 P,这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；
（II ）如图②，先作点E关于直线I的对称点E\'，再连接E\' F交I于点P,则
PE+PF=E P+PF=E F,由“两点之间，线段最短”可知，点 P即为所求的点；
作N关于直线I的对称点N\',过N\'作线段N Q//直线I，且线段N Q=1cm
连接MQ交直线I于O,在直线I上截取0P=1cm如图，连接NP,
则此时MO+OP+PN值最小.
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题的应用,
题目比较典型，第三小题
有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力.
教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题 • 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【例题3】
如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分 别交AC, AB边于E, F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求 △
CDM周长的最小值.
【答案】10
【解析】连接AC，由于△ ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD丄BC，
再根据三角形的面积公式求出 AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可
知，点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+M的最小值，由此即可 得出结论.
解：连接AD •••△ ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点,
• ADL BC,
• - SA
AB =j-BC?AD=-
X4XAD=16 解得 AD=8
••• EF是线段AC的垂直平分线,
•••点C关于直线EF的对称点为点A,
••• AD的长为CM+M的最小值，
X
4=8+2=10.
解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 熟知等腰三角形三线合一的性 质是解答此题的关键.
教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短
进行解题.
难度：4适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习3.1
]
如图，已知点D点E分别是等边三角形 ABC中BC AB边的中点，AD=5点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.
【答案】5
【解析】
过C作CEL AB于E,交AD于F,连接BF,贝U BF+EF最小，证△ ADB
◎
△ CEB得 CE=AD=,即 BF+EF=5
解：过C作CEL AB于E,交AD于 F,连接BF,则BF+EF最小（根据两点之间线
段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF
•••等边△ ABC中, BD=CD
••• ACL BC,
••• AD是 BC的垂直平分线（三线合一）,
••• C和B关于直线AD对称，
••• CF=BF
即 BF+EF=CF+EF=CE
••• ADL
BC, CEL AB
•••/ ADB2
CEB=90
,
在厶 ADB?3 CEB中,
[ZADB=ZCEB
ZABD=ZCBE ,
AB=CB
•••△ ADB^A CEB（AAS ,
CE=AD=5
即 BF+EF=5
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 涉及到等边三角形的性质，轴 对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.
教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短
进行解题•
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【例题4】
如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河
流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从 A到B的距离最短？
【答案】见解析
【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸•关键在于 使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使 P与D重合起
来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.
解：如图，作BB\'垂直于河岸GH使BB等于河宽，
连接AB，与河岸EF相交于P,作PDL GH
贝U PD//
BB 且 PD=BB，
于是PDBB为平行四边形，故PB =BD
根据“两点之间线段最短”
，AB最短，即AP+BD最短.
讲解用时：4分钟
解题思路：此题考查了轴对称 —— 最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，
但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线 段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题•目前，往往利用对称性、平行四 边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.
教学建议：将3条线段进行转化成一条线段•
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习4.1
］
作图题
(1) 如图1, 一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮 水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线.
(2) 如图2,在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥 的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段 CD表示•试问：桥CD建在何处， 才能使A至U B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位
【答案］见解析
【解析］(1)把河岸看做一条直线, 利用点到直线的所有连接线段中，垂直线
段最短的性质即可解决问题.
(2)先确定AA =CD且AA // CD连接BA，与河岸的交点就是点 C,过点 C作CD垂直河岸，交另一河岸于点 D, CD就是所求的桥的位置.
解：(1)根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如
图1所示：
(2)先确定AA =CD且AA // CD连接BA，与河岸的交点就是点 C,过点
C作CD垂直河岸，交另一河岸于点 D, CD就是所求的桥的位置•如图2,
讲解用时：4分钟
解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，
题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图.
教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
解
【例题5】
如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的
一个动点，当PC+PD最小时，/ PCD勺度数是多少？
【答案】30°
【解析】由于点C关于直线MN勺对称点是B,所以当B P、D三点在同一直线
上时，PC+PD勺值最小
解：连接PB.
B
N
C
由题意知，••• B、C关于直线MN对称，
••• PB=PC
••• PC+PD=PB+PD
当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PDR最小值，
连接BD交MN于P,
•••△ ABC是等边三角形，D为AC的中点，
••• BDL AC,
••• PA=PC
•••/ PCDM
PAD=30
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键 是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.
教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题•
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习5.1
］
已知，如图△ ABC为等边三角形，高AH=10cmP为AH上一动点，D为AB的中点， 则PD+PB勺最小值为多少？
【答案］10cm
【解析］连接PC,根据等边三角形三线合一的性质，可得
最小值，应使 D P、C三点一线.
解：连接PC，
•••△ ABC为等边三角形，D为AB的中点，
••• PD+PB勺最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm
PC=BP PD+PB要取
解题思路：此题主要考查有关轴对称--最短路线的问题， 注意灵活应用等边三 角形的性质.
教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【例题6】
如图，/ AOB勺内部有一点P,在射线OA OB边上各取一点Pi, B，使得△ PRB
R,叙述作图过程（作法）
，保留作图痕迹.
【答案】见解析
EF交OA于Pi，交OB于P2,连 接PP, PR,
△ PPP2即为所求.
解：如图，作点P关于直线
OA的对称点E,
点P关于直线OB的对称点F,连接
EF交OA于Pi,交OB于P2,
连接PP, PR,
△ PPP2即为所求.
【解析】作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F，连接
理由：••• RP=PE, RP=PF,
:.△ PRF2
的周长=PR+PF2+PP=ER+pip2+p2F=EF,
根据两点之间线段最短，可知此时△ PPP2的周长最短.
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查轴对称-最短问题、 两点之间线段最短等知识，解题的关键 是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型.
教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点• 难度：4适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习6.1
］
知识拓展：如图2,点P在/AOB内部，试在OA 0B上分别找出两点E、F,使
△ PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）
【答案］见解析
【解析］作P关于OA 0B的对称点C D,连接CD角 OA 0B于 E、F.此时△
PEF周长有最小值；
作图如下：
解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键.
教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
直平难
【例题7】
如图，/ AOB=30，点P是/AOB内一点，PO=8在/ AOB勺两边分别有点 R、Q
（均不同于O）,求厶PQF周长的最小值.
【答案】
【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA OB的对称点M N,连接MN 根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可.
解：分别作P关于OA OB的对称点M N.
连接MN交OA OB交于Q 尺则厶PQF符合条件.
连接OM ON
由轴对称的性质可知，OM=ON=OR=8
/
MONHMOP主 NOP=ZAOB=Z3O° =60°,
则AMO为等边三角形，
••• MN=8
••• QP=QMRN=RP
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是 解题
的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用.
教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
.
【练习7.1
］
如图，/ AOB=30，/ AOB内有一定点P,且OP=10 0A上有一点Q, 0B上有一
定点只若厶PQR周长最小，求它的最小值.
【答案］10
【解析］先画出图形，作PML
0A与 0A相交于M并将PM延长一倍到E,即
ME=PM作PN!0B与0B相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN连接EF与 0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则厶PQR即为周长最短的三角形.再 根据线段垂直平分线的性质得出△ PQR=EF再根据三角形各角之间的关系判断出 △ E0F的形状即可求解.
解：设/ P0A羽，则/ P0B=30
一倍至U E, 即卩 ME=PM
作PN10B与 0B相交于N,并将PN延长一倍到F, 即卩NF=PN
连接EF与0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则APQR即为周长最短 的三角形.
作PML0A与 0A相交于M,并将PM延长
v
0A是 PE的垂直平分线，
••• EQ=QP
同理，0B是PF的垂直平分线，
••• FR=RP
•••△ PQR勺周长=EF.
v
0E=0F=0P=1（且/ E0FM
E0P#
P0F=2） +2（
30°-9）
=60°,
•••△ EOF是正三角形，
••• EF=10即在保持0P=1（的条件下△ PQR勺最小周长为10.
故答案为：10.
解答此类题目的关键根据轴对称的性质
作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答. 教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
课后作业
【作业11
如图，在铁路I的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场 C,货场应建 在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？
A
* J
«
【答案1见解析
【解析1作点B关于直线I的对称点B\'，连接AB，交I于点C,则点C即 为所求点.
解：如图所示：
A
・
1 ■
■i I
—\'
讲解用时：3分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2018
【作业2】
用三角板和直尺作图.(不写作法，保留痕迹)
如图，点A, B在直线I的同侧.
(1) 试在直线I上取一点M使MA+M的值最小.
(2) 试在直线I上取一点N,使NB- NA最大.
--------------------------------- 1
【答案】见解析
【解析】(1)作点A关于直线I的对称点，再连接解答即可；
(2)连接BA延长BA交直线I于N,当N即为所求；
解：(1)如图所示：
「/
___
7
；/M
*
(2)如图所示；
*
-----
理由：••• NB- NAC AB
•••当A、B、N共线时，BN- NA的值最大.
讲解用时：3分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2018
z【作业3】
如图，已知点D点E分别是等边三角形 ABC中BC AB边的中点，AD=6点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.
【答案】6
【解析】
过C作CEL AB于E,交AD于F,连接BF,贝U BF+EF最小，证△ ADB
◎
△ CEB得 CE=AD=,即 BF+EF=6
解：过C作CEL AB于E,交AD于 F,连接BF,则BF+EF最小（根据两点之间线
段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF
•••等边△ ABC中, BD=CD
••• ADL BC,
••• AD是 BC的垂直平分线（三线合一）,
••• C和B关于直线AD对称，
••• CF=BF
即 BF+EF=CF+EF=CE
••• ADL BC, CEL AB
•••/ ADB2 CEB=90 ,
在厶 ADB?3 CEB中,
fZAEB=ZCEB
••• Z 阳 XZCBE,
IAB=CB
•••△ ADB^A CEB（AAS ,
••• CE=AD=6
即 BF+EF=6.
讲解用时：3分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：无
年份：2018
【作业4】
如图，点P是/ AOB内部的一点，/ AOB=30 , 0P=8cm M N是OA OB上的两
个动点，则求△ MPN周长的最小值？
【答案】8
【解析】设点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,当点M N在CD 上时，△ PMN勺周长最小.
解：分别作点P关于OA 0B的对称点C D,连接CD分别交OA 0B于点M N, 连接
OR OC OD PM PN
•••点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,
••• PM=CMOP=OC
/
COAN
POA
•••点P关于0B的对称点为D,
••• PN=DN OP=OD
/
DOBN
POB
••• OC=OD=OP=8cmZ CODN
COA+Z
POA+N
POB+N
DOB=N
POA+2/ POB=2/
AOB=60
,
•••△ COD!等边三角形，
CD=OC=OD=8cm
•••△ PMN勺周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MNCD=8cm
故答案为：8.
讲解用时：3分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2018
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