八年级数学上册第16讲 轴对称中“将军饮马”模型(核心考点讲与练

第16讲 轴对称中“将军饮马”模型

【基础知识】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

B军营将军A河

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

BAP

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

【模型解析】

作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

BAPA\'

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

BA端点P折点A\'

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类型一：两定一动之点点

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

AP\'MAPBOMPBP\'\'ONN

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

类型二：两定两动之点点

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

AP\'MPQONBONQ\'MPQBA

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

类型三：一定两动之点线

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

AP\'MPOBOMPBANN

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

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【考点剖析】

1、如图，在长度等于中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的最小值的是（ ）

A． B． C． D．

2、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为(

)

AFEDBC

B．4 C．33 D．23 A．3

4、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，

BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是(

)

ADMBNC

A．3

B．2

C．23

D．4

【过关检测】

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一．选择题（共6小题）

1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）

A．7

B．6 C．9 D．10

2．（2021秋•河东区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（ ）

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A．30° B．45° C．60° D．90°

3．（2021秋•龙口市期末）如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2021秋•罗庄区期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，△ABC的面积9．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

5．（2021秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则△PDB周长的最小值等于（ ）

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A．AC+AB B．AB C．AC+BC D．AC

6．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（ ）

A．4 B．2√5 C．3√2 D．√5+2

二．填空题（共9小题）

7．（2021秋•高邑县期末）如图，等腰三角形ABC的面积为80，底边BC＝10，腰AC的垂直平分线EF交AC，AB于点E，F，若D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长最小值为 ．

8．（2021秋•同安区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念．某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线．经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为AC＝p（m）、BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）

9．（2021秋•蚌埠期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），点B（4，2），点P为x轴上一动点，当PA+PB的值最小时，此时点P的坐标为 ．

10．（2021秋•武汉期末）如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的5 / 11

周长最小时，∠MPN＝100°，则∠AOB＝ ．

11．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，则CF+EF的最小值是 ．

12．（2021秋•鲁甸县期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，∠ACP的度数为 ．

13．（2021秋•青山区期末）如图，等腰△ABC的底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 cm．

14．（2021秋•诸暨市期末）如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为 ．

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15．（2021秋•承德县期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，点A到MN的距离AC＝8，点B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为b．

（1）a＝ ；

（2）a2﹣b2＝ ．

三．解答题（共6小题）

16．（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽

的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；

【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；

【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．

①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；

②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．7 / 11

17．（2021秋•硚口区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝nBC，点D和点E分别为AC和BC边上的点，AD＝CE，AE与BD相交于点F．

（1）当n＝1时，

①如图1，求证：AE＝BD；

②如图1，求∠AFD的度数；

③如图2，若AF＝2BF，作AG⊥BD，垂足为G点，连接CG，求证：GF＝GC．

（2）当n=2时，如图3，若AE+BD取得最小值，直接写出

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