高等数学第二章课后习题答案

2023年12月11日发(作者：如皋2017数学试卷)

高等数学第二章课后习题答案

LT 班级 姓名 学号

第二章 导数与微分

1.

设fx10x2,试按定义求f1.

f(1x)f(1)10(x1)210f\'(1)limlimx0x0xx10x220xlimlim(10x20)20x0x0x

2. 下列各题中均假定fx存在，按导数定义观0察下列极限，指出此极限表示什么,

并将答案填在括号内。

⑴

⑵

⑶

x0limfx0xfx0xfxx（f\'(x)）；

0x0lim（f\'(0)）， 其中f00,且f0存在；

（2f\'(x)）.

0limh0fx0hfx0hh3. 求下列函数的导数：

⑴

⑶

yx, 则 y4x143 ⑵

⑷

21yx, 则 yx3332

13y, 则 yx22xyx351611x5x, 则 y5

2 班级 姓名 学号

14． 求曲线ycosx上点

, 处的切线方程和法线方程.

323y\'sinx,y\'()32

y13(x)223所以切线方程为3x2y(13)03 化简得

y12(x)233法线方程为3x23y(3)0 化简得

在x0处的连续性5. 讨论函数和可导性.

12x0xsin

y

x x00

因为f(0)01limx2sin0f(0)(有界量乘以无穷小)x0x

所以函数在x0处连续

因为

3

x0limf(0x)f(0)limx0xx2sin1xlimxsin10x0xx

所以函数在x0处可导. 班级 姓名 学号

4 班级 姓名 学号

5 班级 姓名 学号

（7）ylnx; （8）xyx2lnxcosx;

1xxlnxy\'x2y\'2xlnxcosxx21cosxx2xlnxsinx

1lnxx22xlnxcosxxcosxx2lnxsinx

（9）y2cscx1x2;

2cscxcotx(1x2y\')2cscx2x(1x2)2

2(1x2)cscxcotx4xcscx(1x2)2

（10）2lnxx3y3lnxx2.

(23x2)(3lnxx2)(2lnxx3)(32xy\'xx)(3lnxx2)2

x(9x4)lnxx43x22x(3lnxx2)2

9. 已知sin1d2cos, 求

d.

4

6

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因为

ddsincos12sin

所以

d2122d2

424222824

10.

写出曲线 yx1x与x轴交点处的切线方程.

令y0，得x1或x1

因为y\'1x2， 所以

y\'x12,y\'x12

曲线在(1,0)处的切线方程为y2(x1)，2xy20；

曲线在(1,0)处的切线方程为y2(x1)，2xy20。

11. 求下列函数的导数：

（1）函数y2x54可分解为：

yu4,u2x5

其导数y8(2x5)3

（2）函数ye3x2可分解为：

yeu,u3x2

其导数y6xe3x2

（3）函数ya2x2可分解为：

yu,ua2x2

7

即即班级 姓名 学号

其导数yxa2x2

（4）函数yarctanex可分解为：

yarctanu,uex

yex其导数1e2x

12. 写出下列函数的导数（只需写出结果）：（1）ycos43x , y3sin(43x)

（2）yln1x2 , y2x1x2

（3）ysin2x , y2sinxcosx

（4）yarctanx2 , y2x1x4

（5）ytanx2 , y2xsec2(x2)

（6）ylogx2ax1, y

2x1(x2x1)lna

（7）ylncosx, ytanx

（8）yarcsin12x, y1xx2

13. 求下列函数的导数（要有解题步骤）：

8

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（1）xyarcsin;2 （2）2yearctanx;

（3）ylnlnlnx ;

ysinnxcosnx.

14. 设fx可导，求下列函数y的导数dydx:

（1）yfx2; （2）dy2xf\'(x2dx)dydxf\'(sin2x)2sinxcosxf\'(cos2x)2cosxsinx

sin2x[f\'(sin2x)f\'(cox2x)]

（4）yfsin2xfcos2x.

9

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15. 求下列函数的导数：

（1）ysin2xsinx2

（2）ylncos1x

（3）yesin21x

（4）yxx

16. 求下列函数的二阶导数：

（1）y2x2lnx

y\'4x1x

y\'\'41x2

10 班级 姓名 学号

（2）yesint

y\'esintetttcostet(costsint)

y\'\'et(costsint)et(sintcost)2etcost（3）ylnx

17. 若11x2



12x21x21x2x1y\'x1x21x2x211x23122y\'\'(1x)2x2x(1x)322

d2yfx存在，求下列函数的二阶导数2:dx2dxd2y2[f\'(x2)x2xf\'\'(x2)]2dx2f\'(x2)4x2f\'\'(x2)（1）yfx （2）dyylnfx

2xf\'(x)2

dyf\'(x)dxf(x)d2yf\'\'(x)f(x)[f\'(x)]22dx[f(x)]2

18. 求下列函数的n阶导数的一般表达式：

（1）ysinx （2）2 11 班级 姓名 学号

yxlnx

19. 求下列函数所指定阶的导数：

（1）ye求y.

50xcosx, 求y. （2）yx42sin2x,

20. 求下列方程所确定的隐函数y的导数dy:

dx（1）xy1xe

y3y33axy0 (2)

x方程两边关于22求导得：

dydyeyxeydxdx方程两边关于x求导得：

dydy3x3y3ay3ax0

dxdx

12 班级 姓名 学号

所以

dyeydx1xeydy3ay3x2ayx222dx3y3axyax 所以

21.

22求曲线xya在点a,44232323a程.处的切线方程和法线方

方程两边关于x求导得：所以

dyxy13dxxy3131dy212x3y3033dx

dydx22a,a)44从而切线斜率

率

k211k1k11(，法线斜

22a(xa)44所以切线方程为yxy2a02，即；

法线方程为y22axa44，即xy0。

13

22.

d2y求由方程y1xe所确定的隐函数y的二阶导数.2dxy班级 姓名 学号

23. 用对数求导法求下列函数的导数dy:

dx（1）yyx23x45x55x22 （2）x15

xsint24. 求由参数方程，所确定的曲线在ycos2tt4处的切线方程和法线方程.

14 班级 姓名 学号

25.

d2y求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:dx2

（1）,tx3ety2e （2）

xft设ft存在且不为零.ytftftdydydt2et22tetdxdx3e3dtdydydtf\'(t)tf\'\'(t)f\'(t)tdxdxf\'\'(t)dt4e2t2dy43t3e2tdx3e9

d2y1dx2f\'\'(t)

26. 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3min.当水深为5m时,其表面15

上升的速率为多少？

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27. 求下列函数的微分:

⑴

yxsin2x;

yln1x2;

dysin2xdxxdsinx

sin2xdx2xcos2xdx

2ln(1x)dln(1x)

(sin2x2xcos2x)dx

2ln(1x)1xd(1x)

2ln(1x)x1dx

⑶

yexcos3x ;

yarcsin1x2.

dycos(3x)dexexdcox(3x)

cos(3x)exdxexsin(3x)dx

⑵

dyd[ln(1x)]2

⑷

dydarcsin1x2

16

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11(1x)2d1x2

xx1x2

ex(sin(3x)cos(3x))dxdx

28. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：

⑴

dd322xC2dx; ⑵x2C3xdx；

cosxdx⑶

dcosxdsinxC ⑷

Csinxdx;

1dx;1x⑸

de2xC2dln(1x)C ⑹

2xedx;d

⑺

dtan3x32xC1dx;x ⑻

Csec23xdx

29. 计算三角函数值cos29的近似值。

17 班级 姓名 学号

因为

所以

cos29cos(301)

180310.8747622180cos29cos30sin306

30. 计算根式因为所以665的近似值。

161665(65)(641)1616

51111(65)64(64)6222.1. 当x较小时，证明下列近似公式：(利用f(x)f(0)f\'(0)x)

（1）tanxx

x是角的弧度值； （2）ln1xx.

(tanx)\'secx

(ln(1x))\'11x

x0tanxln(1x)x000

x0(tanx)\'[ln(1x)]\'x011

以

18

所所以

tanxx

ln(1x)x