考试数学二真题与解析(真题 详细答案完整版)(源于思考研数学

2024年2月7日发(作者：数学试卷如何判分的)

2021年考研数学二真题与解析（解答题部分）

（源于思考研数学店铺）

1. 当x0时，x20e1dt是x7的（ ）

t3A. 低阶无穷小 B.等价无穷小

C.高阶无穷小 D.同阶但非等价无穷小

解：C

x2t3x6求导定阶法：当x0时，e1dt2xe102x7，说明x20et1dt是x的8阶无穷小，故是x7的高阶无穷小量。

3ex1,x0,2. 函数f(x)x在x0处（ ）

1,x0A. 连续且取极大值 B.连续且取极小值

C.可导且导数为0 D.可导且导数不为零

解：D

ex11f(x)11limx.从而选D。由于在0导数定义式：f(0)limx0x0xx2处可导，如果它是极值点的话，那么导数应该为零，从而可知，该点处不取极值。

3. 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）

A. 125cm3/s,40cm2/s B.

125cm3/s,40cm2/s

C.100cm3/s,40cm2/s D.

100cm3/s,40cm2/s

解：C

相对变化率：圆柱体体积：

VR2H,dVdRdH2RHR2

dtdtdt代入：R10,H5,dRdH2,3,得dtdtdV21025102(3)100.dt

圆柱的表面积：

S2R22RH,dSdRdHdR4R2R2Hdtdtdtdt

代入：R10,H5,

dRdH2,3,得dtdtdS4102210(3)25240.dt

bf(x)axblnx(a0)4.设函数

有两个零点，则的取值范围是：（

）a11A.e, B.0,e C. D.0,,

ee解：A。

零点个数问题：f(x)abaxb(a0),于是：

xx当b0时，函数单调递增，最多只有一个零点。由题意，b0。此时，bb(0,)单调递减，在(,)单调递增，函数在因为：

aabbf(00),f()bbln,f()

aabbbf()bbln0函数有两个零点，则必有，因此e.

aaa

5.设secx在0处的2次泰勒多项式为1axbx2，则（

）

1111a1,ba1,ba0,ba0,bA. B. C. D.

2222解：D

泰勒多项式：secxx0secxtanxx00，

secxx0secxtanxx0secxtan2xsec3xx01

根据函数在0处的2次泰勒多项式：f(0)f(0)x0处的2次泰勒多项式为112x.

2f(0)2x可知secx在2!6.设函数f(x,y)可微，且f(1x,ex)x(x1)2,f(x,x2)2x2lnx,则df(1,1)（

）

A.

dxdy dy D.dy

解：C

抽象二元复合函数的偏导数与二元函数的全微分：

将第一个式子两边对x求导有：

f1(1x,ex)exf2(1x,ex)(x1)22x(x1),f1(x,x2)2xf2(x,x2)4xlnx2x,

上面第一个式子代入x0，第二个式子代入x1，得：

f1(1,1)f2(1,1)1,

f1(1,1)2f2(1,1)2,于是f1(1,1)0,f2(1,1)1,因此df(1,1)dy.

7.设函数f(x)在区间0,1上连续，则0f(x)dx（

）

n2k112k11limf()limf() A.

n B.

n2n2n2nnk1k1n1

2nk11k2limf()limf() C.

n D.

n2nn2nnk1k12n解：B

定积分的定义：0f(x)dxlimf(nk112nk11)

2n2n或01f(x)dxlimf(nk1n2k11)。

2nn8.二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的正负惯性指数依次为（

）

A. 2,0 B. 1,1 C. 2,1 D. 1,2

解：B

正负惯性指数：f(x1,x2,x3)2x222x1x22x2x32x1x3

011它的矩阵为：A121，求特征值：

11011101101EA1211211121111111100 =1122=130,111

特征值为正的有1个，为负的有1个，故正负惯性指数分别为1,1。

9.设A1,2,3,B1,2,3，若向量组1,2,3可由1,2线性表示，则（

）

0的解均为Bx0的解. 0的解均为Bx0的解.

0的解均为Ax0的解. 0的解均为ATx0的解.

解：D

线性表示、方程组的解：

α1,α2,α3可由β1,β2线性表示，则

x

即

，yac

1,2,3=1,2bd

A=BP，AT=PTBT，故BTx0PTBTx0ATx0，从而

BTx0的解均为ATx0的解.

101211，若下三角可逆阵P和上三角可逆阵Q10.

已知矩阵A125使得PAQ为对角阵，则P,Q分别取（

）

100101100101010,013 B.210,010 A.001001321001100101100123210,013 D.010,012 C.321001131001解：C

矩阵的乘法、初等变换：

101100101100211010013210A|E(F,P)

12500100032110F0E100011130000001100010x2001000Λ.

01Q130111.

x3dx_______.

解：考查了无穷限广义积分的计算。

x3x2dx20x3x2dx30x2dx23 =ln3x201.ln3

tx2et1,12.

设函数yy(x)由参数方程确定，则t2y4(t1)etd2y_____.

2dxt0解：考查了参数方程所确定函数的高阶导数。

4tet2td4tet4et2(2et1)2et4tet2ttt22e1dy4te2tdy

,3t2tdx2e1dxd(2et1)2et1d2y2.

2dxt0313.

设函数zz(x,y)由方程(x1)zylnzarctan(2xy)1确定，则z_____.

x0,2解：考查了二元隐函数在固定点处偏导数的求法。

z

x0,2z2y212xyy1xzt21.

0,2txf(t)dxsindy,则f()=_____.

1xy14.

已知函数2解：考查了变上限积分的函数的导数与交换积分次序等内容。

f(t)t2txsinxydydxty2x111sinydxdy tyy211sinxydxydy

t1y1cosycosydyf(t)tcos12tcost,f(2)2cos.15.

微分方程yy0的通解为_____________.

解：考查了3阶常系数线性齐次微分方程通解求法。

特征方程为r310,r11,r132,322i，通解为：

yCx11ee2x(C32C32cosx3sin2x).

xx12x16.

多项式f(x)1x2121x1的x3的系数为_______.

211xxx12xx1012x1x10解：f(x)1x211x211x21x140x1x140211x211x21x1012x2x =12x02xx2x3112x240x1012x2xx2x3211x14x10 412x22x22xx2x3(x1)x112xx2x3

由此可知，所求的系数为-5.

12x223x101x1

1xet2dt10

17.

limxx0sinxe11xet2dt1etdtsinxex1100limlimx解：x0

sinxex1sinxe1x0x2

limx01edtsinxe10xt2xx2limx0esinx1etdtcosxex0x2x22x

limx02xesinx2ecosx1edtsinxex0x2x2xt22

1.

2

xx18.

f(x),求凹凸区间及渐近线。

1xx2,x0,x1,xxf(x)1xf(x)f(0)lim0,解：，2x0x1xx

,x0,1x故：

2xx2,x0,x1,21x

f(x)22xx,x0,1x221x3,x0,x1,

f(x)2,x0,31x

于是函数的凸区间为：1,0，凹区间为：,1,0,。

f(x),limf(x)都不存在，故函数不存在水平渐近线；

由于xlimxlimf(x)，故x1为曲线的垂直渐近线；

由于x1因为

f(x)1,b1lim(f(x)k1x)1,xxx

f(x)k2lim1,b2lim(f(x)k2x)1,xxxk1lim从而曲线的倾斜渐近线有两条，分别为：y1x,yx1。

19.

设f(x)满足f(x)1dxx2xC，L为曲线yf(x)(4x9)，记6xL长度为s，L绕x轴旋转一周而成的旋转曲面的面积为A，求s与A。

f(x)12dxxxC，两边对x求导可得：

解：由6x

3

12f(x)xx,3于是：

s941f(x)dx2294111xdx

2x22

9949111221xdxxdx.

24232x2x2931211A2f(x)1f(x)dx2xxxdx

44322x31211425A2xxxdx.

492x32920.

设yy(x)(x0)是微分方程xy6y6满足y(3)10的解。

(1)求y(x)；

(2)设P为曲线上一点，曲线在点P处的法线在y轴上的截距为IP，为使IP最小，求P的坐标。

解：（1）xy6y6可化为：y

y1Cx6,

1x6又y(3)10，故C，从而y(x)1.

33x6（2）设P点坐标为(x,1)，则过P点的法线方程为：

366y，由通解公式可得通解为：

xx

x61Y(1)5(Xx)，

32x它在y轴上的截距为：

1x

IP41(x0)，

2x36令IP(x)2452x0x1，有，故P点坐标为1,.

5x3221.

曲线x2y2x2y2(x0,y0)与x轴围成的区域为D，求二重积分xydxdy.

D解：xydxdy0d04Dcos2sin2r3cossindr

21422cossincossind

4014sin2cos22d8012sintcos2tdt16012sintsin3tdt1601.48210120仅有两个不同的特征值，22.

设矩阵A若A相似于对角阵，1ab求a,b的值，并求可逆矩阵P，使得P1AP为对角阵。

2解：EA111020b(243)，

ab

A仅有两个不同的特征值，则b1或者b3。

当b1时，A有二重特征值1，由于

101101EA1100a10,

001a00由已知，A可相似对角化，故a1。

10对应的线性无关的特征向量为：1,0；

011101101013EA110011011,

112000000

1特征值3对应的线性无关的特征向量为1,

110111此时P101,则有PAP1;

3011当b3时，A有二重特征值3，由于

1101103EA1100a10,

001a00由已知，A可相似对角化，故a1。

10对应的线性无关的特征向量为：1,0；

01110110101EA110011011,

1120000001特征值1对应的线性无关的特征向量为1,

110131此时P101,则有PAP3.

1011